1、1 蓉城名校联盟 20202021 学年度上期高中 2019 级期末联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 15：BDBAA610：CBDCA1112：BC 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131221414815116 22 (2)(5)4 2xy 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 解： （1）因为q为假命题，则命题q为真命题 即(4)(2)0mm，4m 或2m . 故m的取值范围为|42m mm 或.3 分 （2）命题p：1,2 2
2、0 x xm ，即2xm对于1,2x 恒成立 只需 min (2 ) x m ，所以2m.5 分 因为命题pq为真，且pq为假，所以pq、一真一假. 当p真q假时： 2 24 m m ，即22m.7 分 当p假q真时： 2 42 m mm 或 ，即4m .9 分 综上：m的取值范围为|422mmm或.10 分 18 （12 分） 解： （1）设圆的方程为 22 0 xyDxEyF. 2529 5229 25 DEF DEF DEF ，得 4 4 1 D E F 22 4410 xyxy 即 22 (2)(2)9.xy6 分 （2） 22 ( +2) +(1)xy表示点( , )P x y与点(
3、 2, 1)距离的平方. 圆心(2,2)与( 2, 1)的距离 22 (22)(2 1)5d .9 分 故距离最大值为+8d R ，距离最小值为2dR. 所以 22 ( +2) +(1)xy的最大值为64，最小值为4.12 分 19 （12 分） 解： （1）由题意知：20101t ，得0.005t .3 分 （2）由频率分布直方图得： 平均值： 350.05450.2550.3650.2750.15850.160 x 6 分 （3）40,50) 50,60)，的两组学生中，40,50)组选 2 人，分别记为AB，； 50,60)组选 3 人,分别记为abc， ，7 分 2 从这5人中随机抽取
4、2人做志愿者的选法为 ( , )A B,( , )A a，( , )A b，( , )A c，( , )B a，( , )B b，( , )B c，( , )a b，( , )a c，( , )b c共 10 种， 9 分 其中抽取 2 人为同一组的包含( , )A B，( , )a b，( , )a c，( , )b c共 4 种.10 分 由古典概型知：抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组的概率为 2 = 5 P.12 分 20 （12 分） 解： （1）由题意知：(,0)Fc， 12 22 c ，2c 或0c （舍）2 分 |PF的最大值为2 2+2，即2 22ac，所以2 2a ,2
5、b 4 分 故椭圆C的方程为 22 1 84 xy .5 分 （2）设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy. 由点T( 1,1)为AB中点得： 1212 22xxyy ，6 分 且 22 11 22 22 28 28 xy xy ，相减得： 2222 1212 220 xxyy.7 分 整理得： 1212 1212 2() yyxx xxyy ，得 1 2 k .10 分 故直线方程为 1 1(1) 2 yx ，即230.xy12 分 （说明：运用直线与椭圆联立求解，结果正确也给分） 21 （12 分） 解： （1）由已知可得,动点P到点(0,2)的距离等于到直线2y 的距离.1 分
6、 由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，点(0,2)为焦点，直线2y 为准线3 分 故4p ，点P的轨迹方程为 2 8xy.5 分 （2）当=0k时，直线l为3y ，由对称性，直线BC与x轴交于点(0,0)O6 分 下面证明一般情况下，直线BC与x轴交于定点(0,0)O. 由题意知：直线l的斜率存在.设直线方程为3ykx，设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy. 直线与抛物线联立： 2 3 8 ykx xy ，得 2 8240 xkx.7 分 0 恒成立， 1212 824xxkx x ，.8 分 点 22 (,)B xy， 1 (,3)C x ，(0,0)O共线 2 122 12
7、3 30 OCOB y kkx yx xx 9 分 1221212 (3)303()0 x kxxkx xxx10 分 而 1212 3()24240kx xxxkk 11 分 即直线BC过定点(0 0)，.12 分 3 22 （12 分） 解： （1）由题意知： 22 3.ba将点P代入得： 22 41 1 ab . 22 22 3 41 1 ba ab ，得 2 2 6 3 a b 故椭圆的方程为： 22 1 63 xy .4 分 （2）如图所示： 由题意知直线 TM 的斜率大于 0，所以可设直线方程为3xty，设 11 (,)M xy， 22 (,)N xy. 直线与椭圆联立： 22 3
8、 26 xty xy ，得 22 (2)630tyty5 分 0 ，即 22 3612(2)0tt， 2 1t ，由于斜率大于0，1t 6 分 1212 22 63 22 t yyy y tt ，.7 分 直线PM的斜率： 1 1 1 2 y x ，PM的方程： 1 1 1 1(2) 2 y yx x ，令0y ，则 1 1 2 2 1 A x x y 直线PN的斜率： 2 2 1 2 y x ，PN的方程： 2 2 1 1(2) 2 y yx x ，令0y ，则 2 2 2 2 1 B x x y |=TA 1 1 2 31 1 A x x y ，|=TB 2 2 2 31 1 B x x
9、y ， 12 1 +=1 (|+|) 2 SSTATB = 12 12 122 (2) 211 xx yy .9 分 现求 12 12 22 11 xx yy 的取值范围： 121221 1212 22(2)(1)+(2)(1) = 11(1)(1) xxxyxy yyyy 将x用y表示代入：原式 1212 1212 2(1)()2 = () 1 ty ytyy y yyy 由韦达定理得：原式 2 2 44 = 65 t tt (1)t 10 分 原式 2 24(1)24 =44 655 t ttt (1)t 所以 12 +=SS 12 3 5t (1)t ，函数为递增， 12 +(1 3)S
10、S ，.12 分 （说明：直线设成(3)0yk xk，结果正确也给分）. 4 12 解：设椭圆M的半焦距为c，由已知得 1 2 c a ，所以2ac，3bc， 椭圆M的方程可化为 22 22 1 43 xy cc ，把xc代入，解得 3 2 yc 所以 3 (c,) 2 Ac，直线 3 2 OA yx： 设双曲线N的实半轴长为 a ，虚半轴长为 b ，半焦距为 c 则ac ，由 3 2 b a ，得 33 22 bac 由已知可得 3 2 b ，所以 33 1 22 cc， 所以33bc，所以椭圆M的短轴长为2 3. 16 解： 2222 | cos(| )(12sin)TM TNTMMTNTCMCMTC uuu r uur 2 222 222 2|832 (|4)(1)(|4)(1) |12 | CM TCTCTC TCTCTC 2 2 32 2 |128 212 | TC TC 当且仅当 2 |4 2TC时等号成立. 由T在圆C外知|TC的取值范围是(2,),所以 2 |4 2TC能成立 故TM TN uuu r uur 的最小值为8 212. 由 2 |4 2TC知，萌点T的轨迹为圆，方程为 22 (2)(5)4 2xy.
