1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科）学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科） （1 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“1x ，210 x ”的否定是( ) A1x ，21 0 x B 0 1x ， 0 21 0 x C 0 1x， 0 210 x D 0 1x， 0 21 0 x 2 （5 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标是(
2、) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16，0) 3 （5 分）关于x的方程 1 420 xx m 有正实数解的一个必要不充分条件是( ) A0m B5m C3m D4m 4 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，直线 22 :3()l yxab与双曲线C仅 有一个公共点，则双曲线C的离心率为( ) A2 3 B3 C2 D 3 3 2 5 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，已知M是BD的中点，则 1 B M与平面 11 AAD D所成 角的余弦值为( ) A 6 6 B 3 3 C 30 6 D 30 6 6 （
3、5 分）若椭圆 22 1(0) 4 xy m m 的离心率为 1 2 ，则实数m等于( ) A3 B1 或 3 C3 或16 3 D1 或16 3 7 （5 分）若“(1x ，4， 2 290 xax”是假命题，则实数a的取值范围为( ) 第 2 页（共 20 页） A(，3 B3，) C(3,) D5，) 8 （5 分）设曲线C的方程为 44 1 164 xy ，给出关于曲线C的性质的结论：曲线C关于坐 标轴对称，也关于坐标原点对称；曲线C上的所有点均在椭圆 22 1 164 xy 内部下面判断 正确的是( ) A错误正确 B正确错误 C都错误 D都正确 9 （5 分）如图， 1 F， 2
4、F是双曲线 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 2 F B的中点，且 12 FBF B，则 12 | (FF ) A4 B4 3 C6 D9 10 （5 分）以(0,2)M为圆心，4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A，B两点，如图， 点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N， 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8，12 C8，12) D8，12 11 （5 分）以下四个关于双曲线的命题： 第 3 页（共 20 页） 设A，B为两个定点，m
5、为正数，若动点P使|PAPBm，则动点P的轨迹是双曲 线； 方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点； 若双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，P为双曲线C上一点， 若 1 5 | 2 PF ， 则 2 1 | 2 PF 或 9 2 其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知椭圆 22 1 43 xy 上存在两个不同的点A，B关于直线0 xym对称，则 实数m的取值范围是( ) A(7, 7) B 3 7 3 7 (,) 77
6、C 77 , 77 D 77 (,) 77 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）王安石在游褒禅山记中写道： “世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而 人之所罕至焉，故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观” 的 条件 （填“充分” “必要” “充要”中的一个） 14 （5 分）双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐 标原点，若| 2|OPOF，则PFO的面积为 15 （5 分）如图，二面角l 为135，A，B，过A，B分别作l的垂线，垂 足分别为C
7、，D，若1AC ，2BD ，2CD ，则AB的长度为 16 （5 分）已知抛物线 2 :C xay焦点为F，准线方程1y ，直线l与抛物线C交于A， B两点， 连接AF并延长交抛物线C于点D， 若AB中点的纵坐标为| 1AB ， 则当AFB最 大时，|AD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 4 页（共 20 页） 17 （ 10 分 ） 已 知p： 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ；q： 函 数 2 ()21( 0 , 1 )fxxm xm x 的最大值不超过 2若pq
