1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“x1，x21”的否定是（ ） Ax1，x21 Bx1，x21 Cx1，x21 Dx1，x21 2 （5 分）已知集合 Mx|（x2） （xa）0，N1，3，若 MN，MN1， 2，3，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4
2、3 （5 分）学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为 10 米的扇形，并且沿着扇形的弧是 长度为约 6 米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（ ） A0.6rad B6rad C60rad D600rad 4 （5 分） 若函数 f （x） lgx+x3 的零点所在的区间为 （a， a+1） ， 则整数 a 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 5 （5 分）函数 f（x）= 14 5 的图象大致为（ ） A B C D 6 （5 分）系统找不到该试题 7 （5 分）17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明 了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别
3、转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯 称赞为 “对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍” 已知 lg20.3010， lg30.4771，设 N452710，则 N 所在的区间为（ ） A （1015，1016） B （1016，1017） C （1017，1018） D （1018，1019） 8 （5 分）已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）1，当 a，b1，1 第 2 页（共 16 页） 且 a+b0 时， ()+() + 0，已知 （ 2， 2） ，若 f（x）4+3sin2cos 2 对x 1，1恒成立，则 的取值范围是（ ） A （ 6， 2） B （ 2，
4、 3） C （ 3， 2） D （ 2， 6） 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）下列命题中，正确的有（ ） A若 ab0，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2abb2 C若 ab0 且 c0，则+ + D若 ab0 且 c0，则 2 2 10 （5 分）某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查，若单
5、册价格每 提高 0.2 元，则发行价就减少 5000 册要使该杂志的销售收入不少于 22.4 万元，每册杂 志可以定价为（ ） A2.5 元 B3 元 C3.2 元 D3.5 元 11 （5 分）对于函数 f（x）cos（x 6） （其中 0） ，下列结论正确的有（ ） A若 f（x）f（ 12）桓成立，则 的取小值为 2 B当 = 1 2时，f（x）的图象关于点（ 4 3 ，0）中心对称 C当 2 时，f（x）在区间（0， 2）上记单调函数 D当 1 时，f（x）的图象可由 g（x）sinx 的图象向左平移 3个单位长度得到 12 （5 分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷
6、函数就以其名命名， 其解析式为 D（x）= 1，为有理数， 0，为无理数关于函数 D（x）有以下四个命题，其中真命题有 （ ） AD（x）既不是奇函数也不是偶函数 BrQ，D（x+r）D（x） CxR，D（D（x） ）1 Dx，yR，D（x+y）D（x）+D（y） 第 3 页（共 16 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若角 的终边经过点 P（3，4） ，则 sin（+2021） 14 （5 分）计算： （1 2） 26 +（0.125） 2 3= 15 （5 分）已知函数 f（x）（m22m2）x 24是
7、幂函数，且 x（0，+）时，f （x）单调递减，则 log27|m|的值为 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2，0 1， 1 ， 1 若关于 x 的方程|f（x）f（2）|m0 在 0，4上有 3 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤。文字说明，证明过程或演算步骤。 17（10 分） 已知全集 UR， 函数 f （x） = 3 4+的定义域为集合 A， 集合 Bx|x 2 （2m+3） x
