2020-2021学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 25 页） 2020-2021 学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |6 0AxR xx ，集合|(1)0BxR lg x，则 ()( RA B ) A( 1,2) B(1,2) C( 3,2) D( 3,1) 2 （5 分） 2 1sin70 ( 22sin 10 ) A2 B1 C1

2、D 1 2 3 （5 分） “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是( ) A2a B2a C2a D2a 4 （5 分）莱茵德纸草书(Rhind)Papyrus是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把 93 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为( ) A3 B4 C8 D9 5（5 分）已知双曲线 22 22 :1(0) cossin2 xy 的焦点到渐近线的距离等于 1 2 ，则( ) A 3 B 4 C 6 D 12 6 （5 分）已知函数( )f x的部分图象如图所示，则( )f x可

3、能为( ) A cos1 ( ) 22 xx x f x B cossin ( ) 22 xx xxx f x C cossin ( ) 22 xx xxx f x D cossin ( ) 22 xx xxx f x 7 （5 分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) 第 2 页（共 25 页） A若l，则l B若/ /l，/ /，则l C若/ /l，则l D若l，/ /，则l 8 （5 分）某种芯片的良品率X服从正态分布(0.95N， 2 0.01 )，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过 96%，

4、每张芯片奖励 100 元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励 200 元则每张芯片获得奖励的数学期望为( )元附：随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，()0.6826P， (22 )0.9544P，(33 )0.9974P A52.28 B65.87 C50.13 D131.74 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得了分，有选错的得分，部分选对的得了分，

5、有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知向量1,| 1,|3a baab，设, a b所成的角为，则( ) A| 2b B()aba C/ /ab D60 10（5分）定义在R上的函数( )f x满足：x为整数时，( )2021f x ；x不为整数时，( )0f x ，则( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是偶函数 CxR ，( ( )2021f f x D( )f x的最小正周期为 1 11 （5 分）已知函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离, ( )1 26 f ，下列结论正确的是( ) A( )sin(2) 6 f xx B将函数

6、( )yf x的图象向右平移 6 个单位后得到函数sin2yx的图象 C当(0,) 2 x 时，( )f x有且只有一个零点 D( )f x在0, 6 上单调递增第 3 页（共 25 页） 12 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为2 3的等边三角形，侧棱长为4 3，则( ) A直线 1 AC与直线 1 BB之间距离的最大值为 3 B若 1 A在底面ABC上的投影恰为ABC的中心，则直线 1 A A与底面所成角为60 C若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB与 1 AC所成的角为30 D若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64 三、填空题：本题共三、填空

7、题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 1 zi i ，则| | z 14 （5 分）若二项式 * (12 ) () n xnN的展开式中所有项的系数和为 243，则该二项式展开式中含有 3 x的系数为 15（5 分）设函数( )(1) x f xex的图象在点(0,1)处的切线为yaxb，若方程| x abm 有两个不等实根，则实数m的取值范围是 16 （5 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 2 5 (0,), ( 3,0) 5 QL，圆Q过坐标原点O，圆L与圆Q外切则：（1）圆L的半径等于；

8、（2）已知过点L和抛物线 2 2(0)xpy p焦点的直线与抛物线交于A，B，且3O AO B ，则p 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 2 42 nnn Saa， 1 2a ， 1 2 nn naS 这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答第 4 页（共 25 页）已知正项数列 n a的前n项和为 n S，_ （1）求数列 n a的通项公式；（2）若数列 n b满足 1 3 1 log1 2 nn ba，且 nnn ca b，求数

9、列 n c的前n项和 n M 18 （12 分）在如图所示的平面图形中，2AB ，3, 6 BCABCAEC ，AE与BC 交于点F，若CAE，(0,) 3 （1）用表示AE，AF；（2）求 AE AF 取最大值时的值 19 （12 分）如图，在直角梯形ABED中，/ /BEAD，DEAD，BCAD，4AB ， 2 3BE 矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC 平面BCDE （1）若BCBE，证明：平面ABD 平面ACE；（2）当三棱锥ABCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分）魔方(Rubi s k)Cube，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙

10、利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克(Rubik?)Ern教授于 1974 年发明的魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333 的正方体结构，由 26 个色块组成常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原截至 2020 年，三阶魔方还原官方世界第 5 页（共 25 页）纪录是由中国的杜宇生在 2018 年 11 月 24 日于芜湖赛打破的纪录，单次 3.475 秒（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒)与训练天数x（天)有关，经统计得