8、为真命题，pq为假命题， 求实数m的取值范围 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AD 平面ABP，/ /BCAD，90PAB， 2PAAB，3AD ，1BC ，E是PB的中点 （1）证明：PB 平面ADE； （2）求二面角CAED的余弦值 19 （12 分）已知过点(2,1)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近 线的方程是0 xy （1）求双曲线C的方程； （2） 若O是坐标原点， 直线:1l yxk与双曲线C的两支各有一个交点， 且交点分别是A， B，AOB的面积为2，求实数k的值 20 （12 分） 在三棱柱 111 ABCABC中， 平面 11 ACC A 平
9、面ABC，BAAC， 四边形 11 ACC A 为菱形，且 1 60A AC，E，F分别是棱BC， 1 BB的中点，22ACAB （1）求异面直线 1 AB和EF所成角的余弦值； （2）求 1 C到平面AEF的距离 21 （12 分）以抛物线 2 :2(0)C ypx p的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准 第 5 页（共 20 页） 线于D，E两点已知| 4 2AB ，| 2 5DE （1）求抛物线C的方程； （2）过( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线4x 于点(G Q在PG之 间） ， 直线QF交直线1x 于点H 是否存在这样的直线l， 使得/ /(GHPF F
10、为C的焦点） ？ 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线 2320 xy与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线OR的斜率为1 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点 2 F的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆 22 :2O xy 相交于G，H两点，求 2 | |ABGH的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科）学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科） （1 月份）月份
11、） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“1x ，210 x ”的否定是( ) A1x ，21 0 x B 0 1x ， 0 21 0 x C 0 1x， 0 210 x D 0 1x， 0 21 0 x 【解答】解：由全称命题的否定是特称命题， 可知“1x ，210 x ”的否定为“ 0 1x ， 0 21 0 x “ 故选：B 2 （5 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标是
12、( ) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16，0) 【解答】解：抛物线 2 4yx的标准方程为 2 1 4 xy， 1 8 p ，开口向上，焦点在y轴的正半 轴上， 故焦点坐标为 1 (0,) 16 ， 故选：B 3 （5 分）关于x的方程 1 420 xx m 有正实数解的一个必要不充分条件是( ) A0m B5m C3m D4m 【解答】解：因为 12 42(21)1 xxx m ， 当0 x 时，21 x ， 2 (21)13 x ， 故关于x的方程 1 420 xx m 有正实数解的充要条件是3m ， 所以选项B，C，D都是方程 1 420 xx m 有正
13、实数解的充分条件， 排除选项B，C，D， 故选：A 4 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，直线 22 :3()l yxab与双曲线C仅 有一个公共点，则双曲线C的离心率为( ) 第 7 页（共 20 页） A2 3 B3 C2 D 3 3 2 【解答】解：由题意知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点， 则l与双曲线的一条渐近线平行， 所以3 b a ， 所以 2 1( )132 b e a 故选：C 5 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，已知M是BD的中点，则 1 B M与平面 11 AAD D所成 角的余弦值为( ) A 6
14、 6 B 3 3 C 30 6 D 30 6 【解答】解：以DA，DC， 1 DD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如 图所示： 设正方体的棱长为 2，则 1(2 B，2，2)，(1M，1，0)， 1 ( 1B M ，1，2)， 由DC 平面 11 AAD D，所以(0DC ，2，0)是平面 11 AAD D的一个法向量， 所以 1 B M与平面 11 AAD D所成角的正弦值为 1 222222 1 |0( 1)2( 1)0( 2)|26 sin| 6|26 020( 1)( 1)( 2) DC B M DCB M ， 第 8 页（共 20 页） 所以所求角的余弦值为 2 63
