1、几何图形初步几何图形初步 目录目录 一、几何图形 二、直线、射线、线段 三、角 四、几何图形初步全章复习与巩固 本套“本套“基础知识详解基础知识详解”资资料特色是知识点分析汇总，题目比较基础，完全不同于初料特色是知识点分析汇总，题目比较基础，完全不同于初 中数学典型题思路分析，是购买典型题书赠送的资料之一。赠送文本为中数学典型题思路分析，是购买典型题书赠送的资料之一。赠送文本为 wordword，按照课本，按照课本 章节分类，有初中全套且群内会陆续分享，敬请关注！章节分类，有初中全套且群内会陆续分享，敬请关注！ 初中数学典型题思路分析初中数学典型题思路分析说明说明 1.1.特色：特色：该资料已
2、被多位老师选用备课老师选用备课。公众号文章分析的题目均出自初中数 学典型题思路分析。题目典型易错，“渔、鱼”兼得！按照到标注 难度，整体难度较大。 2.2.价格：价格： 全套 7 7 册共册共 1414 本书本书（七上九下+综合）；每册分解析版和原题版；有和教材同 步的全国共 12 个版本可选；单单册（册（2 2 本书）包邮价格本书）包邮价格 6060 元；两册及以上每册元；两册及以上每册 5050 元包邮；全套元包邮；全套 7 7 册（册（1414 本书）本书）298298 元包邮元包邮；已购买者需购买全套补尾款即可。 3.3.赠送：赠送： A.全套初中数学重难点名师精品视频课程（2 套）及
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4、析正在整理：初中数学动点典型题分析. . 微信：微信：27812021732781202173；qqqq 群：群：453495932453495932；公众号：初中数学解题思路（；公众号：初中数学解题思路（lishi_shuxuelishi_shuxue） 一、一、几何图形几何图形基础基础知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断； 2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立 体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力； 3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形
5、剖 析常见几何体的形成过程. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、几何图形要点一、几何图形 1 1定义：定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形 要点诠释：要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它 的其它属性，如重量，颜色等. 2 2分类：分类：几何图形包括立体图形和平面图形 (1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆 柱，圆锥，球等. (2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们 是平面图形 要点诠释：要点诠释： (1)常见的立体图形有两种分类方法： (2) 常见的平面
6、图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见 的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等 （3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系 要点二、从不同方向看要点二、从不同方向看 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形一般是从以下三个方向： (1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称 主视图)、左视图、俯视图 要点三、简单立体图形的展开图要点三、简单立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形， 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 要点诠释：要
7、点诠释： (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形例如，球便不能展成平面图形 (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到 不同的平面图 要点四、点、线、面、体要点四、点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围 着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两 种； 线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、 线、 面、 体之间的关系. 此 外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 【典型例题【典型例题 1 1】 类型一、几何图形类型一、几何图形 1如
8、图所示，请写出下列立体图形的名称 【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称 【答案与解析】 解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面 是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥) 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成? 【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或 由一个圆和两个小半圆组成） 类型二、从不同方向看类型二、从不同方向看 2如图所示的
9、是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来 【思路点拨】注意观察的角度和方向. 【答案与解析】 解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形； 从上面观察，看到的图形是三角形因此，从三个方向看，得到的图形如图所示 【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准因为从不 同方向观察得到的图形往往不同 举一反三：举一反三： 【变式 1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图. 【答案】 主视图 左视图 俯视图 【变式 2】如图所示的工件的主视图是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩
10、形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一 个直角三角形 3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( ) A棱柱 B圆柱 C圆锥 D球 【答案】B 【解析】此题可采用排除法棱柱的三视图中不存在圆，故 A 不对；圆锥的主视图、左视图 是三角形，故 C 不对；球的三视图都是圆，故 D 不对，因此应选 B 【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必 是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有 扇形和圆，一般考虑圆锥 举一反三：举一反三： 【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （ ） A长方体 B正方体 C圆柱 D
11、三棱柱 【答案】D 类型三、展开图类型三、展开图 4（2016徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ） A B C D 【思路点拨】利用不能出现同一行有多于 4 个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情 况进行判断也可 【答案】C 【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下 11 种情况： 故选：C 【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的 11 种形式是解题的关键，利用不 是正方体展开图的“一线不过四、 田凹应弃之” （即不能出现同一行有多于 4 个正方形的情 况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可 举一反三：举一反三： 【变式】（2015
