安徽省皖西南联盟2021届高三上学期期末考试数学（理）试题（扫描版含解析+答题卡）.zip

? ? ?年高三期末考试数学试题?参考答案? 第 ? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?年高三期末考试 数学试题参考答案?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?依题意可得? ?是首项为?公比为?的等比数列?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的展开式中的第三项? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? 槡? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故? ? ? ? ? ? ? ?的标准方程为? ? ? ? ? ?依题意可得? ? ?槡? ?槡?解得? ? ? ?则? ? ?槡? ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图?因为? ?与? ?异面? 所以?四点不共面?故?错误? 易证? ?平面? ? ?因为? ?平面? ? ?所以平面? ? ?平面? ? ? 故?正确? 因为平面? ? ?平面? ? ?且? ?平面? ? ?所以? ?平面 ? ? ?故?正确? 因为? ?与平面? ? ? ?所成角为? ?且? ? ? ? ? ?故?错误? ? ? ?作出约束条件表示的可行域? 图略? ?因为? ? ?所以当直线? ? ? ? 经过点?时?取得最大值?则? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当? ? ? 时?等号成立?故? ? ? ?的最小值为? ? ? ? ? ? ? ? ?易知?的坐标为? ? ? ?则? ? ? ?依题意可知? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?是?与?图象交点的横坐标?是?与?图象交点的横坐标? ?是?与?图象交点的横坐标? 在同一坐标系中?作出? ? ? ? ?的图象?如图所示? 由图可知? ? ? ? ?设? ? ? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则?在?上单调递增?因为 ?是定义域为?的奇函数?所以?则? ?不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 等价于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?年高三期末考试数学试题?参考答案? 第 ? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?依题意可得? ? ?则? ? ? ? ? ?解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ?所以? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?依题意可作出?在? ?上的图象?如图所示? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? 所以由图可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为平面? ? ?与平面? ? ? ?的交线为? ?所以截面为四边形 ? ? ? ?而四边形? ? ? ?为等腰梯形?且? ? ? ?槡? ? ?槡? ?故其面 积为槡 槡? ? ? ? 槡? ? ? 设线段? ?的中点为?四面体? ? ? ?外接球的球心为? 则? ?平面? ? ?设球?的半径为?则? ? ? ? ? ? ? ? ? 因 为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 从而? ? ? ? ? 故球?的表面积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解?因为? ? ? ? ? ? ?所以? ?分 因为? ?所以? ? ?分 又?槡 ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ? ?所以? ? ? 槡? ? ? ? ?分 故? ? ?的面积? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ?分 ? ?证明?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 解得? 槡? ?负根舍去? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ?分 则?为直角?故? ? ?为直角三角形? ? ?分 ? ? ?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 故?关于?的线性回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?若?项目投资? ?万元?则该企业所得纯利润的估计值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?万元?分 若?项目投资? ?万元?则该企业所得纯利润的估计值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?万元? ? ?分 因为? ? ? ? ? ? ?所以可预测?项目的收益更好? ?分 ? ? ?证明?由? ? ? ?且? ? ? ? ? ?年高三期末考试数学试题?参考答案? 第 ? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可得? ?平面? ?因此? ?分 由? ? ? ? ? ? ? 槡? ?得? ?槡? ? ? ? ? ?分 因此? ? ? ? ? ?由勾股定理可得? ? ? ? 槡 ? 槡? ? ?分 又因为点?为?的中点?所以? ?分 而? ? ?故?平面? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解?因为? ? ? ?所以? ?平面? ?又? ? ?所以? ?平面 ? ?分 如图?以?为原点?建立空间直角坐标系? ? ?则? 槡? ? 槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡? ?分 易知?是平面? ? ?的一个法向量?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 槡? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?分 令? 槡? ?得? ?槡?槡? ? ?分 ? ? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?分 易知二面角? ?为锐角?故二面角? ?的余弦值为 槡? ? ? ? ?分 ? ? ?解? ?依题意可知 ? ? ? ?槡 ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 故?的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?依题意可设直线?的方程为?槡? ?分 联立 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 ? ? ? ? ? ? ?分 设? ? ? ?则? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分 原点到直线?的距离? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ?的面积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当且仅当? ? ? ? 即? 槡? ?时? ? ?的面积有最大值?且最大值为槡? ?分 ? ? ?解? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ? ? ? ? ? ? ?分 设? ? ? 则? ? ? ? 当? ?时? ? ?当? ?时? ? ? ? ?分 ? ? ? ?年高三期末考试数学试题?参考答案? 第 ? ?页?共?页?理科? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 即?的斜率的最小值为? ? ? ?分 ? ?由题知?槡? ? ? ? ?在?上恒成立? 令? ? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ?所以? ? ? ? ? 设? ? ? ? ?易知? ?在?上单调递增?分 因为? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以存在? ? ? ? ?使得? ?即? ? ? ?分 当?时? ? ? ? ? ?在?上单调递减? 当?时? ? ? ? ? ?在?上单调递增? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从而槡? ? 故?的取值范围为? ? ?分 ? ? ?解? ?由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ?分 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为曲线?经过坐标原点?所以? ? ? ? ? 又? ?所以? ? ? ?分 故?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ?或? ? ? ? ? ?分 ? ?因为?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以?的直角坐标方程 为? ? ? ? ? ? ?分 令? ?得? ?则?的直角坐标为?分 由?知?曲线?表示圆心为? ? ?半径为?的圆?分 且? ? ? ? ?分 故? ?的取值范围为? ? ?分 ? ? ?解?当? ?时?由? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当? ?时? ? ? ? ?则? ? ? ?分 当? ? ? ?时? ? ?则? ? ? ? ?分 当? ?时? ? ? ?则? ? ? ?分 故不等式? ?的解集为? ?分 ? ?证明?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 且? ?所以?的最小值为? ? ? ? ? ?分 因为函数? ? ? ?为增函数?且? ?所以? ? ?分 从而? ? ? ?因为? ? ? ?所以由柯西不等式得? ? ? ? ? ? ? ?槡? 槡? ? ? ?分 即? ?槡? 槡? ? ? 所以槡? 槡?槡 ?当且仅当? ? ? ?时等号成立? ? ?分