1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）下列说法正确的是( ) A命题“若 2 10 x ，则1x 或1x ”的否命题是“若 2 10 x ，则1x 或1x ” B命题“xR ， 2 10 x ”的否定是“ 0 xR， 2 0 10 x ” C “22 ab ”是“ab”的充分不必要条件 D “1x ”是“2x ”的必要不充分条件 2 （4 分）已知定义在m，n上的函数( )f x，其导函数( )fx的大致图
2、象如图所示，则下 列叙述正确的个数为( ) ( )f x的值域为 f（d） ，() f n； ( )fx在a，b上单调递增，在b，d上单调递减； ( )f x的极大值点为xc，极小值点为xe； ( )f x有两个零点 A0 B1 C2 D3 3 （4 分）关于直线m，n，l及平面，下列命题中正确的是( ) A若ml，nl，则/ /mn B 若m，n，lm，ln， 则l C若，则/ / D若m，/ /m，则 4（4 分） 已知三棱锥OABC， 点M，N分别为AB，OC的中点， 且,OAa OBb OCc， 用a，b，c表示MN，则MN等于( ) 第 2 页（共 19 页） A 1 () 2 bc
3、a B 1 () 2 abc C 1 () 2 abc D 1 () 2 cab 5 （4 分）将周长为 8 的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱当该圆柱体积最 大时，边AB的长为( ) A 4 3 B 2 3 C 1 3 D1 6 （4 分）已知P为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别为C的左、右焦点， 且 12 PFPF，若 21 tan3PF F，则C的离心率为( ) A 10 4 B 10 2 C 3 2 5 D 2 2 3 7 （4 分）定积分 1 22 1(3 1)(xxdx ) A1 2 B2 2 C3 D4 8 （4 分）某
4、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A16 3 B4 C4 2 D12 9 （4 分）已知函数 ,0 ( ) (2),0 x lnx x f xx xex ，若函数( )( )g xf xa仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) 第 3 页（共 19 页） A(2,) B 3 1 (2,)(,) e C 3 1 (,) e D 3 11 ( ,2(,) ee 10 （4 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为( ) 若4MN ，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为3； 若点N
5、到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线； 若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线的一支； 若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为 4，且一条渐近线方程为3yx，则双曲 线的标准方程是 12 （4 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的 表面积为 13 （4 分）已知函数 2 ( )3 m f xlnxxx x 若函数( )f x在1，2上单调递减，则实数m 的最
6、小值为 14 （ 4分 ） 若 实 数x，y满 足 方 程 2222 (3 )(3 )1 0 xyxy， 则 2222 (1 )(3 )xyxy的取值范围为 三、解答题三、解答题 15（8 分） 已知命题p： 方程 22 1 17 xy aa 表示焦点y轴上的椭圆； 命题: 2qx ，1， 使得210 xa 成立 第 4 页（共 19 页） （1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围 16 （8 分）已知函数( )(0) x ax f xa e （1）当1a 时，求函数( )yf x在0，2上的最大值和最小值； （2）求函数( )f x的单调区间
7、 17 （8 分） 如图所示， 在多面体ABCDE中，/ /DEAB，ACBC， 平面DAC 平面ABC， 24BCAC，2ABDE，DADC，点F为BC的中点 （1）证明：EF 平面ABC； （2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求平面DCE与平面ADC所成的锐二面角的 余弦值 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点(4 ,0)Mp 的直线l交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点 当AB垂直于x轴时，OAB的面积为2 2 （1）求抛物线的方程： （2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T 证明： 12 y