15、0 cos1() 66 故选：D 6 （5 分）若椭圆 22 1(0) 4 xy m m 的离心率为 1 2 ，则实数m等于( ) A3 B1 或 3 C3 或16 3 D1 或16 3 【解答】解：椭圆的方程为： 22 1(0) 4 xy m m ， 若04m，则椭圆的焦点在x轴， 2 41 44 m e ， 解得3m ； 若4m ，则椭圆的焦点在y轴， 2 41 4 m e m ， 解得 16 3 m 综上所述，3m 或 16 3 m 故选：C 7 （5 分）若“(1x ，4， 2 290 xax”是假命题，则实数a的取值范围为( ) A(，3 B3，) C(3,) D5，) 【解答】解：
16、因为“(1x ，4， 22 290 xax”是假命题， 所以“(1x ，4， 2 29 0 xax ”是真命题， 即存在(1x，4，使 9 2a x x 成立 又 99 26xx xx 等号仅当 9 x x ， 即3x 时成立， 所以只要26a， 解得3a 故选：B 8 （5 分）设曲线C的方程为 44 1 164 xy ，给出关于曲线C的性质的结论：曲线C关于坐 标轴对称，也关于坐标原点对称；曲线C上的所有点均在椭圆 22 1 164 xy 内部下面判断 正确的是( ) 第 9 页（共 20 页） A错误正确 B正确错误 C都错误 D都正确 【解答】解：设曲线上点为( , )A x y，则A
17、关于原点对称的点为(,)Bxy， 关于x轴对称的点( ,)C xy，关于y轴对称的点(, )Dx y， 显然B，C，D点都在曲线上，故正确， 在曲线C上，22x 剟，22y剟， 而在椭圆中，44x 剟，22y 剟， 即曲线C在一个48的矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故正确 故选：D 9 （5 分）如图， 1 F， 2 F是双曲线 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 2 F B的中点，且 12 FBF B，则 12 | (FF ) A4 B4 3 C6 D9 【解答】解：因为点A为 2 F B的中点，所以
18、 1 / /OAFB， 又 12 FBF B，所以 2 OAF B， 12 | | |OFOFOB， 所以 21 60AOFAOBBOF ， 所以 3 tan603 a ，所以1a 所以 12 | 2 134FF 故选：A 10 （5 分）以(0,2)M为圆心，4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A，B两点，如图， 点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N， 第 10 页（共 20 页） 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8，12 C8，12) D8，12 【解答】解：圆心(0,2)M也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线2y
19、 交于点H， 根据抛物线的定义，可得| |MNNH， 故PMN的周长| | 4lNHNPMPPH 设点B的坐标为 0 (x， 0) y，则(4,2)B 由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上， 所以|PH的取值范围为(4,8)， 所以PMN的周长的取值范围为(8,12) 故选：A 11 （5 分）以下四个关于双曲线的命题： 设A，B为两个定点，m为正数，若动点P使|PAPBm，则动点P的轨迹是双曲 线； 方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点； 若双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、
20、 右焦点分别为 1 F， 2 F，P为双曲线C上一点， 若 1 5 | 2 PF ， 则 2 1 | 2 PF 或 9 2 第 11 页（共 20 页） 其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于，A，B为两个定点，m为正数，|PAPBm，当|mAB时， 动点P的轨迹是两条射线，故错误； 对于，方程 2 2520 xx的两根为 1 2 和 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正 确； 对于， 双曲线 22 1 259 xy 的焦点坐标为(34,0)， 椭圆 2 2 1 35 x y的焦点坐标为(34,0)， 故正确； 对于，因为132c ，所以 1 3 |acPF，所
21、以点P在双曲线的左支， 所以 21 | 2PFPF，即 2 5 |2 2 PF， 所以 2 9 | 2 PF ，故错误 故正确的命题有 故选：B 12 （5 分）已知椭圆 22 1 43 xy 上存在两个不同的点A，B关于直线0 xym对称，则 实数m的取值范围是( ) A(7, 7) B 3 7 3 7 (,) 77 C 77 , 77 D 77 (,) 77 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 ， 设 直 线AB的 方 程 是yxn， 代 入 椭 圆 方 程 化 简 得 22 784120 xnxn， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，AB的中点是 0 (D x，