12、宜昌）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ） A B C D 【答案】 A 类型四、点、线、面、体类型四、点、线、面、体 5 分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形 成的点各有多少个? 如图所示 【答案与解析】 解：（1）4 个面，6 条线，4 个顶点；（2）6 个面，12 条线，8 个顶点；（3） 9 个面，16 条线，9 个顶点 【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏(2)一般 地，n 棱柱有(n+2)个面(其中 2 为两个底面)，n 棱锥有(n+1)个面(其中 1 为一个底面) 6如图，上面的平面图形绕轴旋转
13、一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关 系的平面图形与立体图形连接起来 【答案与解析】 连线如下： 【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状 举一反三：举一反三： 【变式】将如图所示的 RtABC 绕直角边 AC 旋转一周，所得几何体从正面看到的图形是 ( ) 【答案】A 【典型例题【典型例题 2 2】 类型一、几何图形类型一、几何图形 1将图中的几何体进行分类，并说明理由 【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分，也可以按 柱、锥、球来划分. 【答案与解析】 解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；
14、(3)(4)(5)是一类，组 成它的面至少有一个是曲面 若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面 是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥) 类型二、从不同方向看类型二、从不同方向看 2（2016 春潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图 （1）说出这个立体图形的名称； （2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积 【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视 图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱； （2）根据
15、直三棱柱的表面积公式计算即可 【答案与解析】 解：（1）这个立体图形是直三棱柱； （2）表面积为：342+153+154+155=192 【总结升华】 本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识， 考查学生 的空间想象能力 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是( ) 【答案】D 提示：圆锥的主视图与左视图为相同的三角形；圆柱的主视图与左视图为相同的矩形；球的 主视图与左视图为相同的圆，正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形，故选 D 3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字 表示该位置上的小正方
16、体的个数，那么该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有 3 列，从左到右分别是 1，2，3 个正方形 【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中 每列小正方体最多的个数 举一反三：举一反三： 【变式 1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只 有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 【答案】几何体的形状不唯一， 最少需要小方块的个数：3222 1 10 ， 最多需要小方块的个数： 3 32 3 1 16 【
17、变式 2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图，那么这个 几何体中小积木共有多少个? 主视图 俯视图 【答案】这个几何体中小积木共有 6 个 类型三、展开图类型三、展开图 4右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( ) 【答案】D 【解析】 最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图， 然后再折叠后进行对照即 可也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成 4 块的面中的 4 个小正方形中有 3 块的颜色是阴影，这就可排除 A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成 4 块的面的对面 应是阴影，这就可排除 B 、C，所以选 D 【总结升华】培养空间想想能力
18、的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进 行确定正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下 11 种情况 举一反三：举一反三： 【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的 六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是_ 【答案】 “美” 类型四、点、线、面、体类型四、点、线、面、体 5如图，一个正五棱柱的底面边长为 2cm，高为 4cm （1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积； （2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ （3）试用含有 n 的代数式表示 n 棱柱的顶点数、面数与棱的条数 【思路点拨】（1）根据
19、图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可； （2）顶点共有 10 个，棱有 53 条； （3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可 【答案与解析】 解：（1）侧面有 5 个，底面有 2 个，共有 5+2=7 个面； 侧面积：254=40（cm 2） （2）顶点共 10 个，棱共有 15 条； （3）n 棱柱的顶点数 2n；面数 n+2；棱的条数 3n 【总结升华】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形的形状 6.将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确 的是（ ） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 【答案】D 【解
20、析】 首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状， 然后再根据两种几何体的三视 图做出判断 【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状 举一反三：举一反三： 【变式】 （2015 春海安县校级期中） 将如图所示放置的一个直角三角形 ABC， （C=90） ， 绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（ ） A B C D 【答案】C 二、直线、射线、线段基础知识讲解二、直线、射线、线段基础知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3利用线段的和差倍分解决
