1、绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 1本试卷共本试卷共 4 4 页，均为非选择题页，均为非选择题( (第第 1 1 题题 第第 2020 题，共题，共 2020 题题) )。本卷满分为。本卷满分为 160160 分，考试分，考试 时间为时间为 120120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用
2、答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.50.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。答题卡的规定位置。 3 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4 4作答试题，必须用作答试题，必须用 0.50.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。置作答一律无效。 5 5如需作图，须用如需作图，须用 2B2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
3、铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：参考公式： 样本数据样本数据 12 , n x xx 的方差的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积柱体的体积VSh，其中，其中S是柱体的底面积，是柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高 锥体的体锥体的体积积 1 3 VSh，其中，其中S是锥体的底面积，是锥体的底面积，h是锥体的高是锥体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 1.已知集
4、合 1,0,1,6A ， 0,Bx xxR，则A B_. 【答案】1,6. 【解析】 【分析】 由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，1,6AB . 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 2.已知复数(2i)(1 i)a的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a的值是_. 【答案】2. 【解析】 【分析】 本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据复数的概念，令实部为 0即得 a的值. 【详解】 2 (a 2 )(1 i)222(2)iaaiiiaai ， 令20a得2a . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5、3.下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是_. 【答案】5. 【解析】 【分析】 结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次， 1 ,14 22 x SSx 不成立，继续循环，12xx ； 执行第二次， 3 ,24 22 x SSx不成立，继续循环，13xx ； 执行第三次，3,34 2 x SSx不成立，继续循环，14xx ； 执行第四次，5,44 2 x SSx成立，输出5.S 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构 (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求完成解答并验证
6、4.函数 2 76yxx 的定义域是_. 【答案】 1,7. 【解析】 【分析】 由题意得到关于 x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得 2 760xx , 即 2 670xx 解得17x ， 故函数的定义域为 1,7. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它 们的解集即可 5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_. 【答案】 5 3 . 【解析】 【分析】 由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为 67889 10 8 6 ， 所以该组数据的方差是 222222
7、 15 (68)(78)(8 8)(8 8)(98)(108) 63 . 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 6.从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同学中至少有 1名女同学的概 率是_. 【答案】 7 10 . 【解析】 【分析】 先求事件的总数， 再求选出的 2 名同学中至少有 1名女同学的事件数， 最后根据古典概型的概率计算公式得 出答案. 【详解】从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 2 5 10C 种情况. 若选出的 2 名学生恰有 1名女生，有 11 32 6C C 种情况， 若选出的 2 名学生都
8、是女生，有 2 2 1C 种情况， 所以所求的概率为 6 17 1010 . 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查， 由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中， 应注意审清题意，明确分类分步，根据顺序有无，明确排列组合. 7.在平面直角坐标系xOy中， 若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点 （3， 4)， 则该双曲线的渐近线方程是_. 【答案】2yx . 【解析】 【分析】 根据条件求b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得 2 2 2 4 31 b ，
9、 解得 2b 或 2b ， 因为0b ，所以 2b . 因为1a ， 所以双曲线的渐近线方程为2yx . 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲 线渐近线与双曲线标准方程中的, a b密切相关，事实上，标准方程中化 1为 0，即得渐近线方程. 8.已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n项和.若 2589 0,27a aaS，则 8 S的值是_. 【答案】16. 【解析】 【分析】 由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8项和即可. 【详解】由题意可得： 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadad
10、ad Sad ， 解得： 1 5 2 a d ，则 81 8 7 84028 216 2 Sad . 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想， 灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） ，如本题，从已知出发，构建 1 a d,的方程组. 9.如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是_. 【答案】10. 【解析】 【分析】 由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体 1111 ABCDABC D的体积为 120， 所以 1 120A
11、B BC CC， 因为E为 1 CC的中点， 所以 1 1 2 CECC， 由长方体的性质知 1 CC 底面ABCD， 所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥EBCD的体积 11 32 VAB BC CE 1 1111 12010 32212 AB BCCC. 【点睛】本题蕴含整体和局部的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整 体和局部的关系，灵活利用割与补的方法解题. 10.在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0 的距离的最小 值是_. 【答案】4. 【解析】 【分析】 将原问题转化为切
12、点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线 2 2 gR r 平移到与曲线 4 yx x 相切位置时，切点 Q即为点 P 到直线 2 2 gR r 的距离最小. 由 2 4 11y x ，得2( 2)x 舍，3 2y ， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线 2 2 gR r 的距离为 22 23 2 4 11 ， 故答案为：4 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和 公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11.在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的
13、切线经过点（-e，-1)(e 为自然对 数的底数） ，则点 A 的坐标是_. 【答案】(e, 1). 【解析】 【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点 00 ,A xy，则 00 lnyx.又 1 y x ， 当 0 xx时， 0 1 y x ， 点 A 在曲线 lnyx 上切线为 00 0 1 ()yyxx x ， 即 0 0 ln1 x yx x ， 代入点, 1e，得 0 0 1 ln1 e x x ， 即 00 lnxxe， 考查函数 lnH xxx，当0,1x时， 0H x ，当1,x时， 0H x ， 且 ln1Hxx，当1x
14、时， 0,HxH x单调递增， 注意到 H ee，故 00 lnxxe存在唯一的实数根 0 xe，此时 0 1y ， 故点A的坐标为,1A e. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 12.如图， 在VABC中， D是 BC的中点， E在边 AB上， BE=2EA， AD与 CE交于点O .若6 AB ACAO EC ， 则 AB AC 的值是_. 【答案】3.