11、到如下数据： x（天) 1 2 3 4 5 6 7 y（秒 ) 99 99 45 32 30 24 21 现用 b ya x 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1)？参考数据（其中 1 ): i i z x 7 1 ii i z y z 7 22 1 7 i i zz 184.5 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归直线 vau的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i u

12、 vmuv umu ， vu （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X 21 （12 分）已知函数 22 ( )(1) 22 bxe f xax lnx的图象在1x 处的切线斜率等于 1其中 2.718e 为自然对数的底数，a，bR （1）若0a ，当xe时，证明： 2 ( ) 2 x ee f x ；（2）若ae，证明：( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，在 1 (x， 2) x上恰有一个零点 0 x，且 2 120 x xx

13、第 6 页（共 25 页） 22 （12 分）已知O为坐标原点，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 1 PF的中点为Q， 1 O F Q周长等于 6 3 2 （1）求椭圆C的标准方程；（2）W为双曲线 2 2 :1 4 x D y 上的一个点，由W向抛物线 2 :4E xy做切线 1 l， 2 l，切点分别为A，B （）证明：直线AB与图 22 1xy相切；（）若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求OMN外接圆面积的最大值第 7 页（共 25 页） 2020-2021 学年山东省

14、青岛市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |6 0AxR xx ，集合|(1)0BxR lg x，则 ()( RA B ) A( 1,2) B(1,2) C( 3,2) D( 3,1) 【解答】解：全集UR，集合 2 |6 0 |3AxR xxx x厔或2x，集合|(1)0 |12

15、BxR lg xxx， | 32 UA xx ， () |12(1 RA Bxx，2) 故选：B 2 （5 分） 2 1sin70 ( 22sin 10 ) A2 B1 C1 D 1 2 【解答】解： 2 222 1sin701cos201(1210 ) 1 22sin 1022102210 sin sinsin 故选：C 3 （5 分） “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是( ) A2a B2a C2a D2a 【解答】解：0 x ， 444 222 (2)22 222 xxx xxx ，当且仅当0 x 时才取到 2， “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是 2a 故

16、选：D 4 （5 分）莱茵德纸草书(Rhind)Papyrus是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把 93 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份第 8 页（共 25 页）之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为( ) A3 B4 C8 D9 【解答】解：设该等比数列为 n a，其公比为q，由题意知， 5 1 5 (1) 93 1 aq S q ， 123 3 4 aaa 所以 2 111 3 4 aa qa q 因为 1 0a ，所以 2 3 1 4 qq 解得2q 或 2 3 q （舍去）当2q 时， 5 1(1 2 ) 93 12

17、 a ，解得 1 3a 故选：A 5（5 分）已知双曲线 22 22 :1(0) cossin2 xy 的焦点到渐近线的距离等于 1 2 ，则( ) A 3 B 4 C 6 D 12 【解答】解：由题意知，双曲线的焦点坐标为( 1,0)，渐近线方程为 sin tan cos yxx ，双曲线的焦点到渐近线的距离为 1 2 ， 2 | tan|1 2 1tan ，解得 3 tan 3 ， 0 2 ， 3 tan 3 ，即 6 故选：C 6 （5 分）已知函数( )f x的部分图象如图所示，则( )f x可能为( ) 第 9 页（共 25 页） A cos1 ( ) 22 xx x f

18、 x B cossin ( ) 22 xx xxx f x C cossin ( ) 22 xx xxx f x D cossin ( ) 22 xx xxx f x 【解答】解：函数的定义域为R，函数关于y轴对称，则函数为偶函数，则C不成立，C函数的定义域为 |0 x x，排除C；对于B，函数 cossin ()( ) 22 xx xxx fxf x ，则B函数为奇函数，不满足条件，排除B；对于A，函数中，( ) 0f x 恒成立，不存在负值，排除A 故选：D 7 （5 分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A若l，则l B若/ /l，/ /，则l C若/

19、/l，则l D若l，/ /，则l 【解答】解：若l，则l或/ /l，故A错误；若/ /l，/ /，则l或/ /l，故B错误；若/ /l，则l或/ /l，故C错误；若l，/ /，由平面平行的性质，我们可得l，故D正确；故选：D 8 （5 分）某种芯片的良品率X服从正态分布(0.95N， 2 0.01 )，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过 96%，每张芯片奖励 100 元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励 200 元则每张芯片获得奖励的数学期望为( )元附：随机变量服从正态分布 2 (

