1、姓名_ 座位号_ （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 数学（理科）数学（理科） 本试卷共 4 页,23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项：考生注意事项： 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在
2、答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分。在每小题给出的四个选项中分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求 的。的。 1.若集合 3 0 x Mx x , 2 lg81Nxxx,则MN A.0,1 B.1,3 C.0,2 D.2,1 2.若复数z满足2iiza （aR,i是虚数单位）,且4z ,则a A.3 B.3 C.3 7 D.7 3 3.函
3、数 ln, 10 e ,01 ax xx f x x 剟 剟 （aR,e是自然对数的底数）且 12f,则 4 1 log 3 e ff A.13 B.13 C.13 D.13 4.若数列 n a各项均为正数,满足 2 * 1 1 ,2 n n n a ann a N,且 2020 2 15 a, 2022 2 5 a,则 2021 a A. 2 5 B. 6 5 C. 2 3 15 D. 2 3 5 5.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得 了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照0,0.5,0.5,1,4,4.
4、5分成 9 组,制成了 如图所示的频率分布直方图。则估计全市居民月均用水量的中位数是 A.2.25 吨 B.2.24 吨 C.2.06 吨 D.2.04 吨 6.执行如图所示的程序框图,则输出s的值为 A.4 B.8 C. 20 3 D. 112 15 7.已知圆锥的顶点为A,过母线AB、AC的截面面积是2 3。若AB、AC的夹角是60,且AC与圆锥底 面所成的角是30,则该圆锥的表面积是 A.2 2 B. 2 36 C. 4 26 D. 4 36 8.设0,将函数 sin4 3 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到 函数 yg x的图象。若 g x在区间,
5、12 3 上单调递增,在区间 5 , 3 12 上单调递减,则 A. 3 6 2 k ,kN B. 3 6 2 k ,kN C. 3 2 D.3 9.有 8 位学生春游,其中小学生 2 名、初中生 3 名、高中生 3 名。现将他们排成一列,要求 2 名小学生相邻、3 名初中生相邻,3 名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有 A.288 种 B.144 种 C.72 种 D.36 种 10.若关于x的不等式 41 4 2 x ax 对任意2x恒成立,则正实数a的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.设aR,e为自然对数的底数,函数 esin x f xax在0,内有且仅有一个零
6、点,则a A.e B.1 C. 4 e D. 4 2e 12.已知抛物线 2 :2C ypx的焦点F与双曲线 22 1621xy的右焦点重合,斜率为k的直线l与C的两个 交点为A,B。若4AFBF,则k的取值范围是 A. 1515 , 55 B. 1515 ,00, 55 C. 1515 , 33 D. 1515 ,00, 33 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分。分。 13.命题“x R, 2 22xx ”的否定是_。 14.设点O是ABC外接圆的圆心,3AB,且4AO BC。则 sin sin B C 的值是_。 15.如图 1,在一
7、个正方形 1234 S S S S内,有一个小正方形和四个全等的等边三角形。将四个等边三角形折起来, 使 1 S, 2 S, 3 S, 4 S重合于点S,且折叠后的四棱锥SABCD的外接球的表面积是16（如图 2）,则四棱锥 SABCD的体积是 16.已知 n S是各项均不为零的等差数列 n a的前n项和,且 2* 21nn San N,使不等式 123 1 a a a 2 23434512 11111 42 nnn nn a a aa a aa aa 成立,则实数的最大值是_。 三三.解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤。第 17-21 题为必考题题为必考题,每个试题考生都每个试题考生都 必须作答。第必须作答。第 22,23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.（12 分） 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量2,sinmbcC,向量sin,2nBcb,且满足 2 sinm naA。 （1）求角A的大小； （2）若ABC外接圆的半径是 1,求当函数 cos24cossinf BBAB取最大值时ABC的周长。 18.（12 分） 如图 3,在ABV中,1ACBCCV,ACVB于C。现将ABV沿AC折叠,使VA
9、CB为直二 面角（如图 4）,D是棱AB的中点,连接CD、VB、VD。 （1）证明：平面VAB平面VCD； （2）若棱AB上有一点E满足 1 4 BEBA,求二面角C VEA的余弦值。 19.（12 分） 已知椭圆 22 2 :10 12 xy Cb b 中,以2,1Q 为中点的弦AB所在直线的方程是240 xy。 （1）求椭圆C的方程； （2）设点,0P m为椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为 2 3 b 的直线l交椭圆C于S,T两点,证明： 22 PSPT为定值。 20.（12 分） 已知函数 2 lnf xxