1、12 类二级结论高效解题类二级结论高效解题 高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解 题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时 间，从而轻松拿高分. 结论 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 xD，都有 f(x)f(x) 0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)maxf(x)min0，且若 0D，则 f(0)0. 【例 1】 设函数 f(x)（x1） 2sin x x21 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm _. 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)（
2、x1） 2sin x x21 12xsin x x21 ， 设 g(x)2xsin x x21 ，则 g(x)g(x)， g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min 2g(x)maxg(x)min2. 答案 2 【训练 1】 已知函数 f(x)ln( 19x23x)1，则 f(lg 2)f lg 1 2 ( ) A.1 B.0 C.1 D.2 解析 令 g(x)ln(19x23x)，xR，则 g(x)ln( 19x23x)，因为 g(x) g(x)ln( 19x23x)ln(19x23x)ln(19x29x2)ln 10，
3、 所以g(x) 是定义在 R 上的奇函数. 又 lg 1 2lg 2，所以 g(lg 2)g lg 1 2 0， 所以 f(lg 2)f lg 1 2 g(lg 2)1g lg 1 2 12. 答案 D 结论 2 函数周期性问题 已知定义在 R 上的函数 f(x)，若对任意的 xR，总存在非零常数 T，使得 f(xT) f(x)，则称 f(x)是周期函数，T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下： (1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. (2)如果 f(xa) 1 f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a.
4、 (3)如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 【例 2】 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f x3 2 f(x)，且 f(2)f(1) 1，f(0)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)( ) A.2 B.1 C.0 D.1 (2)(多选题)(2020 济南模拟)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x1)与 f(x2)都为奇函 数，则( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数 C.f(x3)为奇函数 D.f(x4)为偶函数 解析 (1)因为 f x3 2 f(x)， 所以 f(x3)f x3
5、2 f(x)，则 f(x)的周期 T3. 则有 f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2， 所以 f(1)f(2)f(3)0， 所以 f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020) f(1)f(2)f(3)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020) 673f(1)f(2)f(3)f(2 020)0f(1)1. (2)法一 由 f(x1)与 f(x2)都为奇函数知，函数 f(x)的图象关于点(1，0)，(2， 0)对称，所以 f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0，所以 f(2x)f(4x)，即 f(x)f(2x)，所以 f(x)是以 2 为
6、周期的周期函数.又 f(x1)与 f(x2)都为奇函数， 所以 f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选 ABC. 法二 由 f(x1)与 f(x2)都为奇函数知，函数 f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0) 对称，所以 f(x)的周期为 2|21|2，所以 f(x)与 f(x2)，f(x4)的奇偶性相同， f(x1)与 f(x3)的奇偶性相同，所以 f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选 ABC. 答案 (1)B (2)ABC 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数， 且 f(1)1， 则 f(8)f(9) ( ) A.2 B.1 C.0
7、D.1 解析 由 f(x2)是偶函数可得 f(x2)f(x2)， 又由 f(x)是奇函数得 f(x2)f(x2)， 所以 f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x). 故 f(x)是以 8 为周期的周期函数，所以 f(9)f(81)f(1)1. 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，所以 f(8)f(0)0，故 f(8)f(9) 1. 答案 D 结论 3 函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xab 2 对称，特别地， 若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf(x)的图象
