1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的的.） 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， 2 |230Bx xx，则(AB ) A 1，0，1，2 B0，1，2 C0，1，2，3 D 1， 0， 1， 2，3 2 （5 分）下列图形中可以表示以 |01Mxx剟为定义域，以 |01Nyy剟为值域的函 数的图象是( ) A B C D 3
2、（5 分）设 1 3 aln， 0.3 2b ， 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Aacb Bcab Cabc Dbac 4 （5 分）下列命题中，正确的是( ) A若acbc，则ab B若ab，cd，则acbd C若ab，则 11 ab D若ab，cd，则 ab cd 5 （5 分）( )2f xlnxx的零点在下列哪个区间内( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 6 （5 分）已知函数 5 log,0 ( ) ,0 x x f x xb x ，若(0)2f，则( ( 3)(f f ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分） “ 3 ”是“ 1 cos 2 ”的(
3、 ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知0a ，0b ，若不等式 12 2 k abab 恒成立，则k的最大值等于( ) 第 2 页（共 13 页） A10 B9 C8 D7 9 （5 分）已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为( ) A4 cm B5cm C6cm D7cm 10 （5 分）若函数 1 ( ) (4)21 2 x ax f x a xx 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围 是( ) A4，8) B(1,8) C(4,8) D(1,) 11 （5 分）若函数 22 ( )sin23(coss
4、in)f xxxx的图象为E，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为2 B对任意的xR，都有( )() 3 f xfx C( )f x在 7 (,) 12 12 上是减函数 D由2sin2yx的图象向左平移 3 个单位长度可以得到图象E 12 （5 分）定义在(0,)上的函数( )f x满足()( )( )f xyf xf y，当0 xy时，都有 ( )( )f xf y，且 1 ( )1 2 f，则不等式()(3)2fxfx的解集为( ) A 1，0) B 4，0) C(3，4 D 1，0)(3，4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
5、分分.） 13 （5 分）函数 3 ( ) 4 | x f x x 的定义域是 14 （5 分）若命题“xR ， 2 20 xxa ”是假命题，则实数a的取值范围是 15 （5 分）已知36 xy M，且 2 1 xy xy ，则M的值是 16 （5 分）已知偶函数( )f x满足(1)(1)f xf x，当 1x ，0时， 2 ( )f xx，若在区 间 1，3内，函数( )( )log (2) a g xf xx有三个零点，则实数a的取值范围是 三、解答题（解答应写出文字说三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）化简求值 （1） 2
6、1 log 3 2 1253 20.042lglg ； 第 3 页（共 13 页） （2）设是第二象限角，且tan()2，求 cossin cossin 的值 18 （ 12分 ） 已 知 函 数( )2xf x ，0 x，3， 其 值 域 为 集 合A， 集 合 | () (1 ) )0 Bxxaxa （1）若全集UR，2a ，求 U AB； （2）若“xB”是“xA”的充分条件，求a的取值范围 19 （12 分）已知函数( )log (2)log (4) aa f xxx，其中1a （1）求函数( )f x的定义域； （2）求函数( )f x图象所经过的定点； （3）若函数( )f x的最
7、大值为 2，求a的值 20 （12 分）某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩 内充入保护液体 该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成： 罩内该种液体 的体积比保护罩的容积少 0.5 立方米，且每立方米液体费用为 2000 元；需支付一定的保 险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 4 立方米时，支付的保险费用为 18000 元 （长方体保护罩最大容积为 10 立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积 21 （12 分）已知函数
