1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知0ab，则下列结论正确的是( ) A1 a b B 22 acbc C 22 ab Dacbc 2 （5 分）2020 是数列 2，4，6，8，的第( )项 A1008 B1009 C1010 D2020 3 （5 分）在
2、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 aaccb，则角B 为( ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 4 （5 分）已知命题 0 :(0,)px， 00 sin0 xx，则p为( ) A(0,)x ，sin0 xx B(0,)x ，sin0 xx C 0 (0,)x， 00 sin0 xx D 0 (0,)x， 00 sin0 xx 5 （5 分） “2x ”是“ 2 2320 xx”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 6 （5 分）设实数x，y满足约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y ，则目标函数3zxy的最小值为(
3、) A5 B6 C7 D10 7 （5 分）已知数列 n a是等比数列，满足 5118 4a aa，数列 n b是等差数列，且 88 ba， 则 79 bb等于( ) A24 B16 C8 D4 8 （5 分）设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足| 4OP ，则 12 PFF的面积为( ) A3 B3 3 C6 D9 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）在ABC中， 2 sin 22 Cab a ，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则ABC的 形状为( ) A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D直角三角
4、形 10 （5 分）已知M是抛物线 2 :C xy上一点，记点M到抛物线C的准线的距离为 1 d，到 直线:3490lxy的距离为 2 d，则 12 dd的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，21 n n S ， nn bna，若对任意*nN，不等 式 1 (5) nn nbb 恒成立，则满足条件的实数的取值范围是( ) A 32 3 B20 C21 D 64 3 12 （5 分） 已知m，n为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在的直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线
5、AB与m所成的角不可能为30； （2）直线AB与m所成角的最大值为90； （3）直线AB与m所成的角为60时，AB与n所成的角为30 其中正确的是( ) A （1） （2） B （2） （3） C （1） （3） D （1） （2） （3） 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1a ，3，2)，(1b ，1，0)，则向量23ab 14 （5 分）已知正实数x，y满足48xy，则 11 xy 的最小值为 15 （5 分）设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
6、 的左、右焦点，过 2 F的直线l交双 曲线C的右支于A、B两点，且 12 0AFAF， 2 2 |1 |2 AF BF ，则双曲线C的离心率为 16 （5 分）在ABC中，点M是边BC的中点，3AM ，2BC ，则2ACAB的最大 值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答题应写文字说明证明过程或演算步骤解答题应写文字说明证明过程或演算步骤. 17（10 分） 已知命题 1 :2px ，2时， 1 a x x 恒成立； 命题q： 关于x的方程 2 0 xaxa 第 3 页（共 18 页） 无实根若命题pq是真命题，求实数a的取值范围 18 （1
7、2 分）设数列 n a是各项为正数的等比数列， 1 a是 2 a和 3 6a的等差中项 （）求数列 n a的公比； （）若 1 1 2 a ，令(1) nn bna，求数列 n b的前n项和 n T 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形， 且3ADPD，3 3PC ， 平面PCD 平面ABCD，点E为线段PC的中点 （）求证：DE 面PBC； （）若点F在线段AB上，且 1 3 AFAB，求二面角CDEF的平面角的正弦值 20 （12 分）由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影 响3 月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐
