1、第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 1 第第 1 章章 函数与极限函数与极限 本章知识 1. 数列 n x收敛到a的定义：_. 2. 数列极限的性质： 极限的唯一性：_. 收敛数列的有界性：_. 收敛数列的保号性：_. 收敛数列与其子数列间的关系：_. 3. 函数极限的定义： f x当 0 xx时的极限为A的定义：_. f x当 0 xx 时的极限为A的定义：_. f x当 0 xx 时的极限为A的定义：_. f x当x时的极限为A的定义：_. f x当x 时的极限为A的定义：_. f x当x 时的极限为A的定义：_. 4. f x当 0 xx时的极限存在的充分必要条件是_.
2、 f x当x时的极限存在的充分必要条件是_. 5. 函数极限的性质： 函数极限的唯一性：_. 函数极限的局部有界性：_. 函数极限的局部保号性：_. 函数极限与数列极限的关系：_. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 2 6. 无穷小定义：_. 无穷大定义：_. 7. 无穷小与极限的关系：_. 8. 无穷大与无穷小的关系：_. 9. 有理分式函数的极限： 1 01 1 01 _, lim_, _, mm m nn x n nm a xa xa nm b xb xb nm . 10.夹逼准则：_. 11.单调有界准则：_. 12.两个重要极限： 0 sin lim x x x
3、_； 1 lim 1 x x x _. 13.无穷小的比较： 高阶无穷小：_. 低阶无穷小：_. 同阶无穷小：_. k阶无穷小：_. 等价无穷小：_. 14. 0 x时，sinx_； t a n x_； arcsinx_； arctan x_； 1 cosx_； e1 x _； ln1x_； 1 11 n x_. 15.函数在点 0 x处连续的定义：_. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 3 16.函数在点 0 x处连续的等价条件：_. 17.函数在点 0 x处左连续的定义：_. 18.函数在点 0 x处右连续的定义：_. 19.函数在点 0 x处连续、左连续、右连续的关系
4、：_. 20.函数间断点的类型： 第一类间断点：_. 跳跃间断点：_； 可去间断点：_. 第二类间断点：_. 无穷间断点：_； 振荡间断点：_. 21.闭区间上连续函数的性质： 最值存在定理：_. 零点定理：_. 介值定理：_. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 4 1.1 映射与函数映射与函数 A 组 1. 函数 1 1 x f x x 与函数 1 1 x f x x 是否为同一个函数？ 2. 设函数 f x的定义域为0,2，则函数17 2 x ffx 的定义域为 _. 3. 若 3 4 1 1 xx fx xx ，则 f x _. 4. 若函数 xa f x xb 的反
5、函数 1 xa fx xb ，则a为_，b为_. B 组 5. 若 f x为奇函数， 当0 x时， 11f xx ， 则当0 x时， f x _. 6. 设 1,1 0,1 x f x x ，则 fff x （ ）. A. 0 B. 1 C. 1,1 0,1 x x D. 0,1 1,1 x x 7. 周期函数 cossinf xxx的最小正周期是（ ）. A. 4 B. 2 C. D. 2 8. 若对一切实数x，都有 5f xf x，则曲线 yf x（ ）. A. 关于直线 5 2 x 对称 B. 关于点 5 ,0 2 对称 C. 向左（或右）平移10个单位，与原曲线相重合 D. 以上都不对
6、 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 5 1.2 数列的极限数列的极限 A 组 1. “数列极限lim n n x 存在”是“数列 n x有界”的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 数列 n x收敛是数列 3 n x收敛的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B 组 1. 求证：数列 1 11 4 3 2, 2 3 4 n n n 的极限是1. 2. 设1q ，求证：等比数列 21 1, , n q qq 的极限是0. 3. 若数列 n a有极限a，
7、则对于任意的正数，在a点的邻域外，数列 n a中 的点（ ）. A. 一个都没有 B. 至少有一个 C. 至多有有限多个 D. 可能有无限多个 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 6 1.3 函数的极限函数的极限 A 组 1. 从 0 lim1 xx f x 不能推出（ ）. A. 0 01f x B. 0 01f x C. 0 1f x D. 0 lim10 xx f x 2. lim x f xL 是 lim n f nL 的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 0 lim xx f xA ，则必有（
8、）. A. f x在 0 x点的某个去心邻域内有界 B. f x在 0 x点的任一去心邻域内有界 C. f x在 0 x点的某个去心邻域内无界 D. f x在 0 x点的任一去心邻域内无界 B 组 1. 求证： 1 lim 211 x x . 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 7 2. 求证： 1 lim0 x x . 3. 极限定义中的与之间的关系是（ ）. A. 是的函数，即 f B. 与无关 C. 由所确定，但不唯一，对于满足极限定义的，一切大于的正数 * 都满足定义要求 D. 由所确定，但不唯一，对于满足极限定义的，一切小于的正数 * 都满足定义要求 第 1 章 函
9、数与极限（题库） 第 页 共 20 页 8 1.4 无穷大无穷大与与无穷小无穷小 A 组 1. 当x时，arctan 2 x 是（ ）. A. 无穷大量 B. 无穷小量 C. 有界变量 D. 无界变量 2. 当0 x时，函数 11 sinfx xx 是（ ）. A. 无穷大量 B. 无穷小量 C. 有界变量 D. 无界变量 1.5 极限运算法则极限运算法则 A 组 1. 2 3 9 lim 3 x x x （ ）. A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 2. 2 23 lim 54 x x xx （ ）. A. 0 B. C. 2 D. 不存在 3. 32 32 342 lim 753 x