8、2 ( )2sin()sin()2cos1 2 f xxxx （1）求( )f x的单调递增区间及对称轴方程； （2）若(0,) 2 ，且 2 ( ) 5 f，求tan(2) 4 的值 22 （12 分）已知二次函数 2 ( )4g xxxa在1，2上的最小值为 0，设 ( ) ( ) g x f x x （1）求a的值； （2）当3x，9时，求函数 3 (log)fx的值域； （3） 若函数( )(|21|)(|21|)3 (|21|)2 xxx h xfkk有三个零点， 求实数k的取值范围 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷学年安徽省宣城
9、市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的的.） 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， 2 |230Bx xx，则(AB ) A 1，0，1，2 B0，1，2 C0，1，2，3 D 1， 0， 1， 2，3 【解答】解： 1A ，0，1，2，3， 2 |230 | 13Bx xxxx ， 0AB，1，2， 故选：B 2 （5 分）下列图形中可以表示以 |01Mxx剟为定义域，以 |01Nyy剟为
10、值域的函 数的图象是( ) A B C D 【解答】解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N； B选项，函数定义域不是M，值域为N； D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关 系 故选：C 3 （5 分）设 1 3 aln， 0.3 2b ， 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Aacb Bcab Cabc Dbac 【解答】解： 1 10 3 alnln， 0.30 221b ， 第 5 页（共 13 页） 20 11 0( )( )1 33 c， acb 故选：A 4 （5 分）下列命题中，正确的是( ) A若acbc，则ab B若ab，cd，则acb
11、d C若ab，则 11 ab D若ab，cd，则 ab cd 【解答】解：对于A，若acbc，0c ，则ab，故A错误； 对于B，若ab，cd，则acbd显然成立，故B正确； 对于C，若0ab，则 11 ab ，故C错误； 对于D，若ab，cd，取2a ，1b ，2c ，1d ，则 ab cd ，故D错误 故选：B 5 （5 分）( )2f xlnxx的零点在下列哪个区间内( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 【解答】解：因为f（1）1 1210ln ，f（2）2220ln， 所以函数( )2f xlnxx的零点所在的区间为(1,2) 故选：B 6 （5 分）已知函数
12、 5 log,0 ( ) ,0 x x f x xb x ，若(0)2f，则( ( 3)(f f ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据题意，函数 5 log,0 ( ) ,0 x x f x xb x ， 若(0)2f，则(0)2fb，即2b ， 则( 3)( 3)25f ， 故( ( 3)f ff（5） 5 log 51， 故选：B 7 （5 分） “ 3 ”是“ 1 cos 2 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页（共 13 页） 【解答】解：因为 1 cos 2 ，所以 5 22, 33 Z kkk， “ 3 ”是不能推出
13、“ 1 cos 2 ” ， “ 1 cos 2 ”也不能推出“ 3 ” ， 所以 3 ”是“ 1 cos 2 ”的既不充分也不必要条件 故选：D 8 （5 分）已知0a ，0b ，若不等式 12 2 k abab 恒成立，则k的最大值等于( ) A10 B9 C8 D7 【解答】解：由于0a ，0b ，所以20ab， 故不等式 12 2 k abab 等价于 12 (2)()kab ab ， 不等式式 12 2 k abab 恒成立，等价于 12 (2)()minkab ab ， 由于 1244 (2)()4428 baba ab ababa b ， （当且仅当2ab时“”成立） ， 故8k
14、故选：C 9 （5 分）已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为( ) A4 cm B5cm C6cm D7cm 【解答】解：202lR， 1 2 SlR 2 1 (202 )10 2 R RRR 2 (5)25R 当半径5Rcm时，扇形的面积最大为 2 25cm 故选：B 10 （5 分）若函数 1 ( ) (4)21 2 x ax f x a xx 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围 是( ) 第 7 页（共 13 页） A4，8) B(1,8) C(4,8) D(1,) 【解答】解：因为函数( )f x是R上的增函数， 所以有 1 1 40 2 (4) 12
