1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年北京市学年北京市 101 中学高一（上）期末数学试卷中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知函数( )(4)f xlgx的定义域为M，函数( )4g xx的定义域为N，则 (MN ) AM BN C4 D 2 （4 分）sin2021可化简为( ) Asin41 Bsin41 Ccos41 Dcos41 3 （4 分）向量“a，b不共线”是“| |aba
2、b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）函数sin() 2 yx ，( 3 x ， 5 6 的值域为( ) A 3 1 , ) 22 B 3 ,1 2 C 1 ,1 2 D 13 ,) 22 5 （4 分）已知偶函数( )f x在(,0)上单调递减，若af（1） ，bf（2） ， 1 () 2 cf， 则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 6 （4 分）甲、乙两人解关于x的方程： 2 loglog 20 x xbc，甲写错了常数b，得到根 为 1 4 x ， 1 8 x ；乙写错了常数c，得到根为 1
3、 2 x ，64x 那么原方程的根正确的是( ) A4x B3x C4x 或8x D2x 或3x 7 （4 分）已知 22 2cos3sin1， 3 ( 2 ，)，那么tan的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 8 （4 分）如图是函数sin (0)yxx剟的图象，( , )A x y是图象上任意一点，过点A作x轴 的平行线，交其图象于另一点(B A，B可重合） 设线段AB的长为( )f x，则函数( )f x的 第 2 页（共 15 页） 图象是( ) A B C D 9 （4 分）已知3sin()sin()2 2 ，则cossin的取值可以为( ) A 8 2 5 B2 C2
4、D 3 2 5 10 （4 分）如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m如果此摩天轮 按逆时针匀速转动，每 30 分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中 心O的高度相同） 时开始计时， 在摩天轮转动的一圈内， 此人相对于地面的高度不小于17m 的时间大约是( ) A8 分钟 B10 分钟 C12 分钟 D14 分钟 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,4)bx，且/ /ab，则实数x 12 （5 分）若角与角 2 3 的终边关于直线yx对称，则角的终边上的所有角的
5、集 第 3 页（共 15 页） 合可以写为 13 （5 分）已知幂函数 2 232 ( )(1) mm f xmx 在(0,)上单调递增，则实数m的值为 14 （5 分）在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶 点）上，若c与(xayb x，y为非零实数）共线，则 x y 的值为 15 （5 分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危 险状态，经抢修后恢复正常排气 4 分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64(ppm ppm为浓度 单位，1ppm表示百万分之一） ， 经检验知， 该地下车库一氧化碳浓度()y ppm与排气时间t（分 钟）之间存
6、在函数关系 7 2( mt ym 为常数） 求得m ；若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm为正常，那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常 状态 16 （5 分）已知ABC，点P是平面上任意一点，且( ,)APABACR ，给出以下 命题： 若 1 |AB ， 1 |AC ，则P为ABC的内心； 若1，则直线AP经过ABC的重心； 若1，且0，则点P在线段BC上； 若1，则点P在ABC外； 若01，则点P在ABC内 其中真命题为 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17
7、已知函数 | ( )1( 22) 2 xx f xx （1）求函数( )f x的值域： 第 4 页（共 15 页） （2） 若函数( )logag xx的图象与函数( )f x的图象有交点， 请直接写出实数a的取值范围 18已知关于x的方程 2 1 20 4 xbx的两根为sin和cos， 3 (,) 44 （1）求实数b的值； （2）求 2sin cos1 cossin 的值 19已知函数 11 33 ( ) 5 xx f x ， 11 33 ( ) 5 xx g x （1）直接写出函数( )f x的奇偶性； 写出函数( )f x的单调递增区间，并用定义证明； （2）计算： 111 ( )5
8、 ( ) ( ) 422 ffg ；f（4）5f（2）g（2） ；f（9）5f（3） g（3） ； （3）由（2）中的各式概括出( )f x和( )g x对所有不等于 0 的实数x都成立的一个等式，并 加以证明 20 设A是由n个实数构成的一个有序数组， 记作 1 (Aa， 2 a， i a，) n a 其中(1 i a i ， 2，) n称为数组A的“元” ， i称为数组A的“元” i a的下标，如果数组 1 (Sb， 2 b， ，)( m bm n，)mN中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元” ，则称S为A的 “子数组” 定义两个数组 1 (Aa， 2 a，) n a， 1 (Bb