8、关于直线 xa 对称. (2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0， 即 f(x)f(2ax)， 则 f(x)的图象关于 点(a，0)对称. (3)若 f(ax)f(ax)2b 恒成立，则 yf(x)的图象关于点(a，b)对称. 【例 3】 (1)函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立，且函数 yf(x1) 的图象关于点(1， 0)对称， f(1)4， 则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_. (2)(多选题)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)2f(2x)，且 f(x)是偶函数，下 列说法正确的是( ) A.f(x)的图象关于点
9、(1，1)对称 B.f(x)是周期为 4 的函数 C.若 f(x)满足对任意的 x0，1，都有f（x 2）f（x1） x1x2 0，则 f(x)在3，2 上单调递增 D.若 f(x)在1，2上的解析式为 f(x)ln x1，则 f(x)在2，3上的解析式为 f(x)1 ln(x2) 解析 (1)因为函数 yf(x1)的图象关于点(1， 0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， 又 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以 f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)
10、f(2 014)f(2 014)0， 所以 f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. (2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又 f(x)的图象关于 y 轴对称， 所以 f(x)f(x)，则 2f(2x)f(x)，f(x)2f(x2)，从而 f(x2)2f(x 4)，所以 f(x)f(x4)，B 正确；由f（x 2）f（x1） x1x2 0)，当且仅当 x1 时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当 x0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且 x1). 【例 4】 已知函数 f(x)x1aln x. (1)
11、若 f(x)0，求 a 的值； (2)证明：对于任意正整数 n， 11 2 1 1 22 1 1 2n e. (1)解 f(x)的定义域为(0，)， 若 a0，因为 f 1 2 1 2aln 20，由 f(x)1a x xa x 知， 当 x(0，a)时，f(x)0； 所以 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增， 故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1. (2)证明 由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0. 令 x1 1 2n，得 ln 1 1 2n 1 2n. 从而 ln 11 2 ln 1 1 2
12、2 ln 1 1 2n 1 2 1 22 1 2n1 1 2n1. 故 11 2 1 1 22 1 1 2n 0， ln（x1）x0， 得x|x1，且 x0，所以排除选项 D. 当 x0 时，由经典不等式 x1ln x(x0)， 以 x1 代替 x，得 xln(x1)(x1，且 x0)， 所以 ln(x1)x1，且 x0)，排除 A，C，易知 B 正确. 答案 B (2)已知函数 f(x)ex， xR.证明： 曲线 yf(x)与曲线 y1 2x 2x1 有唯一公共点. 证明 令 g(x)f(x) 1 2x 2x1 ex1 2x 2x1，xR，则 g(x)exx1， 由经典不等式 exx1 恒成
13、立可知，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为增函数， 且 g(0)0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论 5 三点共线的充要条件 设平面上三点 O，A，B 不共线，则平面上任意一点 P 与 A，B 共线的充要条件是 存在实数 与 ，使得OP OA OB ，且 1.特别地，当 P 为线段 AB 的中 点时，OP 1 2OA 1 2OB . 【例 5】 在ABC 中，AE 2EB，AF3FC，连接 BF，CE，且 BF 与 CE 交于 点 M，AM xAE yAF，则 xy 等于( ) A. 1 12 B. 1 12 C.1 6 D.1 6 解析 因为AE 2E
14、B，所以AE2 3AB ， 所以AM xAE yAF2 3xAB yAF. 由 B，M，F 三点共线得2 3xy1. 因为AF 3FC，所以AF3 4AC ， 所以AM xAE yAFxAE3 4yAC . 由 C，M，E 三点共线得 x3 4y1. 联立解得 x1 2， y2 3， 所以 xy1 2 2 3 1 6. 答案 C 【训练 5】 在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点.若AB AM AN ，则 _. 解析 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 由已知易得 AB4 5AT， 4 5AT ABAM AN ， AT 5 4AM
15、 5 4AN ， T，M，N 三点共线，5 4 5 41， 4 5. 答案 4 5 结论 6 三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心|OA |OB |OC | a 2sin A. (2)O 为ABC 的重心OA OB OC 0. (3)O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA . (4)O 为ABC 的内心aOA bOB cOC 0. 【例 6】 P 是ABC 所在平面内一点，若PA PBPB PCPC PA，则 P 是ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
