1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合 |0Ax lnx， | 11Bxx 剟，则( ) AAB BBA CAB DABB 2 （5 分）二次函数 2 2yx的图象向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所 得图象对应的函数表达式为( ) A 2 2(1)2yx
2、B 2 2(1)2yx C 2 2(1)2yx D 2 2(1)2yx 3 （5 分）若函数( )23f xlnxx，则( )f x的零点所在区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 4 （5 分）过点(1,2)且与直线210 xy 垂直的直线方程为( ) A230 xy B250 xy C230 xy D240 xy 5 （5 分）下列函数中是奇函数的是( ) A 2 2 1 log log yx x B 1 2 2 x x y C 1 yx x D 2 2 1 yx x 6 （5 分）设2alg，3blg，则 3 log 18( ) A 2 1 a b B 2
3、1 b a C2 a b D2 b a 7 （5 分）已知 1.2 2a ， 4 log 1.2b ， 2 log 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 8 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某一几何体的三视图， 则该几何体的体积为( ) 第 2 页（共 17 页） A328 B3212 C168 D1612 9 （5 分）某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 500 元，不享受任何 折扣；如果顾客购物的总金额超过 500 元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折 扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠
4、金额 折扣率 不超过 400 元的部分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元，则此人购物实际所付金额为( ) A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 10 （5 分）函数 | 1 ( ) lnx f xxe x 的单调递增区间为( ) A(0,) B(0, ) e C(1,) D(0,1) 11 （5 分）函数 2 ( )|f xxln x的图象大致是( ) A B 第 3 页（共 17 页） C D 12 （ 5 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 两 个 圆 22 1:( )(1)4Cxay， 22
5、2:( 1)()2Cxya相交于A，B两点，若| |OAOB，则实数a的值为( ) A0 B1 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）若直线 1: 420laxy与 2: 10lxaya 平行，则实数a的值为 14 （5 分）已知集合 2 |20Ax xaxa，0B ，1，若 1 AB ，则实数a的取 值范围是 15 （5 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为 鳖臑如图，三棱锥PABC为鳖臑，且PA 平面ABC，1ACBC，2PA ，则该 鳖臑外接球的表面积为 1
6、6（5 分） 某种热饮需用开水冲泡， 其基本操作流程如下： 先将水加热到100 C ， 水温( C)y 与时间()t min近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温( C)y 与 时间()t min近似满足函数的关系式为 10 1 80( )( 2 t a yb a ，b为常数） ， 通常这种热饮在40 C 时 口感最佳，某天室温为20 C ，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热 饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 m i n 第 4 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明
7、过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设全集UR，已知集合 1 |2 2 x Axa 剟， 22 1 |loglog 4 2 Bxx （）当2a 时，求() RA B； （）若ABA，求实数a的取值范围 18如图所示，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ACBCAA，90ACB，D是AB的 中点 （）求证：直线 1/ / AC平面 1 BCD； （）设O为线段 1 AC上的动点，求三棱锥 1 OBCD的体积 19如图所示，已知圆 222 :(0)O xyrr与直线2 20 xy相切 （）求r的值 （） 直线: l yxmk与圆O相交于P，Q两点， 若在圆O上存在
8、一点R， 使四边形OPRQ 为平行四边形，求实数m的取值范围 第 5 页（共 17 页） 20某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和 y满足二次函数 2 yaxc，且第一年付出的各种维护费用为 3 万元，第二年付出的各种维 护费用为 9 万元，龙虾养殖基地每年收入 90 万元 （）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ （）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： 年平均利润最大时，以 138 万元出售该龙虾养殖基地； 纯利润总和最大时，以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方