9、， 2 b，) n b的“关系数”为 1 12 2 ( , ) n n C A Baba ba b （1）若 1 1 (, ) 2 2 A ， 1 (Bb， 2 b， 3 b， 4) b，且B中的任意两个“元”互不相等，B的含 有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为 1 S， 2 S， p S p ； 若 j bN，1101(1 j bj 剟，2，3，4)，记 1 |( ,)| p i i XC A S ，求X的最大值与最小值； （2）若 333 (,) 333 A，(0B ，a，b，) c，且 222 1abc，S为B的含有三个 “元”的“子数组” ，求( , )C A S的最大值
10、第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年北京市学年北京市 101 中学高一（上）期末数学试卷中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知函数( )(4)f xlgx的定义域为M，函数( )4g xx的定义域为N，则 (MN ) AM BN C4 D 【解答】解：根据题意得， |4Mx x， |4N x x， MN 故选：D 2 （4 分）sin2021可化简为
11、( ) Asin41 Bsin41 Ccos41 Dcos41 【解答】解：sin2021sin(36060 139 ) 0 sin( 139 )sin139sin41 故选：B 3 （4 分）向量“a，b不共线”是“| |abab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当向量“a，b不共线”时，由向量三角形性质得“| |abab”成立， 即充分性成立， 反之当向量“a，b方向相反时，满足“| |abab” ，但此时两个向量共线，即必 要性不成立， 即向量“a，b不共线”是“| |abab”的充分不必要条件， 故选：A 4 （4 分）函数
12、sin() 2 yx ，( 3 x ， 5 6 的值域为( ) 第 6 页（共 15 页） A 3 1 , ) 22 B 3 ,1 2 C 1 ,1 2 D 13 ,) 22 【解答】解：sin()cos 2 yxx ， 因为( 3 x ， 5 6 ， 所以 3 cos 2 x ，1， 即函数的值域为 3 2 ，1 故选：B 5 （4 分）已知偶函数( )f x在(,0)上单调递减，若af（1） ，bf（2） ， 1 () 2 cf， 则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 【解答】解：因为偶函数( )f x在(,0)上单调递减， 所以( )f x在(0,)上单
13、调递增， 因为af（1） ，bf（2） ， 11 ()( ) 22 cff， 又 1 210 2 ， 则bac 故选：C 6 （4 分）甲、乙两人解关于x的方程： 2 loglog 20 x xbc，甲写错了常数b，得到根 为 1 4 x ， 1 8 x ；乙写错了常数c，得到根为 1 2 x ，64x 那么原方程的根正确的是( ) A4x B3x C4x 或8x D2x 或3x 【解答】解：原方程可变形为： 2 22 0log xblog xc， 因为甲写错了常数b，得到根为 1 4 x ， 1 8 x ， 所以 22 11 2 ( 3)6 48 cloglog ， 又因为乙写错了常数c，得
14、到根为 1 2 x ，64x ， 第 7 页（共 15 页） 所以 22 1 (64)5 2 bloglog ， 所以原方程为 2 22 560log xlog x， 解得 2 log2x 或 3， 所以4x 或 8 故选：C 7 （4 分）已知 22 2cos3sin1， 3 ( 2 ，)，那么tan的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：因为 2222 2cos3sin2(1sin)3sin1， 可得 2 1 sin 5 ， 2 4 cos 5 ， 因为 3 ( 2 ，)， 所以 5 sin 5 ， 2 5 cos 5 ，可得 sin1 tan cos2 故选：D 8
15、 （4 分）如图是函数sin (0)yxx剟的图象，( , )A x y是图象上任意一点，过点A作x轴 的平行线，交其图象于另一点(B A，B可重合） 设线段AB的长为( )f x，则函数( )f x的 图象是( ) A B 第 8 页（共 15 页） C D 【解答】解：当 2 x 时，A，B两点重合，此时( )0f x ，故排除C，D； 当(0,) 2 x 时，( )2f xx是关于x的一次函数，其图象是一条线段， 故选：A 9 （4 分）已知3sin()sin()2 2 ，则cossin的取值可以为( ) A 8 2 5 B2 C2 D 3 2 5 【解答】解：因为3sin()sin()
16、3cossin2 2 ， 所以 22 3cossin2 & cossin1& ， 整理得 2 10cos6 2cos10 ， 所以 22 102 cos 或， 当 2 cos 10 时， 7 2 sin 10 ，则 3 2 cossin 5 当 2 cos 2 时， 2 sin 2 ，则cossin2 故选：C 10 （4 分）如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m如果此摩天轮 按逆时针匀速转动，每 30 分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中 心O的高度相同） 时开始计时， 在摩天轮转动的一圈内， 此人相对于地面的高度不小于17m 的时间大约是( ) A8