8、+m（m+3）0 （1）若 m1，求 AUB； （2）设 p：xA；q：xB，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分） （1）已知 cos（+）2cos（ 2 ） ，求 122 2的值 （2）已知 sin+cos= 2 3，且 为第四象限角，求 sincos 的值 19 （12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2xx2 （1）求 f（x）的解析式； （2）求不等式 f（sinx）f（cosx）的解集 20 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| 2）的部分图象如图所示 （1）求 f（x）的解析式： （
9、2）将 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 g（x）的图 象若 g（）= 1 4，求 sin（ 11 6 ）+sin2（ 4 3 ）的值 第 4 页（共 16 页） 21 （12 分）设矩形 ABCD 的周长为 20，其中 ABAD如图所示，把它沿对角线 AC 对折 后，AB 交 DC 于点 P，设 ADx，DPy （1）将 y 表示成 x 的函数，并求定义域： （2）求ADP 面积的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）3x+3 x，函数 g（x）f（2x）mf（x）+6 （1）填空：函数 f（x）的增区间为 （2）若命题“xR，g（x）0”为真命题，
10、求实数 m 的取值范围： （3）是否存在实数 m，使函数 h（x）log（m3）g（x）在0，1上的最大值为 0？如果 存如果存在，求出实数 m 所有的值如果不存在，说明理由 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“x1，x21”的否定
11、是（ ） Ax1，x21 Bx1，x21 Cx1，x21 Dx1，x21 【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“x1，x21”的否定是： “x1，x21” 故选：D 2 （5 分）已知集合 Mx|（x2） （xa）0，N1，3，若 MN，MN1， 2，3，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为 MN，MN1，2，3，N1，3， 所以 M2，而 Mx|（x2） （xa）0，则 a2 故选：B 3 （5 分）学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为 10 米的扇形，并且沿着扇形的弧是 长度为约 6 米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（ ）
12、A0.6rad B6rad C60rad D600rad 【解答】解：由题意知，r10，l6， 所以扇形弧所对的圆心角为 = = 6 10 = 3 5 =0.6（rad） 故选：A 4 （5 分） 若函数 f （x） lgx+x3 的零点所在的区间为 （a， a+1） ， 则整数 a 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且函数 f（x）单调递增， f（2）lg2+23lg210，f（3）lg30， 在（2，3）内函数 f（x）存在零点，a2， 故选：C 第 6 页（共 16 页） 5 （5 分）函数 f（x）= 14 5 的图象大致为（ ）
13、 A B C D 【解答】解：由 f（x）= 14 5 ， 则 f（x）= 14 5 = f（x） ，可知 f（x）是奇函数，排除 A，C 选项， 当 x或 x时，|x5|1x4|，所以 f（x）的值趋向于 0，即图象向 x 轴的靠拢， 排除 B 选项， 故选：D 6 （5 分）系统找不到该试题 7 （5 分）17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明 了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯 称赞为 “对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍” 已知 lg20.3010， lg30.4771，设 N452710，则
14、 N 所在的区间为（ ） A （1015，1016） B （1016，1017） C （1017，1018） D （1018，1019） 【解答】解：lgNlg（452710）lg45+lg27105lg4+10lg27 10lg2+30lg3 100.3010+300.4771 3.01+14.313 17.323 所以 N1017.323（1017，1018） 故选：C 8 （5 分）已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）1，当 a，b1，1 第 7 页（共 16 页） 且 a+b0 时， ()+() + 0，已知 （ 2， 2） ，若 f（x）4+3sin2cos 2 对x