8、y为定值： 若/ /OATB，求直线l的斜率 19 （10 分）已知函数 2 ( )(1)()2(0)f xln xa xxa （1）当2a 时，求( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； 第 5 页（共 19 页） （2）若( )f x有两个极值点 求a的取值范围； 证明( )f x的极小值小于 1 22 2 ln 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）下列说法正
9、确的是( ) A命题“若 2 10 x ，则1x 或1x ”的否命题是“若 2 10 x ，则1x 或1x ” B命题“xR ， 2 10 x ”的否定是“ 0 xR， 2 0 10 x ” C “22 ab ”是“ab”的充分不必要条件 D “1x ”是“2x ”的必要不充分条件 【解答】 解： 命题 “若 2 10 x ， 则1x 或1x ” 的否命题是 “若 2 10 x ， 则1x 且1x ” ， 所以A不正确； 命题“xR ， 2 10 x ”的否定是“ 0 xR， 2 0 1 0 x ” ，所以B不正确； 22 ab ”是“ab”的充要条件，所以C不正确； “1x ”推不出“2x
10、” ，反之成立，所以“1x ”是“2x ”的必要不充分条件，所以 D正确； 故选：D 2 （4 分）已知定义在m，n上的函数( )f x，其导函数( )fx的大致图象如图所示，则下 列叙述正确的个数为( ) ( )f x的值域为 f（d） ，() f n； ( )fx在a，b上单调递增，在b，d上单调递减； ( )f x的极大值点为xc，极小值点为xe； ( )f x有两个零点 第 7 页（共 19 页） A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据导函数( )fx的图象可知， 当xm，) c时，( )0fx，函数( )f x在m， c上单调递增； 当( , )xc e时，( )0fx，函数( )
11、f x在c， e上单调递减， 当(xe，n时，( )0fx，函数( )f x在(e，n上单调递增，故错误，正确， 根据单调性可知，函数的最小值为( )f m或f（e） ，最大值为f（c）或( )f n，故错误， 当( )0f m 且f（e）0时，函数无零点，故错误 故选：B 3 （4 分）关于直线m，n，l及平面，下列命题中正确的是( ) A若ml，nl，则/ /mn B 若m，n，lm，ln， 则l C若，则/ / D若m，/ /m，则 【解答】解：对于A，由ml，nl，在同一个平面可得/ /mn，在空间不成立，故A错 误； 对于B，由线面垂直的判定定理知少相交条件，故B错误； 对于C，当三
12、个平面，两两垂直时，结论错误，故C错误； 对于D，若m，/ /m，则，故D正确 故选：D 4（4 分） 已知三棱锥OABC， 点M，N分别为AB，OC的中点， 且,OAa OBb OCc， 用a，b，c表示MN，则MN等于( ) A 1 () 2 bca B 1 () 2 abc C 1 () 2 abc D 1 () 2 cab 【解答】解：由题意知MNONOM 第 8 页（共 19 页） 11 () 22 OCOAOB ,OAa OBb OCc 1 () 2 MNcbc 故选：D 5 （4 分）将周长为 8 的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱当该圆柱体积最 大时，边AB的长为(
13、 ) A 4 3 B 2 3 C 1 3 D1 【解答】解：设ABx，则 1 (82 )4 2 BCxx， 则圆柱的体积 2 (4)Vxx， 由题意，028x，得04x 23 11442256 (4)(4)(4) 2() 22327 xxx Vxxxxx 当且仅当42xx，即 4 3 x 时上式取等号 故选：A 6 （4 分）已知P为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别为C的左、右焦点， 且 12 PFPF，若 21 tan3PF F，则C的离心率为( ) A 10 4 B 10 2 C 3 2 5 D 2 2 3 【解答】 解： 由题意可设 2 |
14、PFm， 在直角三角形 12 PFF中， 21 tan3PF F， 可得 1 | 3PFm， 由椭圆的定义可知，32mma，解得 1 2 ma，由勾股定理可得， 222 (3 )(2 )mmc， 即 222 13 ()()4 22 aac，解得 10 4 e ， 故选：A 7 （4 分）定积分 1 22 1(3 1)(xxdx ) A1 2 B2 2 C3 D4 【解答】解： 1 23 1 1 13 |1( 1)2xx ， 1 2 1 1x dx ，表示以原点为圆心，以半径为 1 的圆的面积的二分之一， 第 9 页（共 19 页） 故 1 2 1 1 2 x dx ， 故 1 22 1(3 1