16、 解析 由PA PBPB PC，可得PB (PAPC)0，即PB CA0，PBCA，同理 可证PC AB，PABC.P 是ABC 的垂心. 答案 D 【训练 6】 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满 足OP OB OC 2 AP ，R，则 P 点的轨迹一定经过ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 设 BC 的中点为 M，则OB OC 2 OM ， 则有OP OM AP ，即MP AP . P 的轨迹一定通过ABC 的重心. 答案 C 结论 7 与等差数列相关的结论 已知等差数列an，公差为 d，前 n 项和为 Sn. (1)若 Sm，
17、S2m，S3m分别为等差数列an的前 m 项、前 2m 项、前 3m 项的和，则 Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列. (2)若等差数列an的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S奇，所有偶 数项之和为 S偶，则所有项之和 S2mm(amam1)，S偶S奇md，S 偶 S奇 am1 am . (3)若等差数列an的项数为奇数 2m1， 所有奇数项之和为 S奇， 所有偶数项之和 为 S偶，则所有项之和 S2m1(2m1)am，S奇S偶am，S 奇 S偶 m m1. 【例 7】 (1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13， 则 m( ) A.3 B
18、.4 C.5 D.6 (2)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 am1am1a2m0，S2m138，则 m _. 解析 (1)数列an为等差数列，且前 n 项和为 Sn， 数列 Sn n 也为等差数列. Sm1 m1 Sm1 m1 2Sm m ，即 2 m1 3 m10，解得 m5. 经检验，m5 符合题意. (2)由 am1am1a2m0 得 2ama2m0，解得 am0 或 2. 又 S2m1（2m1）（a 1a2m1） 2 (2m1)am38， 显然可得 am0，所以 am2. 代入上式可得 2m119，解得 m10. 答案 (1)C (2)10 【训练7】 (1)等差数列an的前
19、n项和为Sn， 若S1020， S2050， 则S30_. (2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，则数列的公差 d_. 解析 (1)(S20S10)S10(S30S20)(S20S10)，S303S203S10350320 90. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S奇，偶数项的和为 S偶，等差数列的公差 为 d. 由已知条件，得 S 奇S偶354， S偶S奇3227，解得 S 偶192， S奇162. 又 S偶S奇6d，所以 d192162 6 5. 答案 (1)90 (2)5 结论 8 与等比数列相关的结论 已知等比数
20、列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)数列 1 an 也为等比数列，其公比为1 q. (2)公比 q1 或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列 (nN*). (3)若等比数列的项数为 2n(nN*)，公比为 q，奇数项之和为 S奇，偶数项之和为 S偶，则 S偶qS奇. (4)已知等比数列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn.则 SmnSmqmSn(m，nN*). 【例 8】 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6 S33，则 S9 S6( ) A.2 B.7 3 C. 8 3 D.3 解析 由已知S6 S33，得 S63S3 且 q1，
21、因为 S3，S6S3，S9S6也为等比数 列， 所以(S6S3)2S3(S9S6)， 则(2S3)2S3(S93S3).化简得 S97S3， 从而S9 S6 7S3 3S3 7 3. 答案 B (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S37 2，S6 63 2 . 求数列an的通项公式； 求 log2a1log2a2log2a3log2a25的值. 解 由 S37 2， S6 63 2 ， 得 S6S3q3S3(1q3)S3， q2.又 S3a1(1qq2)， 得 a11 2. 故通项公式 an1 22 n12n2. 由及题意可得 log2ann2， 所 以 log2a1 log
22、2a2 log2a3 log2a25 1 0 1 2 23 25（123） 2 275. 【训练 8】 已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6， 则数列 1 an 的前 5 项和为( ) A.15 8 或 5 B.31 16或 5 C.31 16 D.15 8 解析 设等比数列an的公比为 q，易知 S30. 则 S6S3S3q39S3，所以 q38，q2. 所以数列 1 an 是首项为 1，公比为1 2的等比数列，其前 5 项和为 1 1 2 5 11 2 31 16. 答案 C 结论 9 多面体的外接球和内切球 (1)长方体的体对角线长 d 与共点的三条
23、棱长 a，b，c 之间的关系为 d2a2b2 c2；若长方体外接球的半径为 R，则有(2R)2a2b2c2. (2)棱长为 a 的正四面体内切球半径 r 6 12a，外接球半径 R 6 4 a. 【例 9】 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计)， 现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积 的7 8时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于 ( ) A.7 6 B.4 3 C.2 3 D. 2 解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的7 8时，设水面上方的小三棱锥的棱长为 x(各棱长都相等). 依题意， x 4