20、,)N ，()0.6826P， (22 )0.9544P，(33 )0.9974P 第 10 页（共 25 页） A52.28 B65.87 C50.13 D131.74 【解答】解：因为(0.95XN， 2 0.01 )，所以0.95，0.96，所以(0.95)()0.5P XP X剟， 11 (0.950.96)()()0.68260.3413 22 PXPXPX剟?； 11 (0.96)1()(10.6826)0.1587 22 P XPX；所以每张芯片获得奖励的数学期望为 ( )0 100 0.3413200 0.158765.87E Y （元) 故选：B 二、多项选择题：本题共二

22、 2 ()1 10abaa ba ，则()aba，B正确，对于C、D，又由| 1a ，| 2b ，1a b，则 1 cos 2| a b ab ，又由0180剟，则60，则C错误，D正确故选：ABD 10（5分）定义在R上的函数( )f x满足：x为整数时，( )2021f x ；x不为整数时，( )0f x ，则( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是偶函数 CxR ，( ( )2021f f x D( )f x的最小正周期为 1 【解答】解：根据题意，依次分析选项：第 11 页（共 25 页）对于A，对于( )f x，有f（1）2021，( 1)2021f ， ()(

23、 )fxf x不恒成立，则( )f x不是奇函数，A错误，对于B，对于( )f x，若x为整数，则x也是整数，则有( )()2021f xfx，若x不为整数，则x也不为整数，则有( )()0f xfx，综合可得( )()f xfx，( )f x是偶函数，B正确，对于C，若x为整数，( )2021f x ，x不为整数时，( )0f x ，总之( )f x是整数，则( ( )2021f f x，C正确，对于D，若x为整数，则1x 也是整数，若x不为整数，则1x 也不为整数，总之有(1)( )f xf x，( )f x的周期为 1，若(01)tt 也是( )f x的周期，而x和xn

24、t可能一个为整数，另一个不是整数，则有( )()f xf xnt，故( )f x的最小正周期为 1，D正确，故选：BCD 11 （5 分）已知函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离, ( )1 26 f ，下列结论正确的是( ) A( )sin(2) 6 f xx B将函数( )yf x的图象向右平移 6 个单位后得到函数sin2yx的图象 C当(0,) 2 x 时，( )f x有且只有一个零点 D( )f x在0, 6 上单调递增【解答】解：函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离, ( )1 26 f ，所以

25、T，对于A：根据周期公式，解得2 第 12 页（共 25 页）故sin(2)1 6 ，解得 6 故函数的关系式为( )sin(2) 6 f xx ，故A正确；对于B：函数的图象向右平移 6 个单位得到( )sin(2)sin(2) 366 g xxx 的图象，故 B错误；对于C：由于(0,) 2 x ，所以 7 2(,) 666 x ，当 5 1 2 x 时，函数 5 ()0 12 f ，故C正确；对于D：当0, 6 x 时，2, 66 2 x ，故函数在该区间上单调递增，故D正确；故选：ACD 12 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为2 3的等

26、边三角形，侧棱长为4 3，则( ) A直线 1 AC与直线 1 BB之间距离的最大值为 3 B若 1 A在底面ABC上的投影恰为ABC的中心，则直线 1 A A与底面所成角为60 C若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB与 1 AC所成的角为30 D若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64 【解答】解：取AC的中点M， 1 AC的中点 1 M，则 111 / / /MMAABB，在正ABC中， 3 2 3 sin602 33 2 BM ，直线 1 AC与直线 1 BB的距离点 1 M与直线 1 BB的距离点M到直线 1 BB的距离 3BM ，故直线 1 AC与直线 1 B

27、B之间距离的最大值为 3，故选项A正确；设 1 A在底面ABC上的投影为点O，则O为ABC的中心，且 1 AO 平面ABC，故 1 A AO为直线 1 A A与底面ABC所成角，在正ABC中， 23 2 32 32 AO ，第 13 页（共 25 页）所以 22 1 1 1 11 484333 sin 624 3 A AAOAO A AO A AA A ，所以直线 1 A A与底面所成角不是60，故选项B错误；在三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /ABAB，所以 11 B AC为异面直线 11 AB与 1 AC所成的角，连结 1 BC，因为三棱柱的侧棱垂直于底

