1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 第二章第二章 解析函数解析函数 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 第四章第四章 级数级数 第五章第五章 留数留数 第六章第六章 保角映射保角映射 第七章第七章 LaplaceLaplace变换变换 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 复数及其代数运算复数及其代数运算 a) 复数：一对有序实数（复数：一对有序实数（x, y），记为），记为 z=x+ i y 1 2 i 规定：规定： 212121 ,y
2、yxxzz )()( 212121 yyixxzz )()( 2121212121 xyyxiyyxxzz 22 11 2 1 iyx iyx z z b) 按上述定义容易验证按上述定义容易验证 加法交换律、结合律加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。均成立。 22 22 22 11 iyx iyx iyx iyx 2 2 2 2 21122121 yx yxyxiyyxx c) 共轭复数：共轭复数： iyxz,iyxz 互为共轭复数 , zz 22 yxz z ,Re22zxzz ziiyzzIm22 2121 zzzz 2121 zzzz 2 1
3、 2 1 z z z z 容易验 证 d) 复平面复平面 一对有序实数（x， y） 平面上一点P 复数 z = x + i y x y z = x + i y O 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面 e) 复数的几种表示法复数的几种表示法 几何表示：几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 x y O 21 zz 1 z 2 z 2121 zzzz 加法运算 x y O 21 zz 1 z 2 z 2 z 2121 zzzz 减法运算 复数的三角形式与指数形式复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z， sin cos ry rx x y yx
4、r arctan 22 则复数 z 可表示为 三角式三角式： sincosirz i rez 指数式指数式： zr z Arg 复数的 模 复数的 幅角 讨论：讨论： 1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把 的幅角称为Arg z的主值。记为 0 zarg 0 2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。 ),sin(cos 1111 irz 设 )sin(cos 2222 irz )sin)(cossin(cos 22112121 iirrzz )sin()cos( 2121
5、21 irr 定理 2121 zzzz )()()( 2121 zArgzArgzzArg 注意注意多值性多值性 x y O 1 z 2 z 21z z 指数形式表示 )( 212121 2121 iii errererzz 推广至有限个复数的乘法 )( 21 2121 21 21 n n i n i n ii n errr erererzzz 除法运算除法运算 0 1 z 1 1 2 2 z z z z 1 1 2 2 z z z z 1 1 2 2 Arg Arg Argz z z z , 1 2 1 2 z z z z 12 1 2 Arg- Arg Argzz z z )( 1 2 1
6、 2 12 i e r r z z或者 例：已知正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为 , 1 1 ziz 2 2 求三角形的另一个顶点。 x y O 1 z 2 z 3 z 3 1213 )( i ezzzz ) 2 3 2 1 )(1 (ii iz 2 31 2 33 3 iz 2 31 2 33 3 i 2 31 2 31 复数的乘幂复数的乘幂 n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 n z )sin(cosninrzzzz nn 复数的方根复数的方根 设 i rez 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 zw n 的所有w值为z的n次方根，并且记为 n zw 设 , i ew 则
7、 iinn ree r n iin ee , n r,2kn, 2, 1, 0k 即 , n r, 2 n k , 2, 1, 0k ) 2 sin 2 (cos 12 n k i n k rerw nn k i n 当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根： )sin(cos 1 0 n i n rw n ) 2 sin 2 (cos 1 1 n i n rw n ) ) 1(2 sin ) 1(2 (cos 1 1 n n i n n rw n n ) 4 sin 4 (cos 1 2 n i n rw n 例：例： 3 8 )sin(cos28 3 i ) 3 2 sin 3 2 (co
8、s28 3 k i k 2 , 1 , 0k 即 2 1 0 31 2 31 8 3 k k k i i 复球面与无穷远点 z P N 球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作 z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球 极）。 2 NS平面z z P 对于平面上的任一点z，用一条空间直线 把它和球极连接起来，交球面于P。 从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应 于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的 点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z 的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。 由此我们引进一个理想“点”与北极N对 应。称之为无穷远点 扩充复平面 复平面 ,
9、zz 约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 , 0, 等也没有意义。 N 复平面点集与区域 （1）邻域 :),( 00 rzzCzrzB （2）去心邻域 0:),( 000 rzzCzzrzB （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 ErzB),( 0 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 ErzB),( 0 （5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的 外点。 （6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连
10、通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集 （10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有 Mz （11）简单曲线、光滑曲线简单曲线、光滑曲线 ttiytxtzzz),()()(: 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 )(tzz )(zA )(zB 则称 D为有界区域。 简单曲线：简单曲线： )()(, 2121 tztztt 简单闭曲线：简单闭曲线： 光滑曲线：光滑曲线： 存在、连续且不全为零)(),(tytx （12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为 单连通区域单连通区域，否则称多连通区域