24、3 1 8，得 x2，易得小三棱锥的高为 2 6 3 . 设小球半径为 r，则1 3S 底面 2 6 3 41 3S 底面 r(S底面为小三棱锥的底面积)，得 r 6 6 . 故小球的表面积 S4r22 3 . 答案 C 【训练 9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是 1，且其外接 球的表面积是 16，则该三棱柱的侧棱长为( ) A. 14 B.2 3 C.4 6 D.3 (2)已知球 O 的直径 PA2r，B，C 是该球面上的两点，且 BCPBPCr，三 棱锥 PABC 的体积为32 2 3 ，则球 O 的表面积为( ) A.64 B.32 C.16 D.8 解析 (1)
25、由于直三棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱 ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外 接球的表面积是 16，所以外接球半径为 2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三 角形，斜边长 2，所以该三棱柱的侧棱长为 162 14. (2)如图，取 PA 的中点 O，则 O 为球心，连接 OB，OC，则几何体 OBCP 是棱 长为 r 的正四面体，所以 VOBCP 2 12r 3，于是 VP ABC2VOBCP 2 6 r3，令 2 6 r3 32 2 3 ，得 r4.从而 S球44264. 答案 (1)A (2)A 结论 10 焦点三角
26、形的面积公式 (1)在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中，F1，F2 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则 PF1F2的面积 SPF1F2b2 tan 2，其中 F1PF2. (2)在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)中，F1，F2 分别为左、右焦点，P 为双曲线上一 点，则PF1F2的面积 SPF1F2 b2 tan 2 ，其中 F1PF2. 【例 10】 如图，F1，F2是椭圆 C1：x 2 4y 21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分 别是 C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率 是( ) A. 2 B. 3 C.3
27、2 D. 6 2 解析 设双曲线 C2的方程为x 2 a22 y2 b221，则有 a 2 2b22c22c21413. 又四边形 AF1BF2为矩形，所以AF1F2的面积为 b21tan 45 b22 tan 45 ，即 b22b21 1. 所以 a22c22b22312. 故双曲线的离心率 ec2 a2 3 2 6 2 . 答案 D 【训练 10】 已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 PF2 .若PF1F2的面积为 9，则 b_. 解析 在焦点三角形 PF1F2中，PF1 PF2 ， 所以F1PF290 ， 故 SP
28、F1F2b2tanF 1PF2 2 b2tan 45 9，则 b3. 答案 3 结论 11 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆 C：(xa)2(yb)2R2上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)R2. (2)过椭圆x 2 a2 y2 b21 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0 x a2 y0y b2 1. (3)已知点 M(x0，y0)，抛物线 C：y22px(p0)和直线 l：y0yp(xx0). 当点 M 在抛物线 C 上时，直线 l 与抛物线 C 相切，其中 M 为切点，l 为切线. 当点 M 在抛物线 C 外时，直线 l 与抛物线 C 相交，其中
29、两交点与点 M 的连线 分别是抛物线的切线，即直线 l 为切点弦所在的直线. 【例 11】 已知抛物线 C：x24y，直线 l：xy20，设 P 为直线 l 上的点， 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，当点 P(x0，y0)为直 线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程. 解 联立方程得 x 24y， xy20，消去 y，整理得 x 24x80，(4)248 160)焦点的弦 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 (1)xA xBp 2 4 . (2)yA yBp2. (3)|AB|xAxBp 2
30、p sin2( 是直线 AB 的倾斜角). 【例 12】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF| 2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B.9 2 C.5 D.6 解析 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A，B 在准线上的射影分别为 D，C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos |AE| |AB| 1 3， sin28 9. 又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB| 2p sin2 9 2. 答案 B 【训练
31、12】 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 解析 法一 由已知得焦点坐标为 F 3 4，0 ， 因此直线 AB 的方程为 y 3 3 x3 4 ， 即 4x4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y90， 故|yAyB|（yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB1 2|OF|yAyB| 1 2 3 46 9 4. 法二 由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB| 2p sin2 3 sin230 12. 原点到直线 AB 的距离 d|OF| sin 30 3 8， 故 SAOB1 2|AB| d 1 212 3 8 9 4. 答案 D