21、相关计算问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、直线要点一、直线 1概念：概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用 “一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述 2. 表示方法：表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1 所示，可表示 为直线 AB(或直线 BA) （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线l 3.基本性质：基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单说成：两点确定一条直线 要点诠释：要点诠释： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸 （2）直线没有粗细 （3）两
22、点确定一条直线 （4）两条直线相交有唯一一个交点 4 4. .点与直线的位置关系：点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B 要点二、线段要点二、线段 1 1. .概念：概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段 2 2. .表示方法：表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或 线段 BA （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图 5 所示，记作：线段 a 3. “作一条线段等于已知线段
23、”的两种方法：作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一： 用圆规作一条线段等于已知线段 例如： 下图所示， 用圆规在射线 AC 上截取 ABa 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线 段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 4. .基本性质：基本性质：两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间， 线段最短 如图 6 所示，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最短的 要点诠释：要点诠释： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短 （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 （3）线段的比较： 度量法：用刻度尺量出两条线段的长度
24、，再比较长短 叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端 点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短 5. .线段的中点：线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图 7 所示，点 C 是线段 AB 的中点，则 1 2 ACCBAB，或 AB2AC2BC 要点诠释：要点诠释： 若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上 要点三、射线要点三、射线 1. .概念：概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点 如图 8 所示，直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点 l 2. .特征
25、：特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长 3. .表示方法：表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线 上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线 l 要点诠释：要点诠释： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图 9 中射线 OA，射线 OB 是不同的 射线 图 6 图 7 图 8 图 9 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图 10 中射线 OA、射线 OB、 射线 OC 都表示同一条射线 要点四、直线、
26、射线、线段的区别与联系要点四、直线、射线、线段的区别与联系 1. .直线、射线、线段之间的联系直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将 直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线 （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得 到直线 2三者的区别如下表三者的区别如下表 要点诠释：要点诠释： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样 【典型例题】【典型例题】 类型一、相关概念类型一、相关概念 1.下列
27、说法中，正确的是( ) A射线 OA 与射线 AO 是同一条射线 B线段 AB 与线段 BA 是同一条线段 C过一点只能画一条直线 D三条直线两两相交，必有三个交点 【答案】B 图 10 【解析】射线 OA 的端点是 O，射线 AO 的端点是 A，所以射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线， 故 A 错误；过一点能画无数条直线，所以 C 错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交 点(三条直线相交于一点时)，所以 D 错误；线段 AB 与线段 BA 是同一条线段，所以 B 正确 【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表 示端点的字母写在前面，不能互换
28、举一反三：举一反三： 【变式 1】以下说法中正确的是 （ ） A延长线段 AB 到 C B延长射线 AB C直线 AB 的端点之一是 A D延长射线 OA 到 C 【答案】A 【变式 2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来. 【答案】 解：如下图所示，在直线上点 A 左侧和点 C 右侧分别任取点 X 和 Y. 图中有 6 条射线：射线 AX、射线 AY、射线 BX、射线 BY、射线 CX、射线 CY. 有 3 条线段：线段 AB(或 BA)、线段 BC(或 CB)、线段 AC(或 CA) 有 1 条直线：直线 AC(或 AB，BC). 类型二、有关作图类型二
29、、有关作图 2如图所示，线段 a，b，且 ab 用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b 【答案与解析】 解：(1) 画法如图(1)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 ABa，再在 AB 的延长线上画线段 BCb，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 ACa+b (2) 画法如图(2)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 ABa，再在线段 AB 上画线段 BDb， 线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 ADa-b 【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，C 是线段 AB 外一点，按要求画图： （
30、1）画射线 CB； （2）反向延长线段 AB； （3）连接 AC，并延长 AC 至点 D，使 CD=AC 【答案】 解： 【变式 2】用直尺作图：P 是直线a外一点，过点 P 有一条线段b与直线a不相交. 【答案】 解： 类型三、有关条数及长度的计算类型三、有关条数及长度的计算 3.如图，A、B、C、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点， 可画出 条直线. 【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数 【答案】6 条直线 【解析】由两点确定一条直线知，点 A 与 B,C,D 三点各确定一条直线，同理点 B 与 C、D 各 确定一条直线，C 与 D 确定一条直线，