15、 【解析】 【分析】 由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD. 3 63 2 AO ECAD ACAEABACACAE 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC ， 得 2213 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC . 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几 何
16、法，利用数形结合和方程思想解题. 13.已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4 的值是_. 【答案】 2 2 22 1:4 A AAA CCC C v arv vav r . 【解析】 【分析】 由题意首先求得tan的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问 题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由 tan1 tantantan2 tan1 tan13 tan 1 tan4 ， 得 2 3tan5tan20， 解得tan2，或 1 tan 3 . sin 2sin2 coscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin
17、 sin2cos2= 22sincos 2 2 22tan1 tan = 2tan1 ， 当tan2时，上式 2 2 22 2 1 22 = 22110 ； 当 1 tan 3 时，上式= 2 2 11 21 2233 = 210 1 1 3 . 综上， 2 sin 2. 410 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转 化与化归思想解题. 14.设( ), ( )f x g x是定义在 R 上的两个周期函数， ( )f x的周期为 4，( )g x的周期为 2，且( )f x是奇函数.当 (0,2x时， 2 ( )1 (1)f xx ，
18、(2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x ，其中 k0.若在区间(0，9上，关于 x的方 程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则 k的取值范围是_. 【答案】 12 , 34 . 【解析】 【分析】 分别考查函数 f x和函数 g x图像的性质，考查临界条件确定 k的取值范围即可. 【详解】当0,2x时， 2 ( )11 ,f xx 即 2 2 11,0.xyy 又 ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数( )f x与( )g x的图象，要使( )( )f xg x 在(0,9上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可. 当 1
19、 g( ) 2 x 时，函数( )f x与( )g x的图象有 2个交点； 当g( )(2)xk x时，( )g x的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数 ( )f x与( )g x的图象有 6个交点. 当 ( )f x与( )g x图象相切时，圆心（1，0）到直线20kxyk 的距离为 1，即 2 2 1 1 kk k ，得 2 4 k ， 函数 ( )f x与( )g x的图象有 3个交点；当g( )(2)xk x 过点（1,1）时，函数 ( )f x与( )g x的图象有 6个交 点，此时13k，得 1 3 k . 综上可知，满足( )( )f xg x在(0,9上有 8个实根的 k
20、 的取值范围为 12 34 ，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点 而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取 值范围. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a=3c，b= 2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 si
21、ncos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 【答案】 （1） 3 3 c ； （2） 2 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意结合余弦定理得到关于 c的方程，解方程可得边长 c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得sin() 2 B 的 值. 【详解】 （1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc c c ，即 2 1 3 c . 所以 3 3 c . （2）因为 sincos 2 AB ab ， 由正弦定理 s
22、insin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 22 cos4 1 cosBB，故 2 4 cos 5 B . 因为sin0B ，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能 力. 16.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证： （1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 【答案】 （1）见解析； （2）见解
23、析. 【解析】 【分析】 (1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】 （1）因为 D，E分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面
24、 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力 和推理论证能力. 17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 F1（1、0） ， F2（1，0） 过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l与圆 F2: 222 (1)4xya交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C于点 E，连结 DF1已知
25、DF1= 5 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E的坐标 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2） 3 ( 1,) 2 E . 【解析】 【分析】 (1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程； (2)解法一：由题意首先确定直线 1 AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点 B 的坐标，联立直线 BF2 与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标； 解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标. 【详解】 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= 5 2
