1、第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年上海市杨浦区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市杨浦区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）关于抛物线 2 yxx，下列说法中，正确的是( ) A经过坐标原点 B顶点是坐标原点 C有最高点 D对称轴是直线1x 2 （4 分）在ABC中，如果 1 sin 2 A ， 3 cot 3 B ，那么这个三角形一定是( ) A等腰三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 3 （4 分）如果小丽在楼上点A处看到
2、楼下点B处小明的俯角是35，那么点B处小明看点 A处小丽的仰角是( ) A35 B45 C55 D65 4 （4 分）在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定/ /DEBC的是 ( ) A ADDE ABBC B ADAE DBEC C DBAE ECAD D ADAE ACAB 5 （4 分）下列命题中，正确的是( ) A如果e为单位向量，那么|aa e B如果a、b都是单位向量，那么ab C如果ab ，那么/ /ab D如果| |ab，那么ab 6 （4 分）在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误 的是( ) A AOBDOC SS
3、 B AOB BOC SOD SOB C AOD BOC SOA SOC D ABD ABC SAD SBC 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：3(2 )2()abab 8 （4 分）已知抛物线 2 (1)1ya x的开口向上，那么a的取值范围是 9 （4 分） 如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了 130 米， 那么他的高度上升了 米 第 2 页（共 24 页） 10 （4 分）已知线段AB的长为 4 厘米，点P是线段AB的黄金分割点()APBP，那么线 段AP的长是 厘米 11 （4 分
4、）已知抛物线 2 43yxx与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么ABC的 面积等于 12 （4 分）已知抛物线 2 yx，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点 (2,2)A，那么平移后的抛物线的表达式是 13 （4 分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米)关于水平距离 x（米)的函数解析式为 2 125 1233 yxx ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米 14 （4 分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上， 1 2 AE EB ，联结DE交对 角线AC于点O，那么 AO OC 的值为 15 （4 分） 如图， 已知在ABC中，9
5、0ACB， 点G是ABC的重心，2CG ，4BC ， 那么cosGCB 16 （4 分）如图，已知在ABC中，90C，10AB ， 1 cot 2 B ，正方形DEFG的顶 点G、F分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为 第 3 页（共 24 页） 17 （4 分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边 形ABCD中，10AB ，12BC ，5CD ， 3 tan 4 B ，那么边AD的长为 18 （4 分）如图，已知在ABC中，45B，60C，将ABC绕点A旋转，点B、 C分别落在点 1 B、 1 C处， 如果 1/ / BBAC，
6、 联结 11 C B交边AB于点D， 那么 1 BD B D 的值为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 2 602sin30 445cot30 tan cos 20 （10 分）已知一个二次函数的图象经过点( 1,0)A 、(0,3)B、(2,3)C （1）求这个函数的解析式及对称轴； （2） 如果点 1 (P x， 1) y、 2 (Q x， 2) y在这个二次函数图象上， 且 12 0 xx， 那么 1 y 2 y（填 “”或“” ) 21 （10 分）如图，已知在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，/
7、 /DEBC，点M为 边BC上一点， 1 3 BMBC，联结AM交DE于点N （1）求 DN NE 的值； 第 4 页（共 24 页） （2）设ABa，AMb，如果 2 3 AD DB ，请用向量a、b表示向量NE 22 （10 分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头 A，在ABC中，测得64B，45C，50BC 米，求河宽（即点A到边BC的距离） （结果精确到 0.1 米） （参考数据：21.41，sin640.90 ，cos640.44 ，tan642.05) 23 （12 分）已知：如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线BD、AC相交于点E，过
8、点A作/ /AFDC，交对角线BD于点F （1）求证： DFDE BDBE ； （2）如果ADBACD ，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项 24 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 ()4yxm与y轴交于点B，与x 轴交于点C、D（点C在点D左侧） ，顶点A在第一象限，异于顶点A的点(1, )Pn在该抛 物线上 （1）如果点P与点C重合，求线段AP的长； 第 5 页（共 24 页） （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan3OPQ，求点Q的坐标； （3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围 25 （14 分）如图，已知在Rt ABC中，90ACB