8、步恢复正常李克强总理在 6 月 1 日考察山 东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火， 和“高大上”一样，是中国的生机某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊” ，经营冷 饮生意已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB，且在该区域内点 R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为4RSm，6RTm，(m 为长度单位） 陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅 的宽度及路灯的粗细忽略不计） ，以供购买冷饮的人休息 （）求点P到点R的距离； （）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小
9、？并求出面积的 最小值 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，点(2,0)P是椭圆C上一点，离心率为 2 2 （）求椭圆C的标准方程； （）已知点(0,3 )Qm，直线:0l xym与椭圆C相交于A，B两点当ABQ面积最 大时，求m的值 22 （12 分）已知二次函数 2 ( )f xaxbxc （）若( )0f x 的解集为 | 12xx ，关于x的不等式 2 4(3 ) 0bxaxcb （）若不等式( ) 2f xaxb对xR恒成立，求 2 22 3 b ac 的最大值 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南
10、省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知0ab，则下列结论正确的是( ) A1 a b B 22 acbc C 22 ab Dacbc 【解答】解：由0ab，可得1 a b ，故A正确； 当0c 时， 22 acbc，故B错误； 由0ab，可得 22 ab，故C错误； 由ab，可
11、得acbc，故D错误 故选：A 2 （5 分）2020 是数列 2，4，6，8，的第( )项 A1008 B1009 C1010 D2020 【解答】解：数列 2，4，6，8，是 等差数列，首项为 2，公差422 设 2020 是数列 2，4，6，8，的第n项， 则202022(1)n，解得1010n 故选：C 3 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 aaccb，则角B 为( ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 【解答】解：在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosbacacB， 又 222 baacc， 所以2cos1B ，即 1 cos 2 B
12、，又(0, )B， 所以 3 B ， 故选：B 4 （5 分）已知命题 0 :(0,)px， 00 sin0 xx，则p为( ) 第 6 页（共 18 页） A(0,)x ，sin0 xx B(0,)x ，sin0 xx C 0 (0,)x， 00 sin0 xx D 0 (0,)x， 00 sin0 xx 【解答】解：命题是特称命题，则其否定是全称命题， 即(0,)x ，sin0 xx ， 故选：A 5 （5 分） “2x ”是“ 2 2320 xx”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【解答】解：由 2 2320 xx，解得 1 2 2 x， 而 1 (
13、2 ，2)(，2)， 故“2x ”是“ 2 2320 xx”的必要不充分条件， 故选：B 6 （5 分）设实数x，y满足约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y ，则目标函数3zxy的最小值为( ) A5 B6 C7 D10 【解答】解：画出约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y 表示的平面区域， 如阴影部分所示： 第 7 页（共 18 页） 目标函数3zxy可化为 11 33 yxz ， 平移目标函数知，当直线 11 33 yxz 经过点A时，直线 11 33 yxz 的截距最小， 此时z最小 由 250 20 xy xy ，解得(3,1)A， 代入目标函数得33 16
14、z 即3zxy的最小值为 6 故选：B 7 （5 分）已知数列 n a是等比数列，满足 5118 4a aa，数列 n b是等差数列，且 88 ba， 则 79 bb等于( ) A24 B16 C8 D4 【解答】解：等比数列 n a中， 2 51188 4a aaa， 8 4a， 88 ab， 8 4b， 等差数列 n b中， 798 28bbb 故选：C 8 （5 分）设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足| 4OP ，则 12 PFF的面积为( ) A3 B3 3 C6 D9 【 解 答 】 解 ： 由 椭 圆 的