15、 1，1恒成立，则 的取值范围是（ ） A （ 6， 2） B （ 2， 3） C （ 3， 2） D （ 2， 6） 【解答】解：设1x1x21， 因为 f（x）是定义在1，1上的奇函数， 所以 f（x2）f（x1）f（x2）+f（x1） 又 x1x2，所以 x2+（x1）0，由题设有(2)+(1) 2+(1) 0， 因为 x2+（x1）x2x10， 所以 f（x2）+f（x1）0， 即 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f （x） 在1，1上是增函数， 所以 f（x）maxf（1）f（1）1， 所以 f（x）4+3sin2cos2 对x1，1恒成立f（x）max4+3sin2cos2，
16、所以 14+3sin2cos2，即 2sin2+3sin+10，即（2sin+1） （sin+1）0， 又因为 （ 2， 2） ，所以 2sin+10， 解得 6 2 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）下列命题中，正确的有（ ） A若 ab0，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2abb2 C若 ab0 且 c0，
17、则+ + D若 ab0 且 c0，则 2 2 【解答】解：A当 c0 时，ac2bc2不成立，故 A 错误； B由 ab0，可知 a2ab，abb2，a2abb2，故 B 正确； Cab0 且 c0，+ + = + (+) = () (+) 0，故 C 正确； 第 8 页（共 16 页） D由 ab0 且 c0，取 a2，b1，c1，则 2 2不成立，故 D 错误 故选：BC 10 （5 分）某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查，若单册价格每 提高 0.2 元，则发行价就减少 5000 册要使该杂志的销售收入不少于 22.4 万元，每册杂 志可以定价为（ ） A2.5
18、 元 B3 元 C3.2 元 D3.5 元 【解答】解：设杂志的定价为 x 元，总销售收入为 y 元， 根据题意可得：yx100000 2 0.2 5000 25000 x2+150000 x， 当销售收入不少于 22.4 万元时，25000 x2+150000 x224000，解得 2.8x3.2， 故选：BC 11 （5 分）对于函数 f（x）cos（x 6） （其中 0） ，下列结论正确的有（ ） A若 f（x）f（ 12）桓成立，则 的取小值为 2 B当 = 1 2时，f（x）的图象关于点（ 4 3 ，0）中心对称 C当 2 时，f（x）在区间（0， 2）上记单调函数 D当 1 时，f
19、（x）的图象可由 g（x）sinx 的图象向左平移 3个单位长度得到 【解答】解：对于 A：若 f（x）f（ 12）桓成立，所以 f（ 12）1， 则( 12 6）1， 即 12 6 = 2，解得 24k+2（kZ） ，当 k0 时， 取小值为 2，故 A 正确； 对于 B：当 = 1 2时，f（x）cos（ 1 2 6） ，当 x= 4 3 时，f（4 3 ）0，故函数 f（x） 的图象关于点（4 3 ，0）中心对称，故 B 正确； 对于 C：当 2 时，f（x）cos（2x 6） ，当 (0， 2)时，2 6 ( 6 ， 5 6 )，所 以函数不单调，故 C 错误； 对于 D：当 1 时，
20、f（x）cos（x 6）的图象可由 g（x）sinx 的图象向左平移 3个 单位得到 g（x）sin（x+ 3）cos（ 2 3）cos（x 6） ，故 D 正确； 第 9 页（共 16 页） 故选：ABD 12 （5 分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名， 其解析式为 D（x）= 1，为有理数， 0，为无理数关于函数 D（x）有以下四个命题，其中真命题有 （ ） AD（x）既不是奇函数也不是偶函数 BrQ，D（x+r）D（x） CxR，D（D（x） ）1 Dx，yR，D（x+y）D（x）+D（y） 【解答】解：有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理
21、数， 对任意 xR，都有 f（x）f（x） ，故 A 不正确； 若 x 是有理数，则 x+r 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+r 也是无理数， rQ，D（x+r）D（x）所以 B 正确； 当 x 为有理数时，D（x）1；当 x 为无理数时，D（x）0， 当 x 为有理数时，D（D（x） ）D（1）1；当 x 为无理数时，D（D（x） ）D（0） 1， xR，均有 D（D（x） ）1，故 C 正确； 取 x= 2， y= 3， 则 D （x+y） D （2 + 3） 0， D （x） +D （y） D （2） +D （3） 0+00， 所以x，yR，D（x+y）D（x）+D（y） ，故