9、，4ACBC，点D为边BC上一动 点（与点B、C不重合） ，点E为AB上一点，EDBADC ，过点E作EFAD，垂足 为点G，交射线AC于点F （1）如果点D为边BC的中点，求DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CDx，CFy，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结DF，如果CDF与AGE相似，求线段CD的长 第 6 页（共 24 页） 2020-2021 学年上海市杨浦区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市杨浦区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4
10、分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）关于抛物线 2 yxx，下列说法中，正确的是( ) A经过坐标原点 B顶点是坐标原点 C有最高点 D对称轴是直线1x 【解答】解： 22 11 () 24 yxxx， 顶点坐标是： 1 ( 2 ， 1) 4 ，对称轴是直线 1 2 x ， 10a ， 开口向上，有最小值， 当0 x 时， 2 0yxx， 图象经过坐标原点， 故选：A 2 （4 分）在ABC中，如果 1 sin 2 A ， 3 cot 3 B ，那么这个三角形一定是( ) A等腰三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 【解答】解： 1 sin 2 A ， 3 cot 3
11、B ， 30A，60B， 180306090C ， ABC是直角三角形， 故选：D 3 （4 分）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35，那么点B处小明看点 A处小丽的仰角是( ) A35 B45 C55 D65 【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等 所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35， 点B处小明看点A处小丽的仰角是35 故选：A 第 7 页（共 24 页） 4 （4 分）在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定/ /DEBC的是 ( ) A ADDE ABBC B ADAE DBEC C DBAE ECAD
12、 D ADAE ACAB 【解答】解：当 ADAE ABAC ， 则/ /DEBC，故选项A不符合题意； 当 ADAE DBEC ， 则/ /DEBC，故选项B符合题意； 当 DBAB ECAC ， 则/ /DEBC，故选项C不符合题意； 由于 ADAE ACAB ，/ /DEBC不一定成立，选项D不符合题意 故选：B 5 （4 分）下列命题中，正确的是( ) A如果e为单位向量，那么|aa e B如果a、b都是单位向量，那么ab C如果ab ，那么/ /ab D如果| |ab，那么ab 【解答】解：A、如果e为单位向量，且e与a方向相同时，那么|aa e，故本选项不符 合题意 B、如果a、b
13、都是单位向量且方向相同，那么ab，故本选项不符合题意 C、如果ab ，则向量a与b的大小相等、方向相反，那么/ /ab，故本选项符合题意 D、若| | | |ab，那么a与b的模相等，但是方向不一定相等，即ab不一定成立，故本选 项不符合题意 故选：C 第 8 页（共 24 页） 6 （4 分）在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误 的是( ) A AOBDOC SS B AOB BOC SOD SOB C AOD BOC SOA SOC D ABD ABC SAD SBC 【解答】解：如图， / /ADBC， ABCDCB SS ， 即 AOBOBCO
14、BCDOC SSSS ， AOBDOC SS ，所以A选项的结论正确； / /ADBC， OAOD OCOB ， AOB BOC SOA SOC ， AOB BOC SOD SOB ；所以B选项的结论正确； / /ADBC， AODCOB， 2 () AOD BOC SOA SOC ，所以C选项的结论错误； / /ADBC， 点B到AD的距离等于点A到BC的距离， ABD ABC SAD SBC ，所以D选项的结论正确； 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：3(2 )2()abab 8ab
15、 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：原式3622 )8ababab 故答案是：8ab 8 （4 分）已知抛物线 2 (1)1ya x的开口向上，那么a的取值范围是 1a 【解答】解：因为抛物线 2 (1)1ya x的开口向上， 所以10a，即1a 故答案为：1a 9（4分） 如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米， 那么他的高度上升了 50 米 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米， 坡比为1:2.4， 他行走的水平宽度为2.4x米， 由勾股定理得， 222 (2.4 )130 xx， 解得，50 x ， 即他沿着垂直方向升高了 50 米， 故答案为：50 10 （4 分）
16、已知线段AB的长为 4 厘米，点P是线段AB的黄金分割点()APBP，那么线 段AP的长是 (62 5) 厘米 【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，APBP，4AB 厘米， 51 (2 52) 2 BPAB 厘米， 4(2 52)(62 5)APABBP厘米， 故答案为：(62 5) 11 （4 分）已知抛物线 2 43yxx与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么ABC的 面积等于 3 【解答】解：抛物线 2 43(1)(3)yxxxx ， 当0y 时，1x 或3x ，当0 x 时，3y ， 点A、B、C的坐标为分别为(1,0)，(3,0)，(0,3)， 2AB， 第 10 页（共 24