9、案？ 21设函数( )log ()(0 x a f xab a且1a ，)bR，已知f（1）0，(log 5)2 a f （）求( )f x的单调区间； （）是否存在实数，使得( )f x在区间m，n上的值域是2m，2n？若存在， 请求出的取值范围；若不存在，请说明理由 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，当0 x时， 2 ( )21f xxx （）求( )f x的解析式； （）讨论函数( )( )()g xf xm mR的零点个数 23已知函数 2
10、( )()1f xlgxlgx （）求( )f x的最小值，并求此时x的值； （）若a，b分别是( )f x的两个零点，求loglog ab ba的值 第 6 页（共 17 页） 2020-2021 学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合 |0Ax lnx， | 11Bxx 剟，则( )
11、 AAB BBA CAB DABB 【解答】解：0lnx，01x ，解得A集合为 |0 |01Ax lnxxx剟， 因为 | 11Bxx 剟， 由集合的关系可得A是B集合的真子集， 故选：A 2 （5 分）二次函数 2 2yx的图象向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所 得图象对应的函数表达式为( ) A 2 2(1)2yx B 2 2(1)2yx C 2 2(1)2yx D 2 2(1)2yx 【解答】解：向上平移 2 个单位长度得 2 22yx，再向右平移一个单位长度得 2 2(1)2yx， 故选：B 3 （5 分）若函数( )23f xlnxx，则( )f x的零点所在
12、区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 【解答】解：函数( )23f xlnxx，在0 x 时是连续增函数， 因为f（1）2310 ，f（2）243210lnln ， 所以f（1）f（2）0，由零点判定定理可知，函数的零点在(1,2) 故选：B 4 （5 分）过点(1,2)且与直线210 xy 垂直的直线方程为( ) A230 xy B250 xy C230 xy D240 xy 【解答】解：因为直线210 xy 的斜率为 1 2 ， 又所求直线与直线210 xy 垂直， 所以所求直线的斜率为2， 第 7 页（共 17 页） 故所求直线方程为22(1)yx ，即2
13、40 xy 故选：D 5 （5 分）下列函数中是奇函数的是( ) A 2 2 1 log log yx x B 1 2 2 x x y C 1 yx x D 2 2 1 yx x 【解答】解：根据题意，依次判断选项： 对于A， 2 2 1 log log yx x ，其定义域为(0,)，是非奇非偶函数，不符合题意， 对于B， 1 2 2 x x y ，其定义域为R，有 () 11 ()22( ) 22 xx xx fxf x ，是偶函数，不 符合题意， 对于C， 1 yx x ，其定义域为 |0 x x ，有 1 ()()( )fxxf x x ，是奇函数，符合 题意， 对于D， 2 2 1
14、yx x ，其定义域为 |0 x x ，有 2 2 1 ()( )fxxf x x ，是偶函数，不符 合题意， 故选：C 6 （5 分）设2alg，3blg，则 3 log 18( ) A 2 1 a b B 2 1 b a C2 a b D2 b a 【解答】解： 2 3 18232 log 182 33 lglglgaba lglgbb 故选：C 7 （5 分）已知 1.2 2a ， 4 log 1.2b ， 2 log 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 【解答】解： 1.20 221， 4422 log 1.2log 1.44log 1.
15、2log 21， bca 故选：D 8 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某一几何体的三视图， 则该几何体的体积为( ) 第 8 页（共 17 页） A328 B3212 C168 D1612 【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面边长为 4，高为 2 的正四棱柱， 上部分是底面直径为 4，高为 2 的圆柱， 2 44222328V ， 故选：A 9 （5 分）某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 500 元，不享受任何 折扣；如果顾客购物的总金额超过 500 元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折 扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠
16、金额 折扣率 不超过 400 元的部分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元，则此人购物实际所付金额为( ) A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 【解答】解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元， 由题意知 0,&0500 0.1(500),&500900 0.2(900)40,&900 x xx xx ， 6040， 900 x， 由0.2(900)4060 x， 得0.2(900)20 x， 得900100 x ， 第 9 页（共 17 页） 即1000 x ， 故此时购物实际所付金额为100060940元，