22、0) y， 则 22 6428(412)0nn，解得77n， 又 12 8 7 n xx ， 所以 12 0 4 27 xxn x ， 00 3 7 n yxn 因为AB的中点D在直线0 xym上， 所以 43 0 77 nn m，所以7nm， 所以777m， 第 12 页（共 20 页） 解得 77 77 m 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）王安石在游褒禅山记中写道： “世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而 人之所罕至焉，故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观” 的 必要
23、条件 （填“充分” “必要” “充要”中的一个） 【解答】解：因为“非有志者不能至” ，所以“能至是有志者” ， 因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件 故答案为：必要 14 （5 分）双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐 标原点，若| 2|OPOF，则PFO的面积为 2 3 【解答】解：不妨设点P在第一象限，根据题意可知 2 6c ，所以|6OF ， | 2| 2 6OPOF， 又 2 tan 2 b POF a ， 3 sin 3 POF， 所以 13 62 62 3 23 FPO S 故答案为：2 3 15 （5 分）如图，
24、二面角l 为135，A，B，过A，B分别作l的垂线，垂 足分别为C，D，若1AC ，2BD ，2CD ，则AB的长度为 3 【解答】解：因为ABACCDDB，ACCD，CDDB， 所以 222 2 |()21422ABACCDDBACCDDBDB ACAC DB， 又因为二面角l 为135，所以,45AC DB ，所以 2 |72 123 2 AB 故答案为：3 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）已知抛物线 2 :C xay焦点为F，准线方程1y ，直线l与抛物线C交于A， B两点， 连接AF并延长交抛物线C于点D， 若AB中点的纵坐标为| 1AB ， 则当AFB最 大时，|AD
25、16 【解答】解：因为抛物线 2 :C xay的准线方程1y ，所以1 4 a ，所以4a ， 所以抛物线C的方程是 2 4xy 不妨设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (D x， 3) y， 由抛物线定义得 12 2 |yyAFBF 因为 12 | 1 2 yy AB ，所以| 2|AFBFAB， 所以 22222 |3(|)2|6|2|1 cos 2|8|8|2 AFBFABAFBFAFBFAFBFAFBF AFB AFBFAFBFAFBF ，当且仅当| |AFBF时取等号 所以当AFB最大时，AFB为等边三角形，此时A，B关于y轴对称， 不妨设 1 0 x ，
26、消去y，得 2 4 340 xx， 所以 13 4 3xx，所以 1313 3()214yyxx 所以 13 |216ADyy 故答案为：16 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 10 分 ） 已 知p： 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ；q： 函 数 2 ()21( 0 , 1 )fxxm xm x 的最大值不超过 2若pq为真命题，pq为假命题， 求实数m的取值范围 【解答】解：对于p，因为方程 22 1 5 xy mm 对应的图形是双曲线， 所以(5)0m m
27、，解得0m 或5m 所以若p为真命题，则0m 或5m 对于q：当0m时，( )(0)12 max f xfm ，解得1m，所以10m 剟； 当01m时， 2 ( )( )1 2 max f xf mmm ，解得1 515 22 m 剟，所以01m； 当1m时，( )maxf xf（1）2m，所以12m剟 第 14 页（共 20 页） 所以若q为真命题，则12m 剟 若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假 若p真q假，则实数m满足 05 12 mm mm 或 或 ，解得1m 或5m ； 若p假q真，则实数m满足 05 12 m m 剟 ，解得02m剟 综上，实数m的取值范围为(, 1)0
28、 ，2(5,) 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AD 平面ABP，/ /BCAD，90PAB， 2PAAB，3AD ，1BC ，E是PB的中点 （1）证明：PB 平面ADE； （2）求二面角CAED的余弦值 【解答】解： （1）证明：因为AD 平面PAB，PB 平面PAB， 所以ADPB； （2 分） 又PAAB，E是PB的中点， 所以AEPB； （3 分） 又AD，AEADE，且ADAEA， 所以PB 平面ADE （5 分） （2）因为AD 平面PAB，PA平面PAB，AB 平面PAB， 所以ADAB，ADPA； 又因为PAAB， 以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z