22、D 正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若角 的终边经过点 P（3，4） ，则 sin（+2021） 4 5 【解答】解：角 的终边经过点 P（3，4） ， 则 r|OP|= (3)2+ 42=5， sin= = 4 5， 则 sin（+2021）sin= 4 5 故答案为： 4 5 14 （5 分）计算： （1 2） 26 +（0.125） 2 3= 25 4 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：原式= 226+ (1 2) 32 3= 6 + (1 2) 2 = 6 + 1 4 =
23、25 4 ， 故答案为：25 4 15 （5 分）已知函数 f（x）（m22m2）x 24是幂函数，且 x（0，+）时，f （x）单调递减，则 log27|m|的值为 1 3 【解答】解：函数 f（x）（m22m2）x 24是幂函数， 且 x（0，+）时，f（x）单调递减， m22m21，且 m24m0，求得 m3， 则 log27|m|log273= 1 3， 故答案为：1 3 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2，0 1， 1 ， 1 若关于 x 的方程|f（x）f（2）|m0 在 0，4上有 3 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 (1 4， 1 2 【解答】解：因为函数 f
24、（x）= 2，0 1， 1 ， 1 ， 所以 f（2）= 1 2， 所以|() 1 2 | = |2 1 2|，0 1 | 1 1 2 |， 1 ， 作出函数 y= |() 1 2|的图象如图中的黑色实线部分， 因为方程|f（x）f（2）|m0 在0，4上有 3 个不相等的实数根， 第 11 页（共 16 页） 则|() 1 2| = 0在0，4上有 3 个不相等的实数根， 即函数 y= |() 1 2 |的图象与 ym 的图象有 3 个不同的交点， 所以1 4 1 2， 故实数 m 的取值范围是(1 4， 1 2 故答案为：(1 4， 1 2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小
25、题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤。文字说明，证明过程或演算步骤。 17（10 分） 已知全集 UR， 函数 f （x） = 3 4+的定义域为集合 A， 集合 Bx|x 2 （2m+3） x+m（m+3）0 （1）若 m1，求 AUB； （2）设 p：xA；q：xB，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【解答】解：由3 4+ 0，得3 +4 0，得4x3，即 A4，3） ， 由 x2（2m+3）x+m（m+3）0 得（xm）x（m+3）0， 得 xm+3 或
26、xm， 即 B（，mm+3，+） （1）若 m1，则 B（，14，+） ， UB（1，4） ， 则 AUB（1，3） （2）若 p 是 q 的充分不必要条件， 则 AB， 即 m3 或 m+34， 得 m3 或 m7 18 （12 分） （1）已知 cos（+）2cos（ 2 ） ，求 122 2的值 （2）已知 sin+cos= 2 3，且 为第四象限角，求 sincos 的值 【解答】解： （1）由 cos（+）2cos（ 2 ） ， 所以cos2sin， 第 12 页（共 16 页） 又 cos0， 所以 tan= = 1 2， 所以 122 2 = 2+222 2 = 21 2 = (
27、1 2) 21 (1 2) 2(1 2) = 3 4 3 4 1 （2）已知 sin+cos= 2 3， 所以（sin+cos）21+2sincos= 4 9， 解得 2sincos= 5 9， 所以（sincos）212sincos1（ 5 9）= 14 9 ； 又 为第四象限角，所以 sin0，且 cos0， 所以 sincos= 14 9 = 14 3 19 （12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2xx2 （1）求 f（x）的解析式； （2）求不等式 f（sinx）f（cosx）的解集 【解答】解： （1）根据题意，函数 f（x）为定义在 R 上的奇函
28、数，且 x0 时，f（x） 2xx2， 令 x0，则x0，则 f（x）f（x）2（x）（x）2x2+2x， 又 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）x22x0， 故 f（x）= 2 2， 0 2+ 2，0 ， （2）根据题意，f（x）= 2 2， 0 2+ 2，0 ，其图象如图： 则 f（x）在区间1，1上为增函数， 第 13 页（共 16 页） 若 f（sinx）f（cosx） ，必有 sinxcosx，即1 0或 1 0， 必有 2k+ 4 x2k+ 3 4 ， 即不等式的解集为（2k+ 4，2k+ 3 4 ） 20 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A
