1、1 1 孪生素数对无穷孪生素数对无穷 - 当当1n时，在时，在闭区间闭区间6, 1 2 nn pp内至少有内至少有2) 1( n p对孪生素数对孪生素数. 张 忠 （江苏省 南通市 崇川区） 摘要 本文依据同余理论和数学归纳法，通过采用堆垒筛法的图解法求联立二次不同余式 n x ）（., 2 , 1,mod1nipi关于模 n 的最小正解系 n X中 n x的分布规律，证明了: 当1n时，在闭区间 6, 1 2 nn pp内至少有2) 1( n p对孪生素数. 故知孪生素数对无穷. 关键词 模，素数，集合，基数，密度，孪生素数，堆垒筛法，联立二次不同余式. 一. 名词、代(符)号及相关定义的说
2、明： 1. 未作特别声明的小写字母均表整数. 2. . 21nn ppp .2 32nnn ppp 3. )(a表a的欧拉函数. 4. a表不小于实数a的最小整数.例：；22 . 3001. 2 5. )( k p表 k p的忠言函数忠言函数（注（注:此为自定义的名称此为自定义的名称.）并约定: 仅，1)2()( 1 p而当2k时: ，2)( kk pp 且约定: ).()()()()( 321kk pppp 6. n X表集合 n X的基数，即集合 n X中不同元素的个数. 7. n 表模 n 的最小正简化剩余系： .1),( |1 nnnnn . 1)(,2 1)(,3,2, 1 1 1
3、nnnnnnnnnnn p （ 注：,3,2,1 nnn 表模 n 的由小到大排列的最小正简化剩余数列. ） 8. 表不同余符号. 如a)(mod mb表关于模m:a与b不同余. 9. 定义：x)(mod1 k p为关于素模 k p的一次不同余式，表凡关于素模 k p : 与1同余的一类数均 非该一次不同余式的解，而关于素模 k p :与1不同余的 )( k p类均为该一次不同余式的解系. 而求关于 素模 k p : 一次不同余式x ）（ k pmod1解系的图解法称为素模 k p对1的一次筛，记作.1 k s 例: 1 1 s: 其解系为.2 1 X 2 2 （注上图中列中含红色格的整数均为
4、被筛（删）除掉的数） 10. 定义：x)(mod1 k p为关于素模 k p的二次不同余式，表凡关于素模 k p : 凡与1和 1同余 的二类数均非该二次不同余式的解，关于素模 k p :x 的)( k p类数:).(320 k pX， 均为 该一次不同余式的解系. 而求关于素模 k p : x)(mod1 k p最小正解系系的图解法称为素模 k p对 1的一次筛，记作.1 k s 例: 1 1 s同 1 1 s:其解系: .2X 1 4 s: 其解系: .5432，X 11. 定义： n x.), 2 , 1,(mod1nipi为关于模 n 的联立二次不同余式，其关于模 n 的最小正 解系记
5、作. n X 而求n X的图解法称为堆垒筛法， 并记作.2 1 1 1 21 nn sssS 如 1 4 S 的筛图可参见第3页的图一： 1 1 1 1 1 43214 ssssS的二次堆垒筛图. 二. 孪生素数形成及其解析式: 分析分析：由素数的定义知: 若整数 2 1 1 nn pb且 n b，nipi）（., 2 , 1,mod0则 n b的为素数. 即： 若模 n 的简化剩余 2 1 1 nn p，则 n 为素数. 同理：对于相差为2的两个整数1 n x，若 2 1 11 nn px且1 n x）（., 2 , 1,mod0nipi （即 n x）（., 2 , 1,mod1nipi）
6、则：1 n x是一 对孪生素数. 以下用数学归纳法证明: 命题命题: 当当1n时，在时，在闭区间闭区间6, 1 2 nnn ppA内至少有内至少有2) 1( n p对的孪生素数对的孪生素数. 证： 验证： .1 当1n时，由素数定义知：, 2 1 p, 2 1 模, 2 1 模 1 的简最小正简化剩余系为: .,1 1 闭区间.10, 36, 1 1 2 AppA nnn 故由素数判别法知：凡大于1 1 1 且小于92 2 2 2 1 p的 i pi 1 均为素数: , 1 1 1 , 32 21 p, 53 31 p. 974 2 241 pp 经查：在闭区间10, 3 1 A内至少有232
7、) 1(2 1 p对孪生素数: ；， 53 。， 75 故由验证知 .1：当1n时原命题成立. .2 当2n时：因由.1 已确定, 32 12 p故可知：, 632 212 pp模 2 的简最小正 简 化 剩 余 系 为 : .,51 2 ，而 由 素 数 判 别 法 知 ：, 1 1 2 , 532 312 p 3 3 , 743 412 p , )1(22 i pi .2310 92 p均为素数. 经查：在闭区间15, 46, 1 2 2 AppA nnn 内至少有2242) 1( 2 p对的孪生数: ；7 , 5 。，1311 故由验证知.2：当 2n时原命题成立. .3 当3n时因由.