15、)2 2 xxdx ， 故选：B 8 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A16 3 B4 C4 2 D12 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图： 几何体的体积为： 116 2 242 33 故选：A 9 （4 分）已知函数 ,0 ( ) (2),0 x lnx x f xx xex ，若函数( )( )g xf xa仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A(2,) B 3 1 (2,)(,) e C 3 1 (,) e D 3 11 ( ,2(,) ee 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：令( )(0) lnx m xx x ，则 2 1 ( )
16、 lnx m x x ， 所以( )m x在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减， 当0 x 时，( )m x ， 1 ( )g e e ， 当x 时，( )0m x ； 令( )(2)(0) x h xxex，则( )(3) x h xxe， 所以( )h x在(, 3) 上单调递减，在( 3,0)上单调递增， 当x 时，( )0h x ， 3 1 ( 3), (0)2hh e ， 作出函数( )f x的图象如图所示， 因为函数( )( )g xf xa仅有一个零点， 即函数( )yf x与ya只有一个交点， 所以实数a的取值范围为 3 11 ( ,2(,) ee 故选：D 1
17、0 （4 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为( ) 若4MN ，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为3； 若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线； 若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线的一支； 若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 第 11 页（共 19 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于，4MN ，2MD ，所以2 3DN ， 则MN的中点到MD中点的距离为3， MN中点的轨迹为以MD中点为圆心，3为半径且平行
18、于平面ABCD的圆， 其面积为 2 ( 3)3，故正确； 对于， 1 BB 平面ABCD，NB即为N到直线 1 BB的距离， 在平面ABCD内，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等， 所以点N的轨迹就是以B为焦点，DC为准线的抛物线，故正确； 对于，如图，建立空间直角坐标系，设(N x，y，0)， 1 (D Nx，y，4)，(0AB ，4，0)， 1 22 1 |4 |1 cos 32| 416 D N ABy D NAB xy ， 化简得 22 316yx，所以N的轨迹为双曲线，故错误； 对于，MN与平面ABCD所成的角为MND，所以 4 MND ， 则2DN ，所以点N的轨迹为以D为
19、圆心，2 为半径的圆，故正确 所以命题正确的个数为 3 故选：C 第 12 页（共 19 页） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为 4，且一条渐近线方程为3yx，则双曲 线的标准方程是 2 2 1 3 y x 【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为 22 22 1(0,0) yx ab ab ， 由24c ，则2c ，渐近线方程为3yx，即3 a b ， 由 222 cab，解得：1b ，3a ， 双曲线的标准方程为： 2 2 1 3 y x 故答案为： 2 2 1 3 y x 12 （4 分）长方体的