26、 ，AF2x 轴，所以 DF2= 2222 112 53 ( )2 22 DFFF， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy . （2）解法一： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy ，a=2， 因为 AF2x轴，所以点 A的横坐标为 1. 将 x=1代入圆 F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y= 4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2. 由 2 2 22 116 yx xy ，得 2 56110xx， 解得1x
27、 或 11 5 x . 将 11 5 x 代入22yx，得 12 5 y ， 因此 1112 (,) 55 B .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： 3 (1) 4 yx. 由 22 3 (1) 4 1 43 yx xy ，得 2 76130xx，解得1x 或 13 7 x . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x . 将1x 代入 3 (1) 4 yx，得 3 2 y .因此 3 ( 1,) 2 E . 解法二： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy .如图，连结 EF1. 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB， 从而BF1E=B. 因为 F2
28、A=F2B，所以A=B， 所以A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x轴，所以 EF1x轴. 因为 F1(-1，0)，由 22 1 1 43 x xy ，得 3 2 y . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y . 因此 3 ( 1,) 2 E . 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 18.如图， 一个湖的边界是圆心为 O 的圆， 湖的一侧有一条直线型公路 l， 湖上有桥 AB （AB是圆 O的直径） 规 划在公路 l上选两个点 P、Q，并修建两段直
29、线型道路 PB、QA规划要求:线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O的半径已知点 A、B到直线 l的距离分别为 AC 和 BD（C、D为垂足） ，测得 AB=10， AC=6，BD=12（单位:百米） （1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路 PB和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d最小时，P、Q 两点间的距离 【答案】 （1）15（百米） ； （2）见解析； （3）17+3 21（百米）. 【解析】 【分析】 解：解法一： （1）过 A 作AEBD，
30、垂足为 E.利用几何关系即可求得道路 PB 的长； （2）分类讨论 P和 Q中能否有一个点选在 D处即可. （3）先讨论点 P的位置，然后再讨论点 Q的位置即可确定当 d 最小时，P、Q两点间的距离 解法二： （1）建立空间直角坐标系，分别确定点 P和点 B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路 PB 的长； （2）分类讨论 P和 Q中能否有一个点选在 D处即可. （3）先讨论点 P的位置，然后再讨论点 Q的位置即可确定当 d 最小时，P、Q两点间的距离 【详解】解法一： （1）过 A 作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，6, 8DEBEACAECD. 因为 P
31、BAB， 所以 84 cossin 105 PBDABE. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD . 因此道路 PB 的长为 15（百米）. （2）若 P在 D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段 BE上的点（除 B，E）到点 O的距离均小于圆 O的半 径，所以 P选在 D处不满足规划要求. 若 Q在 D处，连结 AD，由（1）知 22 10ADAEED ， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB ，所以BAD为锐角. 所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O的半径. 因此，Q选在 D处也不满足规划要求. 综上，P和 Q均不能选在 D处
32、. （3）先讨论点 P的位置. 当OBP90 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB. 由上可知，d15. 再讨论点 Q的位置. 由（2）知，要使得 QA15，点 Q只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时， 2222 1563 21CQQAAC .此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径. 综上，当 PBAB，点 Q位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时，d最小，此时 P，Q两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+3 21（百米）. 解法二： （1）如图，过 O作 OHl，垂足为 H. 以 O
33、 为坐标原点，直线 OH为 y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B 的纵坐标分别为 3，3. 因为 AB 为圆 O 的直径，AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（4，3） ，B（4，3） ，直线 AB 的斜率为 3 4 . 因为 PBAB，所以直线 PB 的斜率为 4 3 ， 直线 PB 的方程为 425 33 yx . 所以 P（13，9） ， 22 ( 134)(93)15PB . 因此道路 PB 的长为 15（百米）. （2）若 P在 D处，取线段 BD 上一点 E（4，0） ，则 EO=490
34、 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB. 由上可知，d15. 再讨论点 Q的位置. 由（2）知，要使得 QA15，点 Q只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求. 当 QA=15 时，设 Q（a，9） ，由 22 (4)(93)15(4)AQaa， 得 a=4 3 21 ，所以 Q（4 3 21 ，9） ，此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O的半径. 综上，当 P（13，9） ，Q（4 3 21 ，9）时，d最小，此时 P，Q两点间的距离 43 21( 13)173 21PQ . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17 3 21 （百米）. 【点睛】本题主要考查三角函