29、轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系 Axyz； 第 15 页（共 20 页） 则(0A，0，0)，(2B，0，0)，(2C，1，0)，(1E，0，1)，(0P，0，2)， 所以(2,1,0)AC ，(1,0,1)AE ； （7 分） 设平面AEC的法向量( , , )nx y z， 20 0 n ACxyz n AExz ， 令1x ，则2y ，1z ， 所以(1, 2, 1)n ； （9 分） 又因为PB 平面AED，所以(2,0, 2)PB 是平面ADE的一个法向量， 所以 43 cos, 3| |62 2 n PB n PB nPB （11 分） 由图可知二面角CAED是锐二面角， 所
30、以二面角CAED的余弦值是 3 3 （12 分） 19 （12 分）已知过点(2,1)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近 线的方程是0 xy （1）求双曲线C的方程； （2） 若O是坐标原点， 直线:1l yxk与双曲线C的两支各有一个交点， 且交点分别是A， B，AOB的面积为2，求实数k的值 【解答】解： （1）因为双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程 是0 xy， 所以可设双曲线C的方程是 22 (0)xy ，则 2 (2)1 ，解得1 所以双曲线C的方程是 22 1xy （5 分） （2）1yxk代入 22 1xy， 第 16 页（共 20 页）
31、 消去y整理，得 22 (1)220 xxkk （6 分） 由题意知，解得22k且1 k 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 2 2 1 xx k k ， 12 2 2 1 x x k （8 分） 因为l与双曲线的交点分别在左、 右两支上， 所以 12 0 xx， 所以 2 10k， 所以11 k， 则 12 1 |2 2 OAB Sxx 所以 222 121212 ()()4(2 2)xxxxx x， 即 2 22 28 ()8 11 k kk ， （11 分） 解得0k或 6 2 k，又 6 ( 1,1) 2 ， 所以0k （12 分） 20 （12 分）
32、在三棱柱 111 ABCABC中， 平面 11 ACC A 平面ABC，BAAC， 四边形 11 ACC A 为菱形，且 1 60A AC，E，F分别是棱BC， 1 BB的中点，22ACAB （1）求异面直线 1 AB和EF所成角的余弦值； （2）求 1 C到平面AEF的距离 【解答】解：取AC的中点O，连接 1 AO， 1 AC，OE， 则/ /OEAB，又BAAC，所以OEAC， 由题意知 1 A AC为等边三角形， 又点O为AC的中点，所以 1 AOAC， 因为平面 11 ACC A 平面ABC，平面 11 ACC A平面ABCAC， 1 AO 平面 11 ACC A， 所以 1 AO
33、平面ABC， 又OE 平面ABC， 所以 1 AOOE， 第 17 页（共 20 页） 所以 1 OA，OE，OC两两垂直， 分别以OE，OC， 1 OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图） ， 则 1(0,0, 3) A，(0A，1，0)，(1B，1，0)， 1 ( ,0,0) 2 E， 13 (1,) 22 F， 1(0,2, 3) C， 所以 1 (1, 1,3)AB ， 113 ( ,) 222 EF ， 1 ( ,1,0) 2 AE ， 13 (1,) 22 AF ， 1 (0,3, 3)AC ， （1）设异面直线AB和EF所成角为，则 1 1 1 |1 2 cos |
34、|55 5 2 AB EF ABEF ； （2）设平面AEF的法向量为( , , )nx y z， 则 1 0 2 13 0 22 n AExy n AFxyz ，令1y ，得2x ，3z ， 所以( 2,1, 3)n ， 所以点 1 C到平面AEF的距离 1 |63 2 |22 2 ACn d n 21 （12 分）以抛物线 2 :2(0)C ypx p的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准 线于D，E两点已知| 4 2AB ，| 2 5DE （1）求抛物线C的方程； （2）过( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线4x 于点(G Q在PG之 间） ， 直线QF交直线1x
35、 于点H 是否存在这样的直线l， 使得/ /(GHPF F为C的焦点） ？ 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）设圆的方程为 222 xyr， | 4 2AB ， 可设 0 (,2 2)A x， 代入 2 2ypx得 0 4 x p ， 4 (,2 2)A p ， 代入 222 xyr， 得 222 4 ()(2 2)r p （1 分） | 2 5DE ，抛物线的准线方程为 2 p x ，可设(, 5) 2 p D ， 代入 222 xyr，得 222 ()( 5) 2 p r（2 分） 解得4(4pp 舍去） 抛物线C的方程是 2