20、长、宽、高分别为3，2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的 表面积为 6 【解答】解：根据题意，长方体的 8 个顶点都在同一球面上， 则长方体的体对角线就是球的直径， 因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1， 所以长方体的体对角线的长为 222 ( 3)( 2)16， 故球的半径 6 2 r ， 所以球的表面积 2 46Sr 第 13 页（共 19 页） 故答案为：6 13 （4 分）已知函数 2 ( )3 m f xlnxxx x 若函数( )f x在1，2上单调递减，则实数m 的最小值为 6 【解答】解： 2 1 ( )23 m fxx xx ， 若( )f x在1，2上单调递减， 则(
21、 ) 0fx在1，2恒成立， 即 32 23mxxx在1，2恒成立， 故只需 32 (23)maxmxxx， 令 32 ( )23g xxxx，1x，2， 则 2 ( )661g xxx，对称轴 1 2 x ， 故( )g x在1，2单调递增， 而g（1）10 ，故( )0g x在1，2恒成立， 故( )g x在1，2单调递增，故( )maxg xg（2）6， 故m的最小值是 6， 故答案为：6 14 （ 4分 ） 若 实 数x，y满 足 方 程 2222 (3 )(3 )1 0 xyxy， 则 2222 (1 )(3 )xyxy的取值范围为 1010,1010 【解答】解：因为实数x，y满足
22、方程 2222 (3)(3)10 xyxy， 所以点( , )x y到点(0, 3)与(0,3)的距离和为 10， 结合椭圆的定义可知点( , )x y的轨迹方程为 22 1 2516 yx ， 设点P在椭圆上， 1(0,3) F， 2(0, 3) F，(1,0)Q， 则 2222 12 (1)(3)| | 10 |xyxyPQPFPQPF， 而 222 |QFPQPFQF剟， 2 |10QF ， 所以 2222 2 (1)(3)10 |xyxyPQPF，1010,1010 故答案为：1010,1010 第 14 页（共 19 页） 三、解答题三、解答题 15（8 分） 已知命题p： 方程 2
23、2 1 17 xy aa 表示焦点y轴上的椭圆； 命题: 2qx ，1， 使得210 xa 成立 （1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）若命题p为真命题，则，即14a 因为命题p为假命题， 所以命题p为真命题 故实数a的取值范围为(1,4)； （2）若命题q为真命题，则210a ，即3a ， 因为命题pq为真命题， 所以命题p和命题q均为真命题 故实数a的取值范围为(3,4) 16 （8 分）已知函数( )(0) x ax f xa e （1）当1a 时，求函数( )yf x在0，2上的最大值和最小值； （2）求函数(
24、)f x的单调区间 【解答】解： （1）当1a 时，( ) x x f x e ， 1 ( ) x x fx e 令( )0fx，得1x ， 当01x 时，( )0fx，此时( )f x单调递增； 当12x 时，( )0fx，此时( )f x单调递减， 当1x 时，( )f x取最大值 1 e ，又(0)0f， 2 2 (2)f e ， 函数( ) x x f x e 的最大值和最小值分别为 1 e ，0 （2）由( )(0) x ax f xa e ，得 (1) ( ) x ax fx e 当0a 时，由( )0fx，得1x ；由( )0fx，得1x 当0a 时，由( )0fx，得1x ；由
25、( )0fx，得1x 综上，当0a 时，函数( ) x x f x e 的单调递增区间为(,1)，单调递减区间为(1,)； 当0a 时，函数( ) x x f x e 的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(,1) 第 15 页（共 19 页） 17 （8 分） 如图所示， 在多面体ABCDE中，/ /DEAB，ACBC， 平面DAC 平面ABC， 24BCAC，2ABDE，DADC，点F为BC的中点 （1）证明：EF 平面ABC； （2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求平面DCE与平面ADC所成的锐二面角的 余弦值 【解答】 （1）证明：取AC的中点O，连接DO，OF， 在DAC中
26、，DADC，DOAC， 由平面DAC 平面ABC，且交线为AC， 得DO 平面ABC， （2 分） O，F分别为AC，BC的中点，/ /OFAB，且2ABOF， 又/ /DEAB，2ABDE，所以OFDE， 四边形DEFO为平行四边形，/ /EFDO， EF平面ABC； （4 分） （2）解：DO 平面ABC，ACBC，平面DAC 平面ABC， 所以BC 平面ADC； 以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， （5 分） 因为24BCAC，2ABDE，DADC，点F为BC的中点， 则(1A，0，0)，( 1C ，0，0)，( 1B ，4