28、面，所以在Rt 1 A AC中， 22 11 48122 15ACAAAC，在Rt 1 B BC中， 2 11 48122 15BCBBBC，在 11 ABC中， 222 1111 11 111 1213 cos 24222 34 3 ABACBC B AC ABAC ，所以异面直线AB与 1 AC所成的角不可能为为30，故选项C错误；由选项B中的分析可知，ABC的中心为O，向上作垂线，则垂线垂直平面ABC，过平面 11 ACC A的中心作垂线，则垂线垂直平面 11 ACC A，设两条垂线的交点为 O ，则 O 为外接球的球心，故外接球的半径为 2222 1 1 ()()4

29、2 RO OOCAAAO，所以外接球的表面积 2 464SR，故选项D正确故选：AD 第 14 页（共 25 页）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 1 zi i ，则| | z 2 2 【解答】解：因为 11111 1(1)(1)222 ii ziiii iii ，所以 22 112 |( )( ) 222 z 故答案为： 2 2 14 （5 分）若二项式 * (12 ) () n xnN的展开式中所有项的系数和为 243，则该二项式展开式中含有 3 x的系数为 80

30、【解答】解：令1x ，可得(12)243 n ，解得5n ，则二项式 5 (12 ) x的展开式的通项公式为 155 (2 )2 rrrrr r TCxC x ，所以二项式 5 (12 ) x的展开式中含有 3 x的系数为 33 5 280C 故答案为：80 第 15 页（共 25 页） 15（5 分）设函数( )(1) x f xex的图象在点(0,1)处的切线为yaxb，若方程| x abm 有两个不等实根，则实数m的取值范围是 (0,1) 【解答】解：由( )(1) x f xex，得( )(2) x f xex，得(0)2af，且1b 作出函数|21| x y 的图象如图，

31、由图可知，要使方程| x abm有两个不等实根，则实数m的取值范围是(0,1) 故答案为：(0,1) 16 （5 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 2 5 (0,), ( 3,0) 5 QL，圆Q过坐标原点O，圆L与圆Q外切则：（1）圆L的半径等于 5 ；（2）已知过点L和抛物线 2 2(0)xpy p焦点的直线与抛物线交于A，B，且3O AO B ，则p 【解答】解：（1）由已知可得圆Q的半径为 2 5 5 r ，设圆L的半径为R，因为圆Q与圆L外切，第 16 页（共 25 页）则|LQRr，即 22 2 52 5 ( 30)(0) 55 R ，解得5R ；（2

32、）由抛物线方程可得焦点F的坐标为(0,) 2 p ，则过点( 3,0)L 和F的直线的斜率 0 2 0( 3)6 p p k，则直线的方程为：(3) 2 p yx，代入抛物线方程可得： 222 30 xp xp，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 xxp， 2 12 3x xp ，所以 222 12 12 2 9 44 x xp y y p ，又 2 2 1212 9 33 4 p OA OBx xy yp ，解得2p ，故答案为：5;2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

33、分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 2 42 nnn Saa， 1 2a ， 1 2 nn naS 这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答已知正项数列 n a的前n项和为 n S，_ （1）求数列 n a的通项公式；（2）若数列 n b满足 1 3 1 log1 2 nn ba，且 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 n M 【解答】解：（1）选时，当1n 时， 2 111 42aaa，因为 1 0a ，所以 1 2a ，由 2 42 nnn Saa，可得 2 111 42 nnn Saa ，得 22 111 422 nnnnn a

34、aaaa ，整理可得 11 () (2)0 nnnn aaaa ， 0 n a ， 1 2 nn aa ，所以数列 n a是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，第 17 页（共 25 页） 2 n an 选时，因为 1 2 nn naS ，所以当2n时， 1 (1)2 nn nas ，得： 1 (1) nn nana ，即 1 1 n n an an ，中令1n ，可得 21 2aa满足 1 1 n n an an ，当2n时， 1232 1 2321 123 2 12 11232 1 nnn n nnn aaaaannn aan aaaaannn ，又 1 2a 满足2