11、。 没有交叉点。 平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以 由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。 例： Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Rz Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为 Rzz 0 例： （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为 ) 10( ),( 121 tzztzz （2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为 )( ),( 121 tzztzz （3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为 )(t , 12 13 为一非零实数t zz zz 例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图
12、形。 （1） 22ziz 该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连 接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y = x。 （2） 4)Im( zi 设 z = x+ iy, 4)1 (Im()Im(yixzi 3y （3） 4 )arg( iz )arg(iz 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4） 1Re 2 z ixyyxiyxz2)()( 2222 1Re 222 yxz 1Im 2 z 例： 指出不等式 4 arg0 iz iz 中点z的轨
13、迹所在范围。 解： 2222 22 ) 1( 2 ) 1( 1 yx x i yx yx iz iz 因为 , 4 arg0 iz iz 所以 0 ) 1( 2 ) 1( 1 2222 22 yx x yx yx 于是有 xyx yx x 21 01 02 22 22 2) 1( 1 0 22 22 yx yx x 它表示在圆 2) 1( 22 yx 外且属于左半平面的所有点的集合 i 复复 变变 函函 数数 复变函数的定义复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有 一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数复变函数，记做 D)
14、(z )(zfw 单值函数单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 GD : )(zfw 定义：定义： 我们主要考虑单值函数 f(z)是单射单射（或一对一映射） 对于任意 , 21 zz ).()( 21 zfzf f(z)是满射满射 GDf)( f(z)是双射双射 f(z) 既是单射，又是满射。单射，又是满射。 GD : )(zfwiyxz ),(),(yxivyxuivuw 2 2 iyxzw i2 22 xyyx 例例： xyyxvyxyxu2),(,),( 22 )2sin2(co
15、s 22 irzw 0 rz 2 zw 2 0 rw zarg 0 r 2argw 2 0 r 2 zw ayx 22 bxy 2 au bv 2 zw 复变函数的极限与连续 函数的极限函数的极限 定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域 ,0 0 rzz 如果有一确定的数A存在，对于任意给定的 , 0 相应地必有一正数 , 使得当 时有 0 0zz Azf)( 那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作 Azf zz )(lim 0 )(zf 几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。 关于极限的计算，有下面的定理
16、。 注意注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0， f(z)都要趋向于同一个常数。 定理一 ibaAzf zz )(lim 0 ayxu yy xx ),(lim 0 0 byxv yy xx ),(lim 0 0 定理二 )(lim)(lim)()(lim 000 zgzfzgzf zzzzzz )(lim)(lim)()(lim 000 zgzfzgzf zzzzzz )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0zg zf zg zf zz zz zz 例 证明函数 z z zf Re )(当z趋于0时的极限不存在。 解法一 令z=x+iy,
17、 则 22 Re )( yx x z z zf 0),(,),( 22 yxv yx x yxu 22200 1 1 )( lim),(lim kkxx x yxu kxy x kxy x 所以极限不存在。 解法2 利用复数的三角表示式 cos cosRe )( r r z z zf 当z沿着不同的射线 zarg 趋于零时，f(z) 趋于不同的值。 如 0argz 2 arg z 1)(zf 0)(zf 极限不存在。 函数的连续函数的连续 ),()(lim 0 0 zfzf zz 如果 那么f(z)在z0处连续。 如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。 定理定理： f
18、(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y) 在（x0，y0）处连续。 连续函数的四则运算、复合运算都成立。 有界闭区域上的连续函数的最值定理。 例： 1 22 lim 2 1 z zzzz z ) 1)(1( ) 1)(2( lim 1 zz zz z 2 3 1 2 lim 1 z z z 例： 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性 0 0 z 因为 无意义， 0 argz 故在原点不连续。 0, 0 xxz且 不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实 轴时，极限值不等。 其余地方均连续。 例： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z
19、2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆 |z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 , 1 321 zzz所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 0 321 zzz 得 , 321 zzz 1 3321 zzzz 即 )(1 2121 2 21 zzzzzz 1221 2 2 2 12121 |)(zzzzzzzzzz 1 1221 zzzz 补充例子 )( 2121 2 21 zzzzzz 1221 2 2 2 1 |zzzzzz 3) 1(2 3 21 zz 同理可以得到 . 3 1332 zzzz 得证。 x证明 2121 zzzz y )( 2121 2 21 zzzzzz 22122111 zzzzzzzz 222111 )Re(2zzzzzz 222111 2zzzzzz 2 221 2 1 2zzzz 2 21 zz yxz