10、xx xx （ ）. A. 3 7 B. 0 C. D. 2 3 4. 32 2 25 lim 321 x xx xx （ ）. A. 2 3 B. 0 C. D. 5 5. sin lim x x x （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 不存在 6. 2 4 lim 1 x x x （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 不存在 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 9 7. 2 2 4 lim 1 x x x （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 不存在 8. 2 2 4 68 lim 54 x xx xx （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 3 9.
11、 2 1 231 lim n n n （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 1 2 10. 2 1111 lim 3153541 n n （ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 2 11. 32 3 343 lim 26 n nnn n （ ）. A. 0 B. C. 1 D. 1 2 12. 2 2 3 8cos2cos1 lim 2coscos1 x xx xx （ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 2 13. 2 1 12 lim 11 x xx （ ）. A. 2 B. 1 2 C. 2 D. 1 2 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 10
12、 B 组 1. 若 2 1 lim0 1 x x axb x ，求, a b的值. 2. 已知 2 lim 312 x xaxbx ，求, a b. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 11 1.6 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 A 组 1. 0 tan3 lim 2 x x x （ ）. A. 1 B. 3 C. 3 2 D. 1 2 2. 0 sin2 lim 5 x x x （ ）. A. 1 B. 2 C. 2 5 D. 1 5 3. 0 1 cos2 lim sin x x xx （ ）. A. 1 B. 3 C. 2 D. 1 2 4. 2s
13、in2 limsin x x x xx （ ）. A. B. 2 C. 1 D. 0 5. 1 0 lim 1 x x x （ ）. A. e B. 1 e C. 1 D. 0 6. 1 0 lim 1 2 x x x （ ）. A. 2 e B. e C. 1 D. 0 7. 2 1 lim x x x x （ ）. A. 2 e B. e C. 1 D. 0 8. lim4 2 x x xc xc ，则c（ ）. A. 2 B. 1 C. ln4 D. ln4 9. 2 2 1 1 sin e lim e n n n n n n （ ）. A. 0 B. 1 C. 1 D. 第 1 章 函
14、数与极限（题库） 第 页 共 20 页 12 10. 若 3 2 lim 1e kn n n ，则k （ ）. A. 3 2 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3 B 组 1. 设数列 , nnn abc满足 nnn abc，下列命题不正确的是（ ）. A. 若limlim nn nn aca （a是实数） ，则lim n n ba B. 若limlim nn nn ac ，则lim n n b C. 若limlim nn nn ac ，则lim n n b D. 若limlim nn nn ac ，则lim n n b 2. 计算极限： 3 1 0 1tan lim 1 sin x x
15、x x . 3. 设 11 03,31,2, nnn xxxxn ，证明数列 n x的极限存在，并求此 极限. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 13 1.7 无穷小的比较无穷小的比较 A 组 1. 0 tan2 lim sin5 x x x （ ）. A. 1 B. 2 C. 2 5 D. 1 5 2. 1 2 3 0 11 lim cos1 x x x （ ）. A. 1 B. 2 3 C. 2 3 D. 0 3. 当n时， 23 4 1 23 1 nn n 是 23 5 1 23 1 nn n 的（ ）. A. 高阶无穷小 B. 同阶但不等价无穷小 C. 低阶无穷小
16、D. 等价无穷小 4. 3 0 tansin lim x xx x （ ）. A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 0 5. 设0 x，则lim2 tan 2 n n n x （ ）. A. 0 B. 1 C. x D. 6. 0 11 limsinsin x xx xx （ ）. A. 0 B. 1 C. 1 D. 3 7. 2 2 0 1 sin lim sin2 x x x x （ ）. A. 0 B. 1 2 C. D. 2 8. 0 lim 1 cos x x x （ ）. A. 0 B. 1 3 C. 1 D. 2 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 14 B
17、组 1. 已知 0 tansin1 lim 2 p x xx x ，则常数p （ ）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 1.8 函数的连续性函数的连续性与间断点与间断点 A 组 1. 2 x 是函数tanyx的（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 2. 0 x是函数 1 siny x 的（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 3. 1x 是函数 2 1 1 x y x 的（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 4. 1x 是函数 1,1 3,1 xx y x x 的