17、 故选：A 10 （5 分）函数 | 1 ( ) lnx f xxe x 的单调递增区间为( ) A(0,) B(0, ) e C(1,) D(0,1) 【解答】解：当1x时， 1 ( )f x x ； 当01x时，( )f xx 即 ,01 ( ) 1 ,1 xx f x x x ， 画出函数( )f x的图象，知( )f x在(0,1)上单调递增， 故选：D 11 （5 分）函数 2 ( )|f xxln x的图象大致是( ) A B 第 10 页（共 17 页） C D 【解答】解：函数( )f x是偶函数，排除B 当0 x 时， 2 ( )f xxlnx在(0,)上单调递增，排除A 又
18、f（1）10 ，排除D， 故选：C 12 （ 5 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 两 个 圆 22 1:( )(1)4Cxay， 22 2:( 1)()2Cxya相交于A，B两点，若| |OAOB，则实数a的值为( ) A0 B1 C2 D1 【解答】解：根据题意，圆 22 1:( )(1)4Cxay，圆心为( ,1)a， 22 2:( 1)()2Cxya，圆心为(1, )a， 两个圆 1 C和 2 C相交于A，B两点，则线段 12 C C的垂直平分线为AB， 又由| |OAOB，则O也在线段 12 C C的垂直平分线上，则O、 1 C、 2 C三点共线， 则有 1
19、00 010 a a ，则有 2 1a ，解得1a 或1a 当1a 时，两圆内含，没有公共点， 故1a ， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）若直线 1: 420laxy与 2: 10lxaya 平行，则实数a的值为 2 【解答】解：因为直线 1: 420laxy与 2: 10lxaya 平行， 所以 2 1 40 4(1)( 2)0 a aa ，解得2a 故答案为：2 第 11 页（共 17 页） 14 （5 分）已知集合 2 |20Ax xaxa，0B ，1，若 1 AB ，则实数a的取 值范
20、围是 1 2,) 2 【解答】解：集合 2 |20Ax xaxa，0B ，1，若1AB ， 依题意得1A，0A， 210 2 0 a a ，解得 1 2 2 a ， 即实数a的取值范围是 1 2,) 2 故答案为： 2， 1) 2 15 （5 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为 鳖臑如图，三棱锥PABC为鳖臑，且PA 平面ABC，1ACBC，2PA ，则该 鳖臑外接球的表面积为 4 【解答】解：PA 平面ABC，AB，BC 平面ABC，ABPA，BCPA， 又ABC是直角三角形，1ACBC，BCAC，又PAACA， PA，AC 平面PAC，BC平面PAC，
21、又PC 平面PAC，BCPC， 该鳖臑外接球的球心为PB的中点，则 2222 (2 )RPAACBC， 2 41 124R ， 该鳖臑外接球的表面积为 2 44R 故答案为：4 16（5 分） 某种热饮需用开水冲泡， 其基本操作流程如下： 先将水加热到100 C ， 水温( C)y 与时间()t min近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温( C)y 与 第 12 页（共 17 页） 时间()t min近似满足函数的关系式为 10 1 80( )( 2 t a yb a ，b为常数） ， 通常这种热饮在40 C 时 口感最佳，某天室温为20 C ，冲泡热饮的部分数据如图所示
22、，那么按上述流程冲泡一杯热 饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 25 min 【解答】解：依题意，当0t 时，20y ，当2.5t 时，60y ， 水加热到100 C ，水温( C)y 与时间()t min近似满足一次函数关系为1620yt 又当5t 时，100y ，当15t 时，60y ， 5 10 15 10 1 10080( ) 2 1 6080( ) 2 a a b b ，解得5a ，20b ， 5 10 1 80( )20(5) 2 t yt ，令40y ，解得25t 故答案为：25 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明
23、、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设全集UR，已知集合 1 |2 2 x Axa 剟， 22 1 |loglog 4 2 Bxx （）当2a 时，求() RA B； （）若ABA，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当2a 时， 1 |222 | 11 x Axxx 剟剟， | 12Bxx ， |1 RA x x 或1x ，()(1 RA B ，2； （）ABA，BA， 2 | 1logAxxa 剟， 2 log2a，解得4a， 实数a的取值范围是4，) 第 13 页（共 17 页） 18如图所示，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ACBCAA，9
24、0ACB，D是AB的 中点 （）求证：直线 1/ / AC平面 1 BCD； （）设O为线段 1 AC上的动点，求三棱锥 1 OBCD的体积 【解答】解： （）证明：连接 1 BC交 1 BC于E，连接DE， 四边形 11 BBC C为正方形，E为 1 BC的中点， 又D是AB的中点，在 1 ABC中， 1/ / ACDE， 又 1 AC 平面 1 BCD，DE 平面 1 BCD， 直线 1/ / AC平面 1 BCD （） 1/ / AC平面 1 BCD， 111 O B CDA B CDBACD VVV ， 三棱锥 1 OBCD的体积为： 11 1 1112 2 1 2 3323 O B