17、 页） ABC的面积是： 23 3 2 ， 故答案为：3 12 （4 分）已知抛物线 2 yx，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点 (2,2)A，那么平移后的抛物线的表达式是 2 2yx 【解答】解：设所求的函数解析式为 2 yxk， 点(2,2)A在抛物线上， 2 22 k 解得：2k， 平移后的抛物线的表达式是 2 2yx 故答案为： 2 2yx 13 （4 分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米)关于水平距离 x（米)的函数解析式为 2 125 1233 yxx ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 3 米 【解答】解：由题意可得： 22 125
18、15 (8 ) 1233123 yxxxx 2 1 (4)3 12 x ， 故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m 故答案为：3 14 （4 分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上， 1 2 AE EB ，联结DE交对 角线AC于点O，那么 AO OC 的值为 1 3 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：四边形ABCD为平行四边形， / /ABCD，ABCD， 1 2 AE BE ， 1 3 AE AB ， 1 3 AE CD ， / /AECD， AOECOD， 1 3 AOAE OCCD 故答案为 1 3 15 （4 分） 如图， 已知在ABC中，90ACB， 点G
19、是ABC的重心，2CG ，4BC ， 那么cosGCB 2 3 【解答】解：延长CG交AB于D，如图， 点G是ABC的重心， 1 1 2 DGCG，ADBD， 90ACB， 213CDBDAD ， 6AB，DCBB ， 在Rt ACB中， 42 cos 63 BC B AB ， 第 12 页（共 24 页） 2 cos 3 GCB 故答案为 2 3 16 （4 分）如图，已知在ABC中，90C，10AB ， 1 cot 2 B ，正方形DEFG的顶 点G、F分别在AC、BC上， 点D、E在斜边AB上， 那么正方形DEFG的边长为 20 7 【解答】解：90C， 1 cot 2 BC B AC
20、， 设BCt，则2ACt， 22 (2 )5ABttt， 510t ，解得2 5t ， 2 5BC，4 5AC ， 过C点作CHAB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x， 易得四边形DGMH为矩形， MHDGx， 11 22 CHABACBC， 2 54 5 4 10 CH ， 8CMCHMHx， 第 13 页（共 24 页） / /GFAB， CGFCAB， CMGF CHAB ，即 4 410 xx ，解得 20 7 x ， 即正方形DEFG的边长为 20 7 17 （4 分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边 形ABCD中，10AB ，12BC ，
21、5CD ， 3 tan 4 B ，那么边AD的长为 9 【解答】解：如图，过端午A作AHBC于H，过点C作CEAD于E，连接AC 在Rt ABH中， 3 tan 4 AH B BH ， 可以假设3AH k，4BH k，则510AB k， 2k， 6AH，8BH ， 12BC ， 1284CHBCBH， 2222 642 13ACAHCH， 第 14 页（共 24 页） 90BD ，90DECD， ECDB ， 在Rt CED中， 3 tan 4 DE ECD EC ， 5CD ， 3DE，4CE ， 2222 (2 13)46AEACCE， 9ADAEDE 故答案为：9 18 （4 分）如图，
22、已知在ABC中，45B，60C，将ABC绕点A旋转，点B、 C分别落在点 1 B、 1 C处，如果 1/ / BBAC，联结 11 C B交边AB于点D，那么 1 BD B D 的值为 62 2 【解答】解：如图，过点D作 1 DEAB于E， 45B，60C， 75CAB， 1/ / BBAC， 1 75CABABB ， 第 15 页（共 24 页） 将ABC绕点A旋转， 1 ABAB， 11 45ABCABC ， 11 75AB BABB ， 1 30B AB， 又 1 DEAB， 11 45ABC， 2ADDE，3AEDE， 1 DEB E， 1 3ABDEDEAB， 1 2DBDE， 3
23、DBABADDEDE， 1 362 22 BDDEDE B DDE ， 故答案为： 62 2 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 2 602sin30 445cot30 tan cos 【解答】解：原式 2 2 1 ( 3)2 2 2 4()3 2 31 23 2(23) (23)(23) 42 3 20 （10 分）已知一个二次函数的图象经过点( 1,0)A 、(0,3)B、(2,3)C （1）求这个函数的解析式及对称轴； （2）如果点 1 (P x， 1) y、 2 (Q x， 2) y在这个二次函数图象上，
24、且 12 0 xx，那么 1 y 2 y （填“”或“” ) 【解答】解： （1）设二次函数的解析式为 2 (0)yaxbxc a 第 16 页（共 24 页） 根据题意，得 0 3 423 abc c abc ， 解得 1 2 3 a b c 二次函数的解析式为 2 23yxx， 抛物线的对称轴为直线 2 1 2( 1) x ； （2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线1x ， 点 1 (P x， 1) y、 2 (Q x， 2) y在这个二次函数图象上，且 12 0 xx， 12 yy， 故答案为 21 （10 分）如图，已知在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，/ /DEBC