35、 n an，综上，2 n an （2）因为满足 1 3 1 log1 2 nn ba， 1 1 ( ) 3 n n b ，于是 1 1 2( ) 3 n nnn ca bn ， 21 111 2 146( )2( ) 333 n n Mn 23 11111 24 ( )6 ( )2( ) 33333 n n Mn 得 231 211111 22()2 333333 n nn Mn 1 1 1 3 22 1 3 1 3 n n n 1 931 ()( ) 223 n n Mn 18 （12 分）在如图所示的平面图形中，2AB ，3, 6 BCABCAEC ，AE与BC 交于点F，若CAE，(

36、0,) 3 （1）用表示AE，AF；（2）求 AE AF 取最大值时的值第 18 页（共 25 页）【解答】解：（1）由题意可知在ABC中，由余弦定理可知 222 2cosACABBCAB BCB，可得1AC ，且 2 A C B ，在A C E中，因为 6 E ，CAE，所以 5 6 ACE ，由正弦定理可得： s i ns i n A EA C A C EE ，所以 5 2 s i n () 6 AE ，在R tA C F中， 1 c o sc o s AC AF （2）由（1）可知， 5 2cossin() 6 AE AF ，(0,) 3 ，

37、所以 2 51cos 23 sin 21 2 cossin()cos3 sincossin(2) 6226 AE AF ，因为(0,) 3 ，所以2( 66 ， 5 ) 6 ，当2 62 时，即 6 时，sin(2) 6 取得最大值 1，所以 AE AF 取最大值时， 6 19 （12 分）如图，在直角梯形ABED中，/ /BEAD，DEAD，BCAD，4AB ， 2 3BE 矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC 平面BCDE （1）若BCBE，证明：平面ABD 平面ACE；（2）当三棱锥ABCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明

38、：BCBE，矩形BCDE为正方形，BDCE，平面ABC 平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，ACBC，AC 平面ABC， AC平面BCDE，第 19 页（共 25 页） BD 平面BCDE，ACBD，又CEACC，CE、AC 平面ACE， BD平面ACE， BD 平面ABD，平面ABD 平面ACE （2）在ABC中，设ACx，则 2 16(04)BCxx， 22 222 111116 16(16)4 22222 ABC xx SAC BCxxxx ，当且仅当 2 16xx，即2 2x 时，等号成立，此时ABC的面积有最大值 4 平面ABC 平面BCDE，平面ABC平面BCD

39、EBC，BEBC，BE 平面BCDE， BE平面ABC， 118 3 42 3 333 A BCEE ABCABC VVSBE ，故当三棱锥ABCE的体积最大时，2 2AC / /BECD，CD平面ABC，以C为原点，CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(2 2A，0，0)，(0D，0，2 3)，(0E，2 2，2 3)， ( 2 2AD ，0，2 3)，(0DE ，2 2，0)，设平面ADE的法向量为(mx，y，) z，则 0 0 m AD m DE ，即 2 22 30 2 20 xz y ，令3x ，则0y ，2z ，

40、( 3m ，0，2)， CD 平面ABC，第 20 页（共 25 页）平面ABC的一个法向量为(0CD ，0，2 3)， cosCD， 2 3210 5| |2 35 CD m m CDm ，故平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 10 5 20 （12 分）魔方(Rubi s k)Cube，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克(Rubik?)Ern教授于 1974 年发明的魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333 的正方体结构，由 26

41、个色块组成常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原截至 2020 年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在 2018 年 11 月 24 日于芜湖赛打破的纪录，单次 3.475 秒（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒)与训练天数x（天)有关，经统计得到如下数据： x（天) 1 2 3 4 5 6 7 y（秒 ) 99 99 45 32 30 24 21 现用 b ya x 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1)？参考数据（其中 1 ):

42、i i z x 7 1 ii i z y z 7 22 1 7 i i zz 184.5 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归直线 vau的斜率和截距的最小二乘第 21 页（共 25 页）估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i u vmuv umu ， vu （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X 【解答】解：（1）由题意可知： 999945

43、32302421 50 7 y ， 7 1 7 22 1 7 184.570.375055 100 0.550.55 7 ii i i i z yzy b zz ，所以50 100 0.3713aybz，因此y关于x的回归方程为： 100 13y x ，所以最终每天魔方还原的平均速度y约为 13 秒；（2）由题意可知：X的可能取值为 3，4，6，9， 1 4 1 (3) 6 69 A P X ， 1 4 22 (4) 669 A P X ， 1111 4224 (1)5 (6) 669 AAA A P X ， 11 22 1 (9) 669 A A P X ，所以X的分布列为： X