31、综上：共有直线：3+2+1=6（条）. 【总结升华】平面上有n个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为： (1) 1 23 .(1) 2 n n n 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，已知线段 AB 上有三个定点 C、D、E (1)图中共有几条线段？ (2)如果在线段 CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？ 【答案】 解：(1)线段的条数：432110(条)； (2)如果在线段 CD 上增加一点 P，则 P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了 5 条线段. （注解注解：若在线段 AB 上增加一点，则增加 2 条线段，此时线段总条数为 12；
32、若再增加一 点，则又增加了 3 条线段，此时线段总条数为 123；当线段 AB 上增加到 n 个点(即 增加 n2 个点)时，线段的总条数为 12(n1) 2 1 n(n1) .） 【变式 2】)如图直线 m 上有 4 个点 A、B、C、D，则图中共有_条射线 【答案】8 4.（2016 春启东市月考）已知点 C 在线段 AB 上，线段 AC=7cm，BC=5cm，点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，求 MN 的长度 【思路点拨】 根据 M、 N 分别为 AC、 BC 的中点， 根据 AC、 BC 的长求出 MC 与 CN 的长， 由 MC+CN 求出 MN 的长即可 【答案与解析】 解：
33、AC=7cm，BC=5cm，点 M、N 分别是 AC、BC 的中点， MC=AC=3.5cm，CN=BC=2.5cm， 则 MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm） 【总结升华】此题考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解本题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】在直线l上按指定方向依次取点 A、B、C、D，且使 AB：BC：CD=2：3：4，如图所 示，若 AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 15cm，求 AB 的长. 【答案】 解：依题意，设 AB2x cm，那么 BC3x cm，CD4x cm则有： MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15 解得： 5 2 x
34、所以 AB=2x = 5 25 2 cm. 类型四、最短问题类型四、最短问题 5.（2015新疆）如图所示，某同学的家在 A 处，星期日他到书店去买书，想尽快赶 到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） AACDB B ACFB C ACEFB DACMB 【答案】B 【解析】 根据两点之间的线段最短， 可得 C、B 两点之间的最短距离是线段 CB 的长度， 所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：ACFB 【总结升华】 “两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质 联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离， 线段是图形，线段长度是
35、数值 举一反三：举一反三： 【变式】 (1)如图 1 所示，把原来弯曲的河道改直，A、B 两地间的河道长度有什么变化? (2)如图 2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座 直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理 【答案】 解：(1)河道的长度变小了 (2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人 更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用 【典型例题】【典型例题】 类型一、有关概念类型一、有关概念 1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段 【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段 CB、BC、B
36、E 的延长线上的点，也就是说，A、 D、F 三点的位置并不是完全确定的此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了 【答案与解析】 解：直线有一条：直线 AD； 射线有六条：射线 BA、射线 BD、射线 CA、射线 CD、射线 BF、射线 EF； 线段有三条：线段 BC、线段 BE、线段 CE 【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒然而，在叙述线段的延 长线的时候， 表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了， 因为线段向一方延伸后就形成 了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的， 只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方
37、向上的任一点 举一反三：举一反三： 【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这 是为什么?画图说明. 【答案】 解： 过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.） 两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有 两个公共点. 类型二、有关作图类型二、有关作图 2（2016 春高青县期中）已知平面上四点 A、B、C、D，如图： （1）画直线 AD； （2）画射线 BC，与 AD 相交于 O； （3）连结 AC、BD 相交于点 F 【思路点拨】（1）画直线 AD，连接 AD 并向两方无限延长；（2）画射线 BC，以 B 为
38、端点向 BC 方向延长交 AD 于点 O；（3）连接各点，其交点即为点 F 【答案与解析】 解：如图所示： 【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题 的关键 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列说法正确的有 ( ) 射线与其反向延长线成一条直线； 直线 a、b 相交于点 m； 两直线相交于两个交点； 直线 A 与直线 B 相交于点 M A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 【答案】 C 【变式 2】下列说法中，正确的个数有( ) 已知线段 a，b 且 a-bc，则 c 的值不是正的就是负的； 已知平面内的任意三点 A，B，C 则 AB+BCAC； 延
39、长 AB 到 C，使 BCAB，则 AC2AB； 直线上的顺次三点 D、E、F，则 DE+EFDF A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 类型三、个（条）数或长度的计算类型三、个（条）数或长度的计算 3. 根据题意，完成下列填空 如图所示，1l与 2 l是同一平面内的两条相交直线， 它们有 1 个交点， 如果在这个平面内， 再画第 3 条直线 3 l，那么这 3 条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再画第 4 条直线 4 l，那么这 4 条直线最多可有_个交点由此我们可以猜想：在同一平面内， 6条直线最多可有_个交点， n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点(用 含有 n