25、，点M为 边BC上一点， 1 3 BMBC，联结AM交DE于点N （1）求 DN NE 的值； （2）设ABa，AMb，如果 2 3 AD DB ，请用向量a、b表示向量NE 【解答】 （1）解： 1 3 BMBC， 1 2 BM MC / /DEBC， DNNE BMMC ， 第 17 页（共 24 页） 1 2 DNBM NEMC 即： DN NE 的值是 1 2 ； （2）解：ABa，AMb， BMAMABba / /DEBC， 2 3 AD DB ， 2 3 ADDN ABBM 2 3 DNBM 由（1）知， 1 2 DN NE ，则2NEDN 244 22 333 NEDNBMba
26、22 （10 分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头 A，在ABC中，测得64B，45C，50BC 米，求河宽（即点A到边BC的距离） （结果精确到 0.1 米） （参考数据：21.41，sin640.90 ，cos640.44 ，tan642.05) 【解答】解：过点A作ADBC于点D如图所示： 在Rt ACD中，45C， 第 18 页（共 24 页） tan1 AD C CD ， CDAD， 在Rt ABD中，64B， tan2.05 AD B BD ， 1 2.05 BDBD， 50BCBDCD米， 1 50 2.05 ADAD米， 解得：33.6AD
27、（米) 答：河的宽度约为 33.6 米 23 （12 分）已知：如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线BD、AC相交于点E，过 点A作/ /AFDC，交对角线BD于点F （1）求证： DFDE BDBE ； （2）如果ADBACD ，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项 【解答】证明： （1）/ /ADBC， CBDADF ，180ADCBCD， / /AFCD， 180ADCDAF， DAFBCD ， DAFBCD， 第 19 页（共 24 页） ADDF BCBD ， / /ADBC， ADECBE， ADDE BCBE ， DFDE BDBE ； （2）ADBACD ，ADB
28、CBD ， ECDCBD ， 而CDEBDC ， DCEDBC， DCDE BDDC ， 2 DCDE DB， DFDE BDBE ， DE DBDF BE， 2 DCDF BE， 即线段CD是线段DF、BE的比例中项 24 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 ()4yxm与y轴交于点B，与x 轴交于点C、D（点C在点D左侧） ，顶点A在第一象限，异于顶点A的点(1, )Pn在该抛 物线上 （1）如果点P与点C重合，求线段AP的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan3OPQ，求点Q的坐标； （3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围 第 20 页
29、（共 24 页） 【解答】解： （1）由题意，抛物线 2 ()4yxm经过点(1,0)C， 2 (1)4m， 解得3m 或1（舍弃） ， (3,4)A，(1,0)P， 22 422 5PA （2）抛物线 2 ()4yxm经过点(0,0)C， 2 4m， 解得2m 或2（舍弃） ， 抛物线的解析式为 2 (2)4yx， 当1x 时，3n ， (1,3)P， 如图 1 中，延长PQ交X轴于F，设( ,0)F t (1,3)P， tan3POF， tan3OPQ， tantanPOFOPQ， POFOPQ， OFPF， 222 3(1)tt， 5t ， 第 21 页（共 24 页） (5,0)F，
30、直线PF的解析式为 315 44 yx ， 由 2 (2)4 315 44 yx yx ，解得 1 3 x y （即点)P或 15 4 15 16 x y ， 15 ( 4 Q， 15) 16 （3）如图 2 中， 由题意， 22 2 (1)44 40 1 mm m m ， 解得 1 2 2 m且1m 25 （14 分）如图，已知在Rt ABC中，90ACB，4ACBC，点D为边BC上一动 点（与点B、C不重合） ，点E为AB上一点，EDBADC ，过点E作EFAD，垂足 为点G，交射线AC于点F （1）如果点D为边BC的中点，求DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CDx，CFy，求
31、y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结DF，如果CDF与AGE相似，求线段CD的长 第 22 页（共 24 页） 【解答】解： （1）如图 1 中，过点D作DHAB于H 4CACB，90ACB， 2222 444 2ABACBC， 2CDDB，45B，90DHB， 2 2 2 DHBHDB， 3 2AHABBH， 1 tan 3 DH DAB AH （2）如图 2 中，过点A作ATAC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的 延长线于R 第 23 页（共 24 页） ATAC，BCAC， / /ATBC， ADCDAK ，EDBAKD， ADCEDB ， DAKDKA， DADK
32、， 90RDKA，90DACDAK ， DACR ， DADR， DCAR， 4ACCR， 90AFECAD ，90AKER， AFEAKE， 45EAFEAK ，AEAE， ()AEFAEK AAS ， AFAK， 90RAKTAF ，AKRAFT， ()AKRAFT ASA ， 8ARAT，RTDAC ， ACDTAF ， ACDTAF， 第 24 页（共 24 页） 1 2 CDAC AFTA ， 22AFCDx， 4CFAF， 24yx ， 42 (02)yxx （3）如图 3 中，连接DF，作DHAB于H GAEDAH ，AGEAHD ， AGEAHD， CDF与AGE相似， CFD与ADH相似， CFCD DHAH 或 CFCD AHDH ， 42 22 (4)4 2(4) 22 xx xx 或 42 22 4 2(4)(4) 22 xx xx ， 整理得， 2 8160 xx或 2 16160 xx， 解得，4 24x 或4 24（舍弃）或84 3或84 3（舍弃） ， 4 24CD或84 3， 当点F在下方时，同法可得， 4 3 3 CD ， 综上所述，满足条件的CD的值为4 24或84 3或 4 3 3