44、3 4 6 9 P 1 9 2 9 5 9 1 9 数学期望为 125150 ()3469 99999 E X 21 （12 分）已知函数 22 ( )(1) 22 bxe f xax lnx的图象在1x 处的切线斜率等于 1其中 2.718e 为自然对数的底数，a，bR （1）若0a ，当xe时，证明： 2 ( ) 2 x ee f x ；（2）若ae，证明：( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，在 1 (x， 2) x上恰有一个零点 0 x，且 2 120 x xx 第 22 页（共 25 页）【解答】证明：（1）由题意得：( )f xbxalnx，故f（1）

45、1b，解得：1b ，若0a ，则 22 ( ) 2 xe f x ，由 2 ( ) 2 x ee f x ，得： 2x ex，即证 2 0 x ex，设 2 ( ) x g xex，( )2 () x g xex xe，设( )( )2 x m xg xex ，则( )20 x m xe，故( )m x在( ,)e 递增，故( )m xm（e）0，故( )g x在( ,)e 递增，故( )g xg（e）0，故 2x ex，即 22 ( ) 2 xe f x ；（2）令( )( )n xf xxalnx ，则( )1(0) axa n xx xx ，当(0, )xa时，( )0

46、n x，当( ,)xa时，( )0n x，故( )f x在(0, ) a递减，在( ,)a 递增，故( )f xf（a）aalna，由于ae，故(1)0aalnaalna，又f（1）10，f（e）0ea， 2 ()0 aa f eea，故( )f x有且只有 2 个零点，设为 1 x， 212 ()x xeax ，当 1 (0,)xx时，( )0f x，( )f x在 1 (0,)x递增，当 1 (xx， 2) x时，( )0f x，( )f x在 1 (x， 2) x递减，当 2 (xx，)时，( )0f x，( )f x在 2 (x，)递增，又f（e）0，故( )f x

47、有且只有 2 个极值点 1 x， 212 ()x xx且在 1 (x， 2) x上恰有 1 个零点 0 xe， 11 xalnx， 22 xalnx，第 23 页（共 25 页） 1212 ()xxa lnxlnx， 1212 ()xxa lnxlnx，故 1212 1212 lnxlnxxx lnxlnxxx ，故 12 1212 12 ()() xx lnxlnxlnxlnx xx ，令 1 2 (0,1) x t x ，则 1 ( )2() 1 t h tlnt t ，则 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t ，故( )h t在(0,1)递增，故( )h th（1

48、）0，故 12 1 ()2 1 t lnxlnxlnt t ，即 1 2 2lnx x ，故 22 120 x xex 22 （12 分）已知O为坐标原点，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 1 PF的中点为Q， 1 O F Q周长等于 6 3 2 （1）求椭圆C的标准方程；（2）W为双曲线 2 2 :1 4 x D y 上的一个点，由W向抛物线 2 :4E xy做切线 1 l， 2 l，切点分别为A，B （）证明：直线AB与图 22 1xy相切；（）若直线AB与椭圆C相交于M，N

49、两点，求OMN外接圆面积的最大值【解答】解：（1）设 12 | 2FFc，因为Q为 1 PF的中点，所以 1 OFQ的周长为 21 11 | | 2 F PFP FQOQQFcac ，所以 6 3 2 2 2 ac c a ，解得3a ， 6 2 bc，所以椭圆C的方程为 22 2 1 33 xy （2）（）证明：由 2 4xy得 2 4 x y ，求导得 2 x y ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则直线 1 111 :() 2 x lyyxx，即 2 11 24 xx yx，同理： 2 22 2 24 xx lx，设 0 (W x， 0) y，因为W为 1 l， 2 l的交点，第 24 页（共 25 页）所以 12 0 2 xx x ， 12 0 4 x x y ，由题知直线AB的斜率存在，设它的方程为yxmk，将yxmk代入 2 4xy得： 2 440 xxmk，所以 0 2x k， 0 ym ，因为 2 20 0 1 4 x y ，所以 22 1m k，所以圆心O到直线AB的距离 2 | 1 1 m dr k ，所以直线AB与圆 22 :1O xy相切（）将yxmk与 22 2 1 33 xy 联立得： 222 (12)4230 xmxmkk，由韦达定理可得 12 2 4 12 m xx k k

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