15、方 程 可 得 ： 2 25a ， 2 9b ， 所 以5a ， 22 12 | 2104PFacab， 则 12 | 28FFc，又| 4OP ，所以 12 1 | 2 OPFF， 由直角三角形的性质可得三角形 12 PFF是以P为直角顶点的直角三角形， 所以 2222 1212 |464PFPFFFc， 又 12 | 210PFPFa，则 12 | 18PFPF ， 第 8 页（共 18 页） 所以三角形 12 PFF的面积为 12 11 |189 22 SPFPF， 故选：D 9 （5 分）在ABC中， 2 sin 22 Cab a ，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则ABC的 形状
16、为( ) A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 【解答】解：在ABC中， 2 sin 22 Cab a ，整理得1 cos 22 Cab a ， 化简得：cosaCb， 由余弦定理得： 222 2 abc ab ab ， 整理得 222 bca， 故ABC为直角三角形， 故选：D 10 （5 分）已知M是抛物线 2 :C xy上一点，记点M到抛物线C的准线的距离为 1 d，到 直线:3490lxy的距离为 2 d，则 12 dd的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：由抛物线的方程可得点 1 (0, ) 4 F， 由抛物线的定义可知 1 |MFd， 所以 1
17、22 |ddMFd，其最小值为点F到直线3490 xy的距离， 点F到直线3490 xyd的距离为 22 1 |049| 4 2 34 d ， 所以 12 2ddd，即 12 dd的最小值为 2， 故选：B 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，21 n n S ， nn bna，若对任意*nN，不等 式 1 (5) nn nbb 恒成立，则满足条件的实数的取值范围是( ) A 32 3 B20 C21 D 64 3 【解答】解：因为21 n n S ， 第 9 页（共 18 页） 当1n 时， 1 11 211aS ， 当2n时， 11 1 (21)(21)2 nnn nnn
18、 aSS ， 当1n 时也适合上式， 所以 1 2n n a ， 故 1 2n nn bnan ， 所以不等式 1 (5) nn nbb 对任意*nN恒成立， 即 1 (5)(1) 22 nn nnn 对任意*nN恒成立， 等价于 2 655 22(6) nn n bn 对任意*nN恒成立， 令 5 ( )(0)f xxx x ，则 2 22 55 ( )1 x fx xx ， 令( )0fx，解得5x ， 所以( )f x在(0, 5)上单调递减，在( 5，)上单调递增， 因为253， 又f（2） 9 2 ，f（3） 14 3 ， 所以 5 n n 的最小值为 9 2 ， 故 9 2(6)2
19、1 2 故选：C 12 （5 分） 已知m，n为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在的直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线AB与m所成的角不可能为30； （2）直线AB与m所成角的最大值为90； （3）直线AB与m所成的角为60时，AB与n所成的角为30 其中正确的是( ) A （1） （2） B （2） （3） C （1） （3） D （1） （2） （3） 【解答】 解： 把直线m和直线n都平移到过A点， 建立空间直角坐标系如图， 直线m即x轴， 直线n即y轴， 第 10 页（共 18 页） AC所在直线即z轴，斜边AB
20、以直线AC为旋转轴旋转，B点轨迹为圆，设ACBCa， AP与x轴正向成角为， 与y轴正向成角为，与z轴正向成角为45，斜边AB在xoy平投影与x轴正向成角为 ， 则有， 22222222 1 coscoscos1coscoscos 451coscos 2 x轴正向单位向量(1，0，0)，y轴正向单位向量(0，1，0)，z轴正向单位向量(0，0，1)， ( cosAPa，sina，)a， 222 coscos cos 2 1( cos )( sin ) a aaa ，同理， sin cos 2 ，所以有 对于（1） ，假设直线AB与m所成角为30，即30， 2 3 cos 4 ，与 22 1 c
21、oscos 2 矛盾，所以（1）对； 对于（2） ，当 cos cos0 2 时，即 2 时，直线AB与m所成角的最大值为90，所以 （2）对； 对于 （3） ， 假设直线AB与m所成的角为60时，AB与n所成的角为30， 即60，30， 22 coscos1，与 22 1 coscos 2 矛盾，所以（3）错； 故选：A 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1a ，3，2)，(1b ，1，0)，则向量23ab (5，3，4) 【解答】解：因为向量(1a ，3，2)，(1b ，1，0)， 所以
22、232(1ab，3，2)3(1，1，0)(5，3，4) 第 11 页（共 18 页） 故答案为：(5，3，4) 14 （5 分）已知正实数x，y满足48xy，则 11 xy 的最小值为 9 8 【解答】解：已知正实数x，y满足48xy，则1 28 xy ， 则 1111115519 ()()2 282828828828 xyxyxy xyxyyxyx 当且仅当 28 xy yx ，即 4 3 x ， 8 3 y 时取等号； 所以 11 xy 的最小值为 9 8 故答案为： 9 8 15 （5 分）设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2