27、，0)， EF 平面ABC，直线BE与平面ABC所成角为60EBF， tan602 3DOEFBF ，(0,0,2 3)D，( 1,2,2 3)E ， 取平面ADC的一个法向量(0,1,0)m ， 设平面DCE的一个法向量( , , )nx y z， 因为(1,0,2 3)CD ，(0,2,2 3)CE ， 第 16 页（共 19 页） 则，取1z ，得( 2 3,3,1)n ， 222 |( 2 3)(3)14n ，| 1m ，3m n ， 33 cos, | |1 44 m n m n mn ， （7 分） 设平面DCE与平面ADC所成的锐二面角为， 则 3 cos|cos,| 4 m n
28、 ， 平面DCE与平面ADC所成的锐二面角的余弦值为 3 4 （8 分） 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点(4 ,0)Mp 的直线l交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点 当AB垂直于x轴时，OAB的面积为2 2 （1）求抛物线的方程： （2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T 证明： 12 y y为定值： 若/ /OATB，求直线l的斜率 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）当AB垂直于x轴时，(4, 2 2 )App，(4,2 2 )Bpp 所以OAB的面积为 2 11 4 248 22
29、2 22 AB OMppp， 因为0p ，所以 1 2 p ， 所以抛物线的方程为 2 yx （2）由题意可知直线l与x轴不垂直 由（1）知(2,0)M，设 2 11 (,)A yy， 2 22 (,)B yy， 则 12 22 1212 1 AB yy yyyy k 由A，M，B三点共线，得 12 22 12 22 yy yy ， 因为 12 yy，化简得 12 2y y 因为 12 2y y ，所以 2 11 42 (,)B yy 因为线段AB垂直平分线的方程为 22 1212 12 ()() 22 yyyy yyyx ， 令0y ，得 22 212 1 2 1 114 (1) 22 T
30、yy xy y 因为/ /OATB，所以 OATB kk， 即 1 2 1 1 22 11 2 1 144 (1) 2 y y y yy ，整理得 22 11 (1)(4)0yy， 解得 1 2y ，故(4, 2)A 所以1 AM k，即直线l的斜率为1 第 18 页（共 19 页） 19 （10 分）已知函数 2 ( )(1)()2(0)f xln xa xxa （1）当2a 时，求( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）若( )f x有两个极值点 求a的取值范围； 证明( )f x的极小值小于 1 22 2 ln 【解答】解： （1）当2a 时， 2 ( )(1)222f xl
31、n xxx 1 ( )42 1 fxx x ，(0)3 f 又(0)2f，( )f x在点(0，(0)f处的切线方程为32yx （2） 2 ( )(1)()2f xln xa xx的定义域为( 1,) ， 2 1231 ( )(21) 11 axaxa fxax xx 令 2 ( )231g xaxaxa， 2 8aa，( )g x的对称轴 3 4 x 当0时，即08a ，( ) 0g x ，故( ) 0fx， ( )f x在( 1,) 上单调递增此时( )f x无极值 当0时，即8a ， 1 ( 1)()10 2 gg ， 3 ()10 48 a g ， 函数( )g x在区间 1 ( 1,
32、) 2 有两个变号零点 1 x， 2 x， 不妨设 12 xx，其中 1 3 ( 1,) 4 x ， 2 31 (,) 42 x 当 1 1xx 时，( )0g x ，( )0fx，( )f x在 1 ( 1,)x上单调递增； 当 12 xxx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x在 1 (x， 2) x上单调递减； 当 2 xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x在 2 (x，)上单调递增 当( )f x有两个极值点时，a的取值范围为(8,) 第 19 页（共 19 页） 由可知，函数( )f x有唯一的极小值点为 2 x，且 2 31 42 x 又 2 ()0g x， 2 22 1 231 a xx 22 22222 2 222 1 ()(1)()2(1)2 23121 x f xln xxxln x xxx 令 31 ( )(1)2() 2142 x g xln xx x ， 22 1212(43) ( )0 1(21)(1)(21) xxxx g x xxxx 在 31 42 x 上恒成立， ( )g x在 31 (,) 42 单调递减 31 ( )()22 42 g xgln ，即( )f x的极小值小于 1 22 2 ln