15、 2 a a a a 1 848 4 a aa a ， 故选：A 11 （5 分）若函数 22 ( )sin23(cossin)f xxxx的图象为E，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为2 B对任意的xR，都有( )() 3 f xfx C( )f x在 7 (,) 12 12 上是减函数 D由2sin2yx的图象向左平移 3 个单位长度可以得到图象E 【解答】解：( )sin23cos22sin(2) 3 f xxxx ， 则( )f x的最小正周期为 2 2 ，故A错误， 若( )() 3 f xfx ，则函数关于 6 x 对称， 2 ()2sin(2)2sin2 66
16、33 f ，即函数关于 6 x 不对称，故B错误， 当 7 1212 x 时， 7 2 66 x ，即 3 2 232 x ，此时函数( )f x为减函数，故C正确， 由2sin2yx的图象向左平移 3 个单位长度得到 2 2sin2()2sin(2) 33 yxx ，则不成 立，故D错误， 故选：C 12 （5 分）定义在(0,)上的函数( )f x满足()( )( )f xyf xf y，当0 xy时，都有 ( )( )f xf y，且 1 ( )1 2 f，则不等式()(3)2fxfx的解集为( ) A 1，0) B 4，0) C(3，4 D 1，0)(3，4 【解答】解：因为()( )
17、( )f xyf xf y， 所以令1xy，则有f（1）f（1）f（1） ，解得f（1）0， 第 8 页（共 13 页） 所以 11 (1)(2)(2)( )0 22 ffff， 又 1 ( )1 2 f，所以f（2）1 ， 所以f（4）(22)ff（2）f（2）2 ， 不等式()(3)2fxfx，即为(3)fxxf（4） ， 因为当0 xy时，都有( )( )f xf y， 故函数( )f x在区间(0,)上单调递减， 所以不等式等价于 0 30 (3) 4 x x xx ，即 0 3 14 x x x 剟 ，解得10 x， 所以不等式()(3)2fxfx的解集为 1，0) 故选：A 二、填
18、空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.） 13 （5 分）函数 3 ( ) 4 | x f x x 的定义域是 3，4)(4，) 【解答】解：要使函数有意义，则 3 0 4 | 0 x x ， 得 3 4 x x ，即3x且4x ， 即函数的定义域为3，4)(4，)， 故答案为：3，4)(4，) 14 （5 分） 若命题 “xR ， 2 20 xxa ” 是假命题， 则实数a的取值范围是 (1,) 【解答】解：命题“xR ， 2 20 xxa ”是假命题， 则它的否定命题： “xR ， 2 20 xxa”是真命题， 所以440a，解得1a ， 所以实数a的
19、取值范围是(1,) 故答案为：(1,) 15 （5 分）已知36 xy M，且 2 1 xy xy ，则M的值是 54 【解答】解：36 xy M，且 2 1 xy xy ， 第 9 页（共 13 页） 3 logxM， 6 logyM， 212 log62log3log541 MMM xy xyyx ， 54M 故答案为：54 16 （5 分）已知偶函数( )f x满足(1)(1)f xf x，当 1x ，0时， 2 ( )f xx，若在区 间 1，3内， 函数( )( )log (2) a g xf xx有三个零点， 则实数a的取值范围是 35a 【解答】解：根据题意，因为函数( )f x
20、满足(1)(1)f xf x， 所以有(2)( )f xf x， 故函数( )f x是周期为 2 的周期函数， 又因为( )f x是偶函数，且当 1x ，0时， 2 ( )f xx， 则当0 x，1时， 2 ( )f xx， 当 1x ，1时， 2 ( )f xx， 所以当1x，3时， 2 ( )(2)f xx， 因为函数( )( )log (2) a g xf xx有三个零点， 所以函数( )yf x与函数( )log (2) a g xx的图象有三个交点， 故必有1a ， 作出函数( )yf x与函数( )log (2) a g xx的图象如图所示， 则有 (1)1 (3)1 g g ，即
21、 31 51 a a log log ， 解得35a 故答案为：35a 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）化简求值 第 10 页（共 13 页） （1） 2 1 log 3 2 1253 20.042lglg ； （2）设是第二象限角，且tan()2，求 cossin cossin 的值 【解答】解： （1）原式1000533531lg （2）因为tan()tan2 ，所以tan2 ， 即 cossin1tan1( 2) 3 cossin1tan1( 2) 18 （ 12分 ） 已 知 函 数( )2xf
22、 x ，0 x，3， 其 值 域 为 集 合A， 集 合 | () (1 ) )0 Bxxaxa （1）若全集UR，2a ，求 U AB； （2）若“xB”是“xA”的充分条件，求a的取值范围 【解答】解： （1）因为2a ，所以 |(2)(3)0 |23Bxxxxx， 所以 |2 U C Bx x或3x， 而( )2xf x ，0 x，3，所以 |18Ayy剟， 所以1 U AC B ，23，8 （2）因为“xB”是“xA”的充分条件， 所以BA， 又 |1Bx axa， 所以 1 17 1 8 a a a 剟 ， 即1a，7 19 （12 分）已知函数( )log (2)log (4) a