23、 F的直线l交双 曲线C的右支于A、B两点， 且 12 0AFAF， 2 2 |1 |2 AF BF ， 则双曲线C的离心率为 17 3 【解答】解：由题意，设 2 |AFm， 2 2 |1 |2 AF BF ，则 2 | 2BFm， 1 | 2AFam， 1 | 22BFam， 21 AFAF， 222 (22 )(2)(3 )amamm， 2 3 ma， 222 (2 )(2)( )camm， 17 3 c e a 故答案为： 17 3 16 （5 分）在ABC中，点M是边BC的中点，3AM ，2BC ，则2ACAB的最大 值为 2 10 【解答】解：ABC中，点M是边BC的中点，3AM
24、，2BC ，如图所示 1； 第 12 页（共 18 页） 设AMB，ABx，ACy，则AMC， 所以 2 3 12 13cos42 3cosx ； 2 312 13cos()42 3cosy ； 所以 22 8xy 设目标函数2zxy， 由 22 8 2 xy zxy ，消去x，整理得 22 5480yyzz； 由 22 ( 4 )20(8) 0zz ， 解得 2 40z ， 即2 102 10z剟， 所以2ACAB的最大值为2 10 故答案为：2 10 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答题应写文字说明证明过程或演算步骤解答题应写文字说明证明过
25、程或演算步骤. 17（10 分） 已知命题 1 :2px ，2时， 1 a x x 恒成立； 命题q： 关于x的方程 2 0 xaxa 无实根若命题pq是真命题，求实数a的取值范围 【解答】解：命题:p 命题 1 :2px ，2时， 1 a x x 恒成立； 若p真，则 1 ()maxax x 因为 1 2 x，2，所以 15 2 x x ， 当且仅当2x 或 1 2 时等号成立，所以 5 2 a； 命题q：关于x的方程 2 0 xaxa无实根 第 13 页（共 18 页） 若q真，则 2 40aa，即04a 因为命题pq是真命题，所以p，q都是真命题， 所以 5 4 2 a 实数a的取值范围
26、为 5 |4 2 aa 18 （12 分）设数列 n a是各项为正数的等比数列， 1 a是 2 a和 3 6a的等差中项 （）求数列 n a的公比； （）若 1 1 2 a ，令(1) nn bna，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）由题意，设正项等比数列数列 n a的公比为(0)q q ， 则 21 aa q， 2 31 aa q， 1 a是 2 a和 3 6a的等差中项， 123 26aaa，即 2 111 26aa qa q， 化简整理，得 2 1(6 2)0aqq， 1 0a ， 2 620qq， 解得 2 3 q （舍去） ，或 1 2 q ， 1 2 q （）由题
27、意及（） ，可得 1 111 ( )( ) 222 nn n a ， 1 (1)(1) ( ) 2 n nn bnan， 123 123 1111 2 ( )3 ( )4 ( )(1) ( ) 2222 n nn Tbbbbn ， 231 11111 2 ( )3 ( )( )(1) ( ) 22222 nn n Tnn ， 两式相减，可得： 1231 111111 2 ( )( )( )( )(1) ( ) 222222 nn n Tn 21 1 11 ( )( ) 1 22 1(1) ( ) 1 2 1 2 n n n 第 14 页（共 18 页） 1 33 22n n ， 3 3 2 n
28、 n n T 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形， 且3ADPD，3 3PC ， 平面PCD 平面ABCD，点E为线段PC的中点 （）求证：DE 面PBC； （）若点F在线段AB上，且 1 3 AFAB，求二面角CDEF的平面角的正弦值 【解答】解： （）证明：PDADDC，E为PC中点， DEPC， 平面PCD 平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，BCCD， BC平面PCD， DE 平面PCD， BCDE， PCBCC，PC 平面PBC，BC 平面PBC， DE面PBC； （）由于平面PCD 平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，在平面PCD内，
29、过点 D作DC的垂线DZ， 则DZ 平面ABCD，如图，以DA为x轴，DC为y轴，DZ为z轴建立空间直角坐标系， 则 3 3 3 (3,1,0),(0,),(0,3,0),(0,0,0) 44 FECD， 3 3 3 (0,3,0),(0,),(3,1,0) 44 DCDEDF， 设平面DCE的法向量为( , , )mx y z，则 30 33 3 0 44 m DCy m DEyz ，则可取(1,0,0)m ， 同理可得平面DEF的法向量为(1, 3, 3)n ， 第 15 页（共 18 页） 1 cos, |13 m n m n m n ， 设二面角CDEF的平面角为，则 12 39 si