29、0，0，| 2）的部分图象如图所示 （1）求 f（x）的解析式： （2）将 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 g（x）的图 象若 g（）= 1 4，求 sin（ 11 6 ）+sin2（ 4 3 ）的值 【解答】解： （1）由函数 f（x）Asin（x+）的部分图象知， A1，3 4T= 11 12 6 = 3 4 ，解得 T，所以 = 2 =2； 又 x= 6时 f（ 6）1，即 f（ 6）sin（2 6 +）1， 所以 3 += 2 +2k，kZ； 解得 = 6 +2k，kZ； 第 14 页（共 16 页） 又| 2，所以 = 6， 所以 f（x）sin
30、（2x+ 6） （2）将 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得 yf（1 2x）sin（x+ 6）的图 象， 即 g（x）sin（x+ 6） ，所以 g（）sin（+ 6）= 1 4； 所以 sin（11 6 ）+sin2（ 4 3 ）sin2（+ 6）+ 1 21cos（2 8 3 ） sin（+ 6）+ 1 2 1 2cos（2 8 3 ） = 1 4 + 1 2 1 2cos（2+ 3）3 = 1 4 + 1 2cos（2+ 3） = 1 4 + 1 212sin 2（+ 6） = 1 4 + 1 2 （12 1 4） = 1 2 21 （12 分）设矩形 ABCD 的周长
31、为 20，其中 ABAD如图所示，把它沿对角线 AC 对折 后，AB 交 DC 于点 P，设 ADx，DPy （1）将 y 表示成 x 的函数，并求定义域： （2）求ADP 面积的最大值 【解答】解：因为 ADx，所以 AB10 x， 又 PDy，所以 PCPA10 xy， 则在直角三角形 ADP 中，AP2AD2+DP2， 即（10 xy）2x2+y2，整理可得：y= 5010 10 ， 第 15 页（共 16 页） 令 10 0 5010 10 0，解得 0 x5， 即 y= 5010 10 ，且函数的定义域为（0，5） ； （2）ADP 面积为：S= 1 2 = 1 2 5010 10
32、， 令 10 xt，则 x10t， 所以 S= 1 2 (10 ) 5010(10) = (10)(255) = （250 + 5 75）752250 5 =75502 当且仅当 t52，此时 x1052，ADP 面积的最大值：75502 22 （12 分）已知函数 f（x）3x+3 x，函数 g（x）f（2x）mf（x）+6 （1）填空：函数 f（x）的增区间为 0，+） （2）若命题“xR，g（x）0”为真命题，求实数 m 的取值范围： （3）是否存在实数 m，使函数 h（x）log（m3）g（x）在0，1上的最大值为 0？如果 存如果存在，求出实数 m 所有的值如果不存在，说明理由 【解
33、答】解： （1）函数 f（x）的增区间为0，+） ； 理由如下：因为 f（x）3 x+3xf（x） ，所以函数为偶函数， 任取 x2x10， 则(2) (1) = 32+ 32 (31+ 31) = (32 31)(1 1 31+2)， 因为 x2x10，所以32 310，1 1 31+2 0， 故 f（x2）f（x1） ， 所以 f（x）的增区间为0，+） ； （2）g（x）f（2x）mf（x）+6（3x+3 x）m（3x+3x）+4， 令 t3x+3 x 23 3= 2， 第 16 页（共 16 页） 当且仅当 x0 时取等号， 则“xR，g（x）0”为真命题可转化为“t2，m 2+4 ”
34、为真命题， 因为 2+4 = + 4 2 4 = 4， 当且仅当 t2 时取等号， 所以( 2+4 )= 4， 所以 m4； （3）由（1）可知，当 x0，1时，函数 f（x）3x+3 x 单调递增， 故 t3x+3 x2，10 3 ， 记 （t）t2mt+4， 若函数 h（x）log（m3）g（x）在0，1上的最大值为 0， 当 0m31，即 3m4 时，（t）在2， 10 3 上的最小值为 1， 因为 （t）图象的对称轴为 = 2 (3 2，2)， 所以 （t）min（2）82m1， 解得 = 7 2 (3，4)，故符合题意； 当 m31，即 m4 时，（t）在2， 10 3 上的最大值为 1，且 （t）0 恒成立， 因为 （t）的图象是开口向上的抛物线，在2， 10 3 上的最大值可能是 （2）或(10 3 )， 若 （2）1，则 m= 7 2 4，不符合题意， 若(10 3 ) =1，则 m= 127 30 4， 此时对称轴 = 127 60 3 2 ， 10 3 ， 由()= ( 2) = 4 2 4 0，不符合题意， 综上所述，存在实数 m= 7 2，使函数 h（x）log（m3）g（x）在0，1上的最大值为 0
