1、专题专题 14 14 对顶角三角形对顶角三角形 一、解答题一、解答题 1阅读材料： 如图 1，AB、CD交于点 O，我们把 AOD和 BOC叫做对顶三角形 结论：若 AOD和 BOC是对顶三角形，则A+DB+C 结论应用举例： 如图 2：求五角星的五个内角之和，即A+B+ACE+ADB+E 的度数 解：连接 CD，由对顶三角形的性质得：B+E1+2， 在 ACD中，A+ACD+ADC180 ， 即A+3+1+2+4180 ， A+ACE+B+E+ADB180 即五角星的五个内角之和为 180 解决问题： （1）如图，A+B+C+D+E+F ； （2）如图，A+B+C+D+E+F+G ； （3）
2、如图，A+B+C+D+E+F+G+H ； （4）如图，A+B+C+D+E+F+G+H+M+N ； 请你从图或图中任选一个，写出你的计算过程 【答案】 （1）360； （2）540； （3）720； （4）1080；过程见解析 【分析】 （1）连接 CD，由对顶角三角形可得ABBDCACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接 ED，由对顶角三角形可得ABBEDADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接 BH、DE，由对顶角三角形可知EBHBHDHDEBED，再根据五边形的内角和定理 得出结论； （4） 连接 ND、 NE， 由对顶角三角形可知12NGHEHG， 再由六边形的内
3、角和定理得出结论 【详解】 解： （1）连接 CD，由对顶角三角形可得ABBDCACD，则ABCDEF 360 ； （2）连接 ED，由对顶角三角形可得ABBEDADE，则ABCDEF G540 ； （3）连接 BH、DE， 由对顶角三角形可知EBHBHDHDEBED， ABCDEFGH五边形CDEFG的内角和 ABH的内角和540 180 720 ； （4）连接 ND、NE， 由对顶角三角形可知12NGHEHG， ABCDEFGHMN六边形BCFGHM的内角和 AND的内角 和 NDE 的内角和（62） 180 360 1080 故答案为：360 ；540 ；720 ；1080 【点睛】 本
4、题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用AOD和BOC叫做对顶三角形的性质及多 边形的内角和定理解答是解答此题的关键 2 （1）如图，求A+B+C+D+E+F的度数； （2）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H 的度数； （3）如图，求A+B+C+D+E+F+G的度数 【答案】 （1）360； （2）720； （3）540 【分析】 （1） 连接 AD， 根据三角形的内角和定理得BCBADCDA， 进而将问题转化为求四边形 ADEF 的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形 ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形 ABCDE的内角和 【详解】 解： （
5、1）如图，连接 AD， 由三角形的内角和定理得，BCBADCDA， BAFBCCDEEFBAFBADCDADEF 即四边形 ADEF 的内角和，四边形的内角和为 360 ， BAFBCCDEEF360 ， （2）如图，由（1）方法可得： BAHBCDEEFGGH的度数等于六边形 ABCDEF的内角和， BAHBCDEEFGGH（62） 180 720 ， （3）如图，根据（1）的方法得，FGGAEFEA， BAGBCDDEFFG的度数等于五边形 ABCDE 的内角和， BAGBCDDEFFG（52） 180 540 ， 【点睛】 本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解
6、决问题的关键 3如图，求A+B+C+D+E+F+G+H+K的度数 【答案】540 【分析】 如图所示，由三角形外角的性质可知：ABIJL，CDMLJ，HKGIJ，E FGML，然后由多边形的内角和公式可求得答案 【详解】 解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知： ABIJL， CDMLJ， HKGIJ， EFGML， ABCDEFGHKIJLMLJGMLGGIJ（52） 180 3 180 540 【点睛】 本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角 的和转化为五边形的内角和是解题的关键 4如图，求A+B+C+D+E+F+G+H六个角的和 【
7、答案】360 【分析】 根据三角形内角和外角的性质可得：GD3，FC4，EH2，再根据三角形内 角和定理可得答案 【详解】 解：GD3，FC4，EH2， GDFCEH342， B21180 ，35A180 ， AB243360 ， ABCDEFGH360 【点睛】 此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5如图，在直角ABC中，BD是ABC的平分线，3BAOOAD ,AO的延长线与BDC的平分 线交于点F，求F的度数. 【答案】22.5F 【解析】 【分析】 设OADx ，则3BAOx，452ABOx，22.5ODFx ，根据三角形 ABO
8、与三角 形 DFO的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案. 【详解】 解：设OADx ，则3BAOx， 在直角ABC中，904ABCx， BD是ABC的平分线， 452ABOx， 在直角DBC中，22.5ODFx . 180OABOBAAOBODFFFOD , 又AOBFOD， OABOBAODFF， 即345222.5xxxF ， 22.5F. 【点睛】 本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键. 6如图所示，求ABCDEF 的度数. 【答案】360. 【解析】 【分析】 首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解
9、【详解】 解：1=A+B，2=C+D，3=E+F， 又1+2+3=360 ， A+B+C+D+E+F=360 【点睛】 本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是 360 ，理解定理是关键 7如图，求ABCDEF 的度数. 【答案】360ABCDEF . 【解析】 【分析】 连接 CD，将ABCDEF 转化为四边形 CDEF 的内角和即可求出答案. 【详解】 解：如图所示，连接 CD. 由对顶三角形得，ABACDBDC ， ABCDEF 360CDEDCFEF . 【点睛】 本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是 解题的关键. 8如
10、图，求ABCD E 的度数. 【答案】180. 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】 解：连结BE， BC 与 DE相交成对顶三角形， CDCBEDEB ， AABCCDAEDAABCCBEDEBAED 180AABEAEB 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 9如图，30F，求 ABCDE 的度数. 【答案】330. 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】 解： 在ABM中，3 1 ?80AB 在CDP中，1 1 ?80CD 在EFN中，2 1 ?80EF 在PNM中，123 1 ?80 312 ? 540AB
11、CDEF 30F 330ABCDE 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 二、填空题二、填空题 10如图，求A+B+C+D+E+F+G+H+I_ 【答案】900 【分析】 根据多边形的内角和，可得答案 【详解】 解：连 EF，GI，如图 ， 6边形 ABCDEFK 的内角和（62） 180 720 ， ABCDEF720 （12） ， 即ABCDEF（12）720 ， 1234，56H180 ， ABCDEFH（34）900 ， ABCDEF（34）56H720 180 ， ABCDEFGHI900 ， 故答案为：900 【点睛】 本题考查了 n边形的内角和定
12、理：n 边形的内角和为（n2）180（n3 的整数） 11如图，A+B+C+D+E+F+G+H+I+K的度数为_ 【答案】1080 【分析】 连 KF，GI，根据 n 边形的内角和定理得到 7边形 ABCDEFK 的内角和（72） 180 900 ，则AB CDEFK（12）900 ，由三角形内角和定理可得到1234， 56H180 ，则ABCDEFK（34）56H900 180 ，即可得到ABCDEFGHIK的度数 【详解】 解：连 KF，GI，如图， 7边形 ABCDEFK 的内角和（72） 180 900 ， ABCDEFK900 （12） ， 即ABCDEFK（12）900 ， 1234，56H180 ， ABCDEFK（34）900 ， ABCDEFK（34）56H900 180 ， ABCDEFGHIK1080 故ABCDEFGHIK 的度数为 1080 故答案为：1080 【点睛】 本题考查了 n边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n2）180（n3 的整数）