17、 分钟 B10 分钟 C12 分钟 D14 分钟 第 9 页（共 15 页） 【解答】解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为 2 3015 tt ， 所以在t时此人相对于地面的高度为 10sin()12(0) 156 htt ； 由10sin()12 17 156 t ， 得 1 sin() 1562 t ， 解得 5 61566 t 剟， 即515t剟； 所以此人有 10 分钟相对于地面的高度不小于 17 m 故选：B 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,4)bx，且/ /ab，则实数x
18、2 【解答】解：由已知(1, 2),( ,4)abx，且/ /ab， 所以1 4( 2)0 x ，解得2x ， 故答案为：2 12 （5 分）若角与角 2 3 的终边关于直线yx对称，则角的终边上的所有角的集 合可以写为 |2, 6 Z kk 【解答】解：角的取值集合是 2 |2 3 k，Zk， 角与角 2 3 的终边关于直线yx对称，可得 22 22 ()2 3346 kk， Zk， 可得角的取值集合是|2 6 k，Zk， 故答案为：|2 6 k，Zk 13 （5 分）已知幂函数 2 232 ( )(1) mm f xmx 在(0,)上单调递增，则实数m的值为 0 【解答】解：由题意得：11
19、m ，解得：0m 或2m ， 0m 时， 2 ( )f xx在(0,)递增，符合题意， 第 10 页（共 15 页） 2m 时，( ) 1f x ，是常函数，不合题意， 故答案为：0 14 （5 分）在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶 点）上，若c与(xayb x，y为非零实数）共线，则 x y 的值为 6 5 【解答】解：设图中每个小正方形的边长为 1， 则(2,1)a ，( 2, 2)b ，(1, 2)c ， (22 ,2 )xaybxy xy， c与xayb共线， 2(22 )2xyxy， 56xy，即 6 5 x y 故答案为： 6 5 15 （5 分
20、）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危 险状态，经抢修后恢复正常排气 4 分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64(ppm ppm为浓度 单位，1ppm表示百万分之一） ， 经检验知， 该地下车库一氧化碳浓度()y ppm与排气时间t（分 钟）之间存在函数关系 7 2( mt ym 为常数） 求得m 1 4 ；若空气中一氧化碳浓度不高 于0.5ppm为正常，那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正 常状态 【解答】解： （1）函数 7 2( mt ym 为常数）经过点(4,64)， 7 4 642 m ，解得 1 4 m ； （2）由（1）得 1
21、7 4 2 t y ， 第 11 页（共 15 页） 由 1 7 4 1 2 2 t ， 解得32t 故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态 故答案为： （1） 1 4 ； （2）32 16 （5 分）已知ABC，点P是平面上任意一点，且( ,)APABACR ，给出以下 命题： 若 1 |AB ， 1 |AC ，则P为ABC的内心； 若1，则直线AP经过ABC的重心； 若1，且0，则点P在线段BC上； 若1，则点P在ABC外； 若01，则点P在ABC内 其中真命题为 【解答】解：对于，/ |/ |APABABACAC，此时P点在BAC平分线上，但未必在 ABC的
22、内心，则错； 对于，由1知，APABAC，由向量加法法则知APBC中点，AP经过ABC的 重心，则对； 对于，11(1)()APABACABACABABBC ，当 1，P点在BC延长线上， 不在BC边上，则错； 对于，令1t， ()()APABACtABACttABACABtABBC，1t ，由向量加法 法则知， P点在ABC外，则对； 对于， 取1/4 ，1/2，1/ 4，01， 但P点在ABC外， 则错； 故答案为： 第 12 页（共 15 页） 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17已知
23、函数 | ( )1( 22) 2 xx f xx （1）求函数( )f x的值域： （2） 若函数( )logag xx的图象与函数( )f x的图象有交点， 请直接写出实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 | ( )1( 22) 2 xx f xx 则 1,02 ( ) 1, 20 x f x xx 剟 ， 因为1yx 在( 2,0)单调递减， 可得( )f x值域为1，3) （2）当01a，当02x 时，( )logag xx的图象与函数( )f x的图象恒有交点， 当1a时，当02x 时，( )logag xx是单调递增函数，则log 2 1 a ，可得 2a 则12a 故得实数a
24、的取值范围是01a或12a 18已知关于x的方程 2 1 20 4 xbx的两根为sin和cos， 3 (,) 44 （1）求实数b的值； （2）求 2sin cos1 cossin 的值 【解答】解： （1）方程 2 1 20 4 xbx的两根为sin、cos， sincos 2 b ， 1 sincos0 8 ， 3 (,) 44 ， ( 42 ，)，即sincos2sin()0 4 ， 2 222 1 (sincos )sincos2sincos12 84 b ， 解得：5b （负值舍去） ， 则5b ； 第 13 页（共 15 页） （2） 222 13 (sincos )sincos