30、n1 1313 20 （12 分）由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影 响3 月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常李克强总理在 6 月 1 日考察山 东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火， 和“高大上”一样，是中国的生机某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊” ，经营冷 饮生意已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB，且在该区域内点 R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为4RSm，6RTm，(m 为长度单位） 陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，P
31、B上，长椅 的宽度及路灯的粗细忽略不计） ，以供购买冷饮的人休息 （）求点P到点R的距离； （）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的 最小值 【解答】解： （1）连接ST， 在RST中，18060SRTAPB， 由余弦定理知， 22222 2cos4624 6cos6028STRSRTRS RTSRT ， 2 7ST， 第 16 页（共 18 页） 222 2836162 7 cos 2722 76 STRTRS STR ST RT ， 2 7 sincos 7 PTSSTR， 在PST中，由正弦定理知， sinsin SPST PTSAPB ，即 2 7
32、 sin1202 7 7 SP ， 8 3 3 SP， 连接RP，在Rt SPR中， 22222 8 3112 4() 33 PRRSSP， 4 21 3 PR， 故点P到点R的距离为 4 21 3 m （2）由正弦面积公式知， 13 | |sin120| | 24 PMN SPMPNPMPN ， 1111 | | | 4| 62| 3| 2222 PMNPRMPRN SSSPMRSPNRTPMPNPMPN ， 3 | | 2| 3|2 6| | 4 PMPNPMPNPMPN， | | 128PMPN， 当且仅当2| 3|PMPN， 即| 8 3PM ， 16 3 | 3 PN 时， 等号成立
33、， 此时 33 | |12832 3 44 PMN SPMPN ， 故当PM等于8 3m时，该三角形PMN区域面积最小，面积的最小值为 2 32 3m 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，点(2,0)P是椭圆C上一点，离心率为 2 2 （）求椭圆C的标准方程； （）已知点(0,3 )Qm，直线:0l xym与椭圆C相交于A，B两点当ABQ面积最 大时，求m的值 【解答】解： （）根据题意可得2a ， 因为 2 2 c e a ，所以2c ， 第 17 页（共 18 页） 所以 222 2bac， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy （）联立 22 0
34、1 42 xym xy ，得 22 34240 xmxm， 22 (4 )12(24)0mm， 解得66m， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由韦达定理可得 12 4 3 m xx ， 2 12 24 3 m x x ， 2 22 4244 |2 ()46 333 mm ABm ， (0,3 )Qm到直线:0l xym的距离 2| 2 m d ， 所以 22 222 11422 22 2 6 |6|(6)2 2 2233322 ABQ mm SABdmmm m ， 当且仅当 22 6mm，即3m 时，取等号， 所以当ABQ面积最大时，m的值为3 22 （12 分）已
35、知二次函数 2 ( )f xaxbxc （）若( )0f x 的解集为 | 12xx ，关于x的不等式 2 4(3 ) 0bxaxcb （）若不等式( ) 2f xaxb对xR恒成立，求 2 22 3 b ac 的最大值 【解答】解： （）由题意可得： 0 12 1 2 a b a c a ，即 0 1 2 a b a c a 所以 2 4(3 ) 0bxaxcb等价于 2 3 4() 0 bcb xx aaa ， 即 2 45 0 xx ，解得：15x 剟， 所以不等式 2 4(3 ) 0bxaxcb的解集为 | 15xx 剟； 第 18 页（共 18 页） （）不等式( ) 2f xaxb对xR恒成立，即 2 (2 )0axba xcb 恒成立， 所以 2 0 (2 )4 () 0 a baa cb ，即 22 0 44 a baca ， 所以 22 22222 2 1 44 4 33 3 c baca a cacac a ， 令1 c t a ，则1 c t a ， 因为 22 44baca，所以 2 0aca，即1,0 c t a 厖， 令 22 2 1 442 4 4 243 2 3 c t a y ctt t t a ，当且仅当2t ，即3 c a 时取最大值， 所以 2 22 3 b ac 的最大值为 2 3