8、1 和.2 已确定, 523 213 p故可知： ,60532 3213 ppp模 3 的简最小正简化剩余系为: .,29,23,19,17,13,11, 71 3 ，故又 可确定1 1 3 与4972 22 4 2 3 p间的全部素数).1( 1 33 iip i , 7432 41234 pp ,1143 235 p,1354 236 p 经查：在闭区间31, 66, 1 3 2 AppA nnn 内至少有3262) 1( 3 p对的孪生素数: ；， 1311 ；，1917 .3129， 故由验证知.3：当3n时原命题成立. .4 当4n时， 在.3 , 2 , 1n时就被确定的：, 74
9、32 1234 p,210 43214 pppp 模 4 的简最小正简化剩余系为: .,209,31,29,23,19,17,13,111 4 ，故知，凡大于1 1 4 且小于 1211123 22 5 2 4 2 3 p的 )1(33 i pi均为素数: ,112 54 p ,133 64 p 由孪生素数形成的分析分析知，若: 2 1 11 nn px且 n x），（., 2 , 1,mod1nipi 则 1 n x是一对 孪 生 素 数 . 故 当4n时 ： 若 ，121566111 2 5 2 1 2 44 pppxx nn 且 4 x ），（. 4 , 3 , 2 , 1,mod1ip
10、i 则 1 n x是一对孪生素数. 模 4 的联立二次不同余式的最小正解系 4 X可由图一： 1 1 1 1 214 n sssS确定. 图一 1 1 1 1 1 43214 ssssS的二次堆垒筛图 4 4 （说明说明：图一中上面的第一行表 n x）（ 4 mod1p的二次筛,1s4；第二行表 n x）（ 3 mod1p 的二次筛； 1s3第五行表模210 4 的最小正完全剩余系.而列中含红色格点的自然数表已被筛 除的数.） 由图一获关于模210 4 的联立二次不同余 4 x）（. 4 , 3 , 2 , 1,mod1ipi的最小正解系: .2101981921801681501381081
11、02726042301812 4 ，X（注：其中）（ 4 mod0210） 4 X的基数 .15)2)(2)(2)(1 ()()()()()( 432432144 pppppppX 故知: 4 X是由模 4 唯一决定的，但是 4 x的分布密度是不均匀的:有密有疏！但仍可发现 4 x内在 模 4 内分布的一般规律: 1. 在数轴上所有 4 x均为6数的倍数且关于轴)(mod 44 与轴)(mod 44 对称分布 2. 在模 4 的最小正完全剩余系的首末两端内侧附近，存在一些小范围的 4 x的大密度区.例如在: 闭区间55, 86, 1 2 444 ppA内48个连续整数中有4个.42,30,18
12、,12 44 Xx 在区间 4 A内 4 x的密度，121484大于 4 x在 4 中 4 x的平均密度.14121015)( 44 故知即使按 4 x在 4 中 4 x的平均密度.14121015)( 44 在区间 4 A内至少也应有大于73314148的最小整数4 个. 44 Xx 因,611 2 5 2 44 ppx 且, 11 44 ），（x故由素数判别法知在闭区间31, 66, 1 2 nn pp 内至少有4282) 1( 3 p对的孪生素数.)42,30,18,12(1 44 xx: ；， 1311 ；，1917 。，；，43413129 故知.4:当4n时，在闭区间6, 1 2
13、44 pp内至少有42) 1( 4 p对孪生素数. 原命题成立. 由.1 至.4 知: : 当41n时原命题成立. 现归纳假设：当4kn时，原命题“在闭区间6, 1 2 kkk ppA内至少有2) 1( k p对的孪 生素数”成立. 因当kn时: 早在1kn时就已确定：.432 321 kkkkn pp 且 , 2 1 kk pp 故, 21kkn ppp 6, 1 2 kkkn ppAA也随之确定. 故可获确定的联立二次不同余式: kn xx ）（., 2 , 1,mod1kipi 则由归纳假设知： 之所以在闭区间6, 1 2 kkk ppA内至少有2) 1( k p个 k x数的结论， 是
14、因为 闭区间 k A内 k x的密度21）（ k p大于 k x在 k 中 k x的平均密度.)( kk 故当4kn时，原命题 成立. 5 5 则当1kn时已知: ,432 211 kkkk p , 2 1 kk pp ,)( 1kk pp , 11211 kkkk pppp 6, 1 2 111 kkk ppA 则可作已确定了的联立二次不同余式: 1 kn xx）（. 1, 2 , 1,mod1kkipi 由: 1 1 1 1 1 1 1 11211 kkkkk sSssssS知： 1k x在 1k 中的平均密度 为.)()()( 1111 kkkkkk pp 而在闭区间6, 1 2 111
15、 kkk ppA内有且仅有6 1 2 1 kk pp个连续整数，若按 1k x在 1k 中的 平均密度计，在 1k A内至少也有：2) 1(32) 1()()6( 111111 2 1 kkkkkkk ppppp 个， 2 21 1 kk px 故知处于 1k x高密度范围内的区间 1k A内至少也有2) 1 1k p（对孪生素数: .11 2 21 kk px 故知：当1kn时原命题成立. 由、知:原命题成立. 故知孪生素数有无限多对. 验证：当5n时:,11 5 ppn,2310 543215 ppppp，126,165, 5 2 nn pp 联立二次不同余式为: 5 xxn）（. 5 ,
16、 4 , 3 , 2 , 1,mod1ipi 为求闭区间126,16内最小正解 5 x， 现 作二次堆垒筛 1 5 S : 6 6 由 1 5 S图知: 在126,16内有7个大于62) 111(21 5 ）（p个: 5 x .108,102,72,60,42,30,18 5 x 经查:在 126,16内确有有7对孪生素数: ，118，130，142，160，172，1102. 1108 故由验证知: 当5n时原命题成立. 参考文献 1 华罗庚. 数论导引. 科学出版社出版M. 1957 年 7 月第一版. 2 闵士鹤, 严士健. 初等数论M. 湖北人民出版社出版. 1957 年 11 月第一版. 3 熊全淹. 初等数论M. 湖北人民出版社出版. 1982 年 6 月第一版.