25、2sin cos12 84 ， 3 sincos 2 ， 5 sincos 2 ， 2 2 5 () 2sin cos1(sincos )5 3 2 cossincossin63 2 19已知函数 11 33 ( ) 5 xx f x ， 11 33 ( ) 5 xx g x （1）直接写出函数( )f x的奇偶性； 写出函数( )f x的单调递增区间，并用定义证明； （2）计算： 111 ( )5 ( ) ( ) 422 ffg 0 ；f（4）5f（2）g（2） ；f（9）5f （3）g（3） ； （3）由（2）中的各式概括出( )f x和( )g x对所有不等于 0 的实数x都成立的一个等
26、式，并 加以证明 【解答】解： （1）函数( )f x为奇函数 ( )f x的单调递增区间为(,0)，(0,)， 证明：任取 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 则 1111 11 3333 1122 33 1212 11 33 12 11 ( )()()(1) 555 xxxx f xf xxx x x 因为 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 所以 11 33 12 xx，所以 11 33 12 0 xx， 所以 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x， 所以( )f x在(0,)上单调递增， 由奇函数的性质可得( )f x在(,0)上单调递增
27、， 第 14 页（共 15 页） 故( ) x的单调递增区间为(,0)，(0,) （2）经过代入计算可得 111 ( )5 ( ) ( )0 422 ffg，f（4）5f（2）g（2）0，f（9）5f （3）g（3）0 （3）由（2）中的各式概括出( )f x和( )g x对所有不等于 0 的实数x都成立的一个等式为 2 ()5 ( ) ( )0(0)f xf x g xx， 证明： 2211112222 3333333333 2 ()5 ( ) ( )050 55555 xxxxxxxxxx f xf x g x 20 设A是由n个实数构成的一个有序数组， 记作 1 (Aa， 2 a， i
28、a，) n a 其中(1 i a i ， 2，) n称为数组A的“元” ， i称为数组A的“元” i a的下标，如果数组 1 (Sb， 2 b， ，)( m bm n，)mN中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元” ，则称S为A的 “子数组” 定义两个数组 1 (Aa， 2 a，) n a， 1 (Bb， 2 b，) n b的“关系数”为 1 12 2 ( , ) n n C A Baba ba b （1）若 1 1 (, ) 2 2 A ， 1 (Bb， 2 b， 3 b， 4) b，且B中的任意两个“元”互不相等，B的含 有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为 1 S， 2
29、S， p S p 6 ； 若 j bN，1101(1 j bj 剟，2，3，4)，记 1 |( ,)| p i i XC A S ，求X的最大值与最小值； （2）若 333 (,) 333 A，(0B ，a，b，) c，且 222 1abc，S为B的含有三个 “元”的“子数组” ，求( , )C A S的最大值 【解答】解： （1）根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组” 有 1 (b， 2) b， 1 (b， 3) b， 1 (b， 4) b， 2 (b， 3) b， 2 (b， 4) b， 3 (b， 4) b共 6 个，6p； 不妨设 1234 bbbb， 6 121
30、3142324344132 1 11111111111131 |( ,)| |()() 22222222222222 i i XC A Sbbbbbbbbbbbbbbbb ， 1101(1 j bj 剟，2，3，4)， 第 15 页（共 15 页） 则当 1 1b ， 2 2b ， 3 100b ， 4 101b 时，X取得最大值为 31 10098199 22 ， 当 1 b， 2 b， 3 b， 4 b是连续的四个整数时，X取得最小值为 31 315 22 ； （2）由(0B ，a，b，) c，且 222 1abc可知，实数a，b，c具有对称性， 故分为S中含 0 和不含 0 两种情况进行
31、分类讨论， 当 0 是S中的“元”时，由于 333 (,) 333 A中的三个“元”都相等 及B中三个“元” a，b，c的对称性，可只计算 3 ( , )() 3 C A Sab的最大值， 222 1abc，则 222222 ()2() 2()2abababc剟，可得2,2ab ， 故当 2 0, 2 cab时ab达到最大值2，故 36 ( , )2 33 max C A S； 当 0 不是S中的“元”时， 2222 333 ( , )()()2() 333 C A Sabcabcabcabbcac， 又 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2acac， 则 222222 33 2()3()1 33 abcabbcacabc， 当且仅当 3 3 abc时，取到最大值，故( , )1 max C A S， 综上，( , )1 max C A S