25、CDBACDACD VVSBB ， 三棱锥 1 OBCD的体积 1 2 3 O B CD V 19如图所示，已知圆 222 :(0)O xyrr与直线2 20 xy相切 （）求r的值 第 14 页（共 17 页） （） 直线: l yxmk与圆O相交于P，Q两点， 若在圆O上存在一点R， 使四边形OPRQ 为平行四边形，求实数m的取值范围 【解答】解： （）圆心O到直线2 20 xy的距离为 22 |002 2 | 2 11 d ， 直线2 20 xy与圆O相切，2r （）设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，联立方程组 22 4 yxm xy k ， 消去y得 222 (
26、1)240 xmxmkk， 12 2 2 1 m xx k k ， 1212 2 2 ()2 1 m yyxxm k k ， 四边形OPRQ为平行四边形，线段PQ的中点即为线段OR的中点， R点的坐标为 12 (xx， 12) yy， 即 22 22 (,) 11 mm R k kk ， 由点R在圆O上， 22 22 22 ()()4 11 mm k kk ，整理得 22 1m k， 此时 2222222 44(1)(4)4(44)12(1)0mmmkkkk， 2 1m，即1m或1m，即m的取值范围为(，11，) 20某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费
27、用之和 y满足二次函数 2 yaxc，且第一年付出的各种维护费用为 3 万元，第二年付出的各种维 护费用为 9 万元，龙虾养殖基地每年收入 90 万元 （）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ （）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： 第 15 页（共 17 页） 年平均利润最大时，以 138 万元出售该龙虾养殖基地； 纯利润总和最大时，以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方案？ 【解答】解： （）由已知得，当1x 时，3y ；当2x 时，12y ， 即 3 412 ac ac ，解得3a ，0c ， 2 3yx
28、 又投资 243 万元，x年收入共90 x万元， 第x年获得纯利润为 2* 903243()yxxxN， 令0y ，即 2 9032430 xx， 2 30810 xx， 解得 * 327()xxN，从第 4 年开始获得纯利润 （）方案：年平均利润 2 2 902433819 903()363() xx txx xxx ， 当 9 x x ，即9x 时，t取最大值 36 年平均利润最大时，以 138 万元出售该基地共获利润369138462（万元） 方案：纯利润总和 22* 9032433(15)432()yxxxnN ， 当15x 时，纯利润总和最大，为 432 万元， 纯利润总和最大时，以
29、 30 万元出售该基地共获利润43230462（万元） ， 两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案 21设函数( )log ()(0 x a f xab a且1a ，)bR，已知f（1）0，(log 5)2 a f （）求( )f x的单调区间； （）是否存在实数，使得( )f x在区间m，n上的值域是2m，2n？若存在， 请求出的取值范围；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）对于函数( )log ()(0 x a f xab a且1a ，)bR， 由f（1）0，得log ()0 a ab，即1ab， 由(log 5)2 a f，得log (5)2 a b，即 2 5ba， 2
30、60aa，解得2a ，1b ， 2 ( )log (21) x f x ， 第 16 页（共 17 页） 210 x ，0 x，故( )f x的定义域为(0,)， ( )f x在区间(0,)上单调递增，故( )f x的单调区间为(0,) （）假设存在实数，0nm， 由（）知( )f x在(0,)单调递增， 2 2 log (21)2 log (21)2 m n m n ，即 2 2 222(2 ) 222(2 ) mm nn ， 令 1 2mt ， 2 2nt ， 01 2 (tt ， 2 1)t ， 即 1 t， 2 t为方程 2 00 0tt tt的两不等实数根且 1 t， 2 1t ，
31、令 2 00 ( )g ttt tt，则 2 00 0 40 1 2 (1)0 tt t g ， 解得 0 4t 即24 ，2， 故存在实数符合条件，的取值范围是(2,) 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，当0 x时， 2 ( )21f xxx （）求( )f x的解析式； （）讨论函数( )( )()g xf xm mR的零点个数 【解答】解： （）当0 x 时，0 x ， 22 ()()2()121fxxxxx ， ( )f x是R上的偶函数，
32、2 ( )21f xxx， 2 2 21,0 ( ) 21,0 xxx f x xxx （）函数( )f x的图象如图所示 当0m 时，( )g x没有零点 当0m 或1m 时，( )g x有 2 个零点， 当01m时，( )g x有 4 个零点， 当1m 时，( )g x有 3 个零点 第 17 页（共 17 页） 23已知函数 2 ( )()1f xlgxlgx （）求( )f x的最小值，并求此时x的值； （）若a，b分别是( )f x的两个零点，求loglog ab ba的值 【解答】解： （）令tlgx，tR，则 2 15 ( )() 24 g tt， 当 1 2 t 时， 5 ( ) 4 min g t ，即当10 x 时， 5 ( ) 4 min f x （）依题意，得lga，lgb是方程 2 10tt 的两个实数根， 由韦达定理，得1lgalgb，1lga lgb ， 原式 2 ()2lgblgalgalgblgalgb lgalgblgalgb 2 12( 1) 3 1