23、a f xxx，其中1a （1）求函数( )f x的定义域； （2）求函数( )f x图象所经过的定点； （3）若函数( )f x的最大值为 2，求a的值 【解答】解： （1）由题意，得 20 40 x x ， 解得42x 所以函数( )f x的定义域 | 42xx 第 11 页（共 13 页） （2）( )log (2)log (4) aa f xxx，( )log (2)(4) a f xx x， 当(2)(4)1x x时，即12 2x 时，( )0f x ， 函数图象所经过的定点( 12 2,0) ，( 12 2,0) （3）( )(2)(4)g xx x，( 4,2)x ，则( )(2
24、)(4)(0g xx x，9， 若函数( )log (2)(4) a f xx x的最大值为 2， 因为1a ，则( )9g x 时最大值为 2， 即( )log 92 maxa f x，则 2 9a ， 故3a 20 （12 分）某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩 内充入保护液体 该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成： 罩内该种液体 的体积比保护罩的容积少 0.5 立方米，且每立方米液体费用为 2000 元；需支付一定的保 险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 4 立方米时，支付的保险费用为 18000 元 （长方体保护罩最大容积
25、为 10 立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积 【解答】解： （1）设保险费用为 1 t y x ， 代入4x ， 1 18000y ，解得72000t ， 则总费用 72000 2000(0.5)(0.510)yxx x ， 即 72000 20001000(0.510)yxx x （2）由均值不等式可得 7200072000 20001000 2 2000100024000100023000yxx xx ， 当且仅当 72000 2000 x x ，即6x 立方米时取等号，
26、故当长方体保护罩容积为 6 立方米时，总费用最小值为 23000 元 21 （12 分）已知函数 2 ( )2sin()sin()2cos1 2 f xxxx （1）求( )f x的单调递增区间及对称轴方程； （2）若(0,) 2 ，且 2 ( ) 5 f，求tan(2) 4 的值 第 12 页（共 13 页） 【解答】解：（1） 2 22 ( )2cos sin(2cos1)sin2cos22(sin2cos2 )2sin(2) 224 f xxxxxxxxx ， 令222 242 x k 剟k，Zk， 3 88 x k 剟k，Zk， 则( )f x的单调递增区间： 3 , 88 kk，Zk
27、 令2 42 x k，Zk，即对称轴方程： 3 82 x k ，Zk （2） 2 ( )2sin(2) 45 f ， 所以 1 sin(2) 45 ， (0,) 2 ， 所以 3 2(,) 444 ， 而 12 sin(2)(0,) 452 ， 所以2(0,) 42 ， 故 16 tan(2) 41224 22 （12 分）已知二次函数 2 ( )4g xxxa在1，2上的最小值为 0，设 ( ) ( ) g x f x x （1）求a的值； （2）当3x，9时，求函数 3 (log)fx的值域； （3） 若函数( )(|21|)(|21|)3 (|21|)2 xxx h xfkk有三个零点，
28、 求实数k的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )(2)4g xxa， 故当2x 时，( )g x取最小值 0， 则 2 ( )(2)(22)40 min g xga， 解得4a （2） ( )4 ( )4 g x f xx xx ， 令 3 logtx，3x，9，则1t，2， 则 3 4 (log)( )4fxf tt t 在1t，2上单调递减， 则( )minf tf（2）0，( )maxf tf（1）1， 第 13 页（共 13 页） 所以值域为0，1 （3）设|21| x m，则 2 ( )( )32(34)(42 )h mmf mmmmkkkk， 令 2 (34)(42 )0mm
29、kk， 由题意知，关于m的一元二次方程有两个根 1 m， 2 m满足如下条件： 当 1 0m 时，代入方程解得2 k，此时 2 2m 方程( )0h x 仅有 1 个解，不符合题意 当 1 1m 时，代入方程解得1k，此时方程 2 760mm，解得 2 6m ， 所以函数( )h x有两个零点，不符合题意 当 12 01mm 时，函数( )h x有三个零点， 则有 0 43 01 2 (0)0 (1) 0 h h k 或 0 43 1 2 (0)0 (1)0 h h k ， 即 16 0 9 42 33 2 1 kk k k k 或 ，或 16 0 9 2 3 2 1 kk k k k 或 ， 解，不等式无解，解得1k， 故实数k的取值范围为(1,)