18、（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 15 5. 函数 1 1 e,1 0,1 x x f x x 在1x 处（ ）. A. 连续 B. 左连续 C. 右连续 D. 左右都不连续 6. 0 x是函数 2 1 cosxx x 的（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 7. 1x 是函数 2 2 1 32 x y xx 的（ ）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 8. 0 x是函数 1,0 0,0 1,0 xx yx xx 的（
19、）. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 9. 已知 1 1 3,0 ,0 sin3 ,0 x xx f xBx Ax x x ，问,A B取何值时， f x在0 x连续. B 组 1. 设 1 ln 1f xx x ， 要使 f x在0 x处连续， 则需补充定义 0f（ ） . A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 2. 若 f x在1x 处连续，且 1 2 lim1 1 x f x x ，则 1f（ ）. A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 3. 已知函数 f x连续，且 2 0 1 cos lim1 e1 xx xf x f x ，则 0f（ ）.
20、A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 16 4. 11f xm xn x 在, 上（ ）. A. 连续 B. 仅有两个间断点1x，它们都是可去间断点 C. 仅有两个间断点1x，它们都是跳跃间断点 D. 以上都不对，其连续性与常数,m n有关 5. 1 e ,0 ,0 x x f x ax ，则（ ）. A. 当0a时， f x在0 x点左连续 B. 当1a 时， f x在0 x点左连续 C. 当0a时， f x在0 x点右连续 D. 当1a 时， f x在0 x点右连续 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 17 1.9
21、连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 A 组 1. 当0 x时，下列结论正确的是（ ）. A. 22 ln 1xx B. 1 21xx C. 2 1 e 2 x x D. ln 1 sinxx 2. 当0 x 时，与x等价的无穷小是（ ）. A. 1 e x B. 1 ln 1 x x C. 11x D. 1 cosx 3. 当0 x时， 2 211xx是x的（ ）. A. 高阶无穷小 B. 同阶但不等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小 4. 3 0 1 1 lim arctan x x x （ ）. A. 0 B. 1 3 C. 1 D. 2 5. 若0
22、 x时， 1 2 4 11ax与sinxx是等价无穷小，则a（ ）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 6. 1 54 lim 1 x xx x （ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. e ln1 lim e x x x （ ）. A. 0 B. 1 C. e D. 1 e 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 18 B 组 1. 032 sintan lim 111 sin1 x xx xx （ ）. A. 0 B. 3 C. 3 D. 6 2. 计算极限： 2 1 ln 1 0 lim cosx x x . 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共
23、20 页 19 1.10 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 A 组 1. 0f af b是方程 0f x 在, a b有解的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 方程 5 31xx在区间（ ）上必有实根. A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 3. 方程 32 410 xx 在区间（ ）上必有实根. A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 4,5 B 组 1. 下列结论中正确的是（ ）. A. 若 f x在, a b内连续，且在xa与xb点有定义，则 f x在, a b上 必有界 B. 函数
24、 ,f xg x在, a b上都连续的必要条件是函数 f xg x在, a b 上有界 C. 若 f x在, a b上有界，则 f x在, a b上必有最大值和最小值 D. 若 f x在, a b上 连 续 ， 则 至 少 存 在 一 点, a b， 使 2 fafb f 2. 求证：方程 3 910 xx 恰有三个实根. 第 1 章 函数与极限（题库） 第 页 共 20 页 20 3. 已知函数 f x在0,2a上连续，且 02ffa，求证：在0,a上至少存在 一点x，使得 f xf xa. 4. 设 f x与 g x在, a b上连续，且 ,f ag af bg b，证明：曲线 yfx与 yg x在, a b内至少有一个交点. 5. 一个旅游者在早上 7 点钟离开安徽黄山下的旅馆， 沿着一条上山的路在下午 7 点钟走到了黄山顶上的旅馆；第二天早上 7 点钟他从山顶沿原路下山，在下午 7 点钟回到了山下的旅馆. 试证明：在路上存在这样的一个地点，旅游者在两天里 的同一个时刻经过它.