36、 8yx （4 分） （2）C的焦点F的坐标(2,0)，显然直线l与坐标轴不垂直， 设直线l的方程为(1)(0)yxkk， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 消去y得 2222 (28)0 xxkkk， （5 分） 由 224 (28)40kk，解得22k，22k且0k 由韦达定理得 2 12 2 82 xx k k ， 12 1x x （6 分） 方法一： 直线QF的方程为 2 2 (2) 2 y yx x ， 又1 H x ，所以 2 2 3 2 H y y x ，所以 2 2 3 ( 1,) 2 y H x ， （7 分） / /GHPF，直线GH与直线PF的斜率相
37、等， 又( 4, 3 )G k， 2 21 1 3 3 2 32 y xy x k ， （8 分） 整理得 12 12 22 yy xx k，即 12 12 (1)(1) 22 xx xx kk k， 化简得 12 12 11 1 22 xx xx ， 1212 1212 2()4 1 2()4 x xxx x xxx ，即 12 7xx， （9 分） 2 2 82 7 k k ， 整理得 2 8 9 k， （11 分） 解得 2 2 3 k经检验， 2 2 3 k符合题意， 这样的直线l存在，且直线l的方程为 2 2 (1) 3 yx或 2 2 (1) 3 yx ， 第 19 页（共 20
38、页） 即 2 22 2 33 yx或 2 22 2 33 yx （12 分） 方法二： / /GHPF， | | PQQF GQQH ， 222 22 2 41 xxx xx ， （9 分） 整理得 1212 ()8x xxx， 2 2 82 7 k k ， （10 分） 整理得 2 8 9 k， （11 分） 解得 2 2 3 k，经检验 2 2 3 k符合题意 这样的直线l存在，且直线l的方程为 2 2 (1) 3 yx或 2 2 (1) 3 yx ， 即 2 22 2 33 yx或 2 22 2 33 yx （12 分） 22 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(
39、0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线 2320 xy与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线OR的斜率为1 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点 2 F的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆 22 :2O xy 相交于G，H两点，求 2 | |ABGH的取值范围 【解答】 解；（1） 在232 0 xy中， 令0y ， 得右焦点 2 F的坐标是(1,0)， 所以 22 1ab （1 分） 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 0 (R x， 0) y，则 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ，两
40、式相减得 2222 1212 22 0 xxyy ab ， 12121212 22 ()()()()xxxxyyyy ab ， 012012 22 2()2()x xxyyy ab ， 又OR的斜率为1，所以 0 0 1 y x ， 所以 2 12 2 12 yyb xxa ，所以 2 2 2 3 b a （3 分） 解得所以椭圆C的方程为 22 1 32 xy （5 分） （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x ， 易求A，B的坐标为 2 3 (1,) 3 ， 2 3 (1,) 3 ，G，H的坐标为(1,1)，(1, 1)， 所以 4 3 | 3 AB ， 2 |4GH， 2 16
41、 3 | | 3 ABGH （6 分） 第 20 页（共 20 页） 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)yxk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 消去y整理得 2222 (23)6360 xxkkk， 则 2 12 2 6 23 xx k k ， 2 12 2 36 23 x x k k ， （7 分） 所以 2222 121212 |(1)()(1)()4ABxxxxx xkk 222 22 222 64(36)4 3(1) (1)() 232323 kkk k kkk （8 分） 因为圆心(0,0)O到直线l的距离 2 1 d k k ， 所以 22 2 22 4(2) |4(2) 11 GH kk kk ， （9 分） 所以 2222 2 222 22 4 4 3(1) 4(2)16 3(2)16 3216 3 3 | |1| 22 2312333 33 ABGH kkkk kkk kk 因为 2 0k，)，所以 2 16 3 | |(,16 3 3 ABGH （11 分） 综上， 2 | |ABGH的取值范围是 16 3 ,16 3 3 （12 分）