40、 的代数式表示) 【答案】3， 6， 15， (1) 2 n n . 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好 3 条直线最多可有 2+13 个交点，再类推 4 条直线，5 条直线，6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般 性的结论 【总结升华】 n(n 为大于 1 的整数)条直线的交点最多可有： (1) 1 23 .(1) 2 n n n 个 举一反三：举一反三： 【变式 1】平面上有n个点，最多可以确定 条直线 【答案】 (1) 2 n n 【变式 2】一条直线有n个点，最多可以确定 条线段， 条射线 【答案】 (1) 2 n n ，2n 【变式 3】一个平面内有三
41、条直线，会出现几个交点? 【答案】0 个，1 个，2 个，或 3 个. 4.已知线段 AB14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC4cm，M 是线段 AC 的中点，求线 段 AM 的长 【思路点拨】题目中只说明了 A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点 C 在线段 AB 上，还 是在线段 AB 外(也就是在线段 AB 的延长线上)所以要分两种情况求线段 AM 的长 【答案与解析】 解：当点 C 在线段 AB 上时，如图所示 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 1 2 AMAC 又因为 ACAB-BC，AB14cm，BC4cm， 所以 1 () 2 AMABBC 1 (144)5(c
42、m) 2 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 1 2 AMAC 又因为 ACAB+BC，AB14cm，BC4cm， 所以 1 () 2 AMABBC9(cm) 所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm 【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即 当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论 举一反三：举一反三： 【变式】 （2015 秋泰安校级月考）已知 A，B，C 为直线 l 上的三点，线段 AB=9cm，BC=1cm， 那么 A，C 两点间的距离是 【答案】8cm 或 10cm 解：分两种
43、情况： 如图 1，点 C 在线段 AB 上，则 AC=ABBC=91=8（cm）； 如图 2，点 C 在线段 AB 的延长线上，AC=AB+BC=9+1=10（ cm） 故答案为：8cm 或 10cm 类型四、路程最短问题类型四、路程最短问题 5.（2015 春嵊州市期末）某公司员工分别在 A、B、C 三个住宅区，A 区有 30 人，B 区有 30 人，C 区有 10 人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间 只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 （ ） AA 区 B B 区 C C 区 D A、B 两区之间 【答案】B 【解析】
44、解：设在 A 区、B 区之间时，设距离 A 区 x 米， 则所有员工步行路程之和=30 x+30（100 x）+10（100+200 x）， =30 x+300030 x+300010 x， =10 x+6000， 当 x 最大为 100 时，即在 B 区时，路程之和最小，为 5000 米； 设在 B 区、C 区之间时，设距离 B 区 x 米， 则所有员工步行路程之和=30（100+x）+30 x+10（200 x）， =3000+30 x+30 x+200010 x， =50 x+5000， 当 x 最大为 0 时，即在 B 区时，路程之和最小，为 5000 米； 综上所述，停靠点的位置应设
45、在 B 区 【总结升华】 本题是线段的概念在现实中的应用， 根据题意分别计算停靠点分别在各点时员 工步行的路程和，选择最小的即可得解. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，从 A 到 B 最短的路线是（ ） AA-G-E-B BA-C-E-B CA-D-G-E-B DA-F-E-B 【答案】D 三、三、角角基础基础知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及
46、性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、角的概念要点一、角的概念 1 1 角的定义：角的定义： （1 1）定义一：）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB （2 2）定义二：）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始 位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边
47、要点诠释：要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关 （2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直 线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周角 2.2.角的表示法：角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种： 图 1 图 2 要点诠释：要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母 3.3.角的画法角的画法 （1）用三角板可以画出 30、45、60、90等特殊角
48、（2）用量角器可以画出任意给定度数的角 （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角 要点二、要点二、角的比较与运算角的比较与运算 1.1.角度制及其换算角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1的角，1 的为 1 分，记作“1”，1的为 1 秒，记作“1”这种以度、分、秒为单位的 角的度量制，叫做角度制 1 周角360，1 平角180，160，160 要点诠释：要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得 数大于等于 60
49、时要向高一位进位 2.2.角角的比较：的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种 方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小 方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较 如比较AOB 和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由 图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得AOBAOB 1 60 1 60 3.3.角的和、差关系角的和、差关系 如图所示，AOB 是1 与2 的和，记作：AOB1+2；1 是AOB 与2 的差， 记作：1AOB-2 要点诠释：要点诠释： (1)用量角器量角和画角的一般步骤： 对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； 重合(一边 与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数) (2) 利用三角板除了可以做出 30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以画 出 15，75，105，120，135，150，165的角 4.4.角平分线角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图 所示，OC 是AOB 的角平分线，AOB2AOC2BOC， AOCBOC =AOB 要点诠释：要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样 要点三、要点三、余角和补角