35、数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用 数学知识分析和解决实际问题的能力. 19.设函数( )()()(), , ,Rf xxa xb xc a b c ，( )f x为 f（x）的导函数 （1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值； （2）若 ab，b=c，且 f（x）和( )f x的零点均在集合 3,1,3中，求 f（x）的极小值； （3）若0,01,1abc，且 f（x）的极大值为 M，求证:M 4 27 【答案】 （1）2a ； （2）见解析； （3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意得到关于 a的方程，解方程即可确定 a的值； （2）由题意首
36、先确定 a,b,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小 值. （3）由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为01b，所以 1 (0,1)x 当(0,1)x时， 2 ( )()(1)(1)f xx xb xx x 令 2 ( )(1) ,(0,1)g xx xx，则 1 ( )3(1) 3 g xxx 令( )0g x ，得 1 3 x 列表如下： x 1 (0, ) 3 1 3 1 (,1) 3
37、 ( )g x + 0 ( )g x 极大值 所以当 1 3 x 时，( )g x取得极大值，且是最大值，故 max 14 ( ) 327 g xg 所以当(0,1)x时， 4 ( )( ) 27 f xg x，因此 4 27 M 【详解】 （1）因为abc，所以 3 ( )()()()()f xxa xb xcxa 因为(4)8f，所以 3 (4)8a，解得2a （2）因为bc， 所以 2322 ( )()()(2 )(2)f xxa xbxab xbab xab， 从而 2 ( )3() 3 ab f xxbx 令 ( )0f x ，得xb或 2 3 ab x 因为 2 , , 3 ab
38、a b ，都在集合 3,1,3中，且ab， 所以 2 1,3,3 3 ab ab 此时 2 ( )(3)(3)f xxx，( )3(3)(1)f xxx 令 ( )0f x ，得3x 或1x 列表如下： x (, 3) 3 ( 3,1) 1 (1,) + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以 ( )f x的极小值为 2 (1)(1 3)(1 3)32f （3）因为0,1ac，所以 32 ( )()(1)(1)f xx xb xxbxbx， 2 ( )32(1)f xxbxb 因为01b，所以 22 4(1)12(21)30bbb ， 则有 2 个不同的零点，设为 1212 ,x xx
39、x 由 ( )0f x ，得 22 12 1111 , 33 bbbbbb xx 列表如下： x 1 (,)x 1 x 12 ,x x 2 x 2 (,)x + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以 ( )f x的极大值 1 Mf x 解法一： 32 1111 (1)Mf xxbxbx 2 2 1 111 21 1(1) 32(1) 3999 bb xbb b xbxbx 2 3 2 21 (1) (1)2 1 27927 bbb b b bb 2 3 (1)2(1) (1)2 (1) 1) 272727 b bbb b b (1)24 272727 b b 因此 4 27 M 解法
40、二： 因为01b，所以 1 (0,1)x 当(0,1)x时， 2 ( )()(1)(1)f xx xb xx x 令 2 ( )(1) ,(0,1)g xx xx，则 1 ( )3(1) 3 g xxx 令( )0g x ，得 1 3 x 列表如下： x 1 (0, ) 3 1 3 1 (,1) 3 ( )g x + 0 ( )g x 极大值 所以当 1 3 x 时，( )g x取得极大值，且是最大值，故 max 14 ( ) 327 g xg 所以当(0,1)x时， 4 ( )( ) 27 f xg x，因此 4 27 M 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法
41、分析与解决问题以及逻辑推 理能力 20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1）已知等比数列an满足： 245132 ,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”； （2）已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn为数列bn的前 n项和 求数列bn的通项公式； 设 m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数 k，当 km 时，都有 1kkk cbc 剟成立，求 m 的最大值 【答案】 （1）见解析； （2）bn=n * nN；5. 【解析】 【分析】 （1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； （2）由题意利用递推关
42、系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式； 由确定 k b的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 m 的最大值 【详解】 （1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0. 由 245 321 440 a aa aaa ，得 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa ，解得 1 1 2 a q 因此数列 n a为M数列. （2）因为 1 122 nnn Sbb ，所以0 n b 由 111 1,bSb得 2 122 11b ，则 2 2b . 由 1 122 nnn Sbb ，得 1 1 2() nn n nn b b S
43、 bb ， 当2n 时，由 1nnn bSS ，得 11 11 22 nnnn n nnnn b bbb b bbbb ， 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列bn是首项和公差均为 1的等差数列. 因此，数列bn的通项公式为 bn=n * nN. 由知，bk=k， * kN . 因为数列cn为M数列，设公比为 q，所以 c1=1，q0. 因ckbkck+1，所以 1kk qkq ，其中 k=1，2，3，m. 当 k=1时，有 q1； 当 k=2，3，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设 f（x）= ln (1) x x x ，则 2 1 ln ( ) x f x x 令 ( )0f x ，得 x=e.列表如下： x (1,e) e (e，+) ( )f x + 0 f（x） 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 ，所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q ，当 k=1，2，3，4，5时， ln ln k q k ，即 k kq， 经检验知 1k qk 也成立 因此所求 m的最大值不小于 5 若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216， 所以 q 不存在.因此所求 m的最大值小于 6. 综上，所求 m 的最大值为 5 【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质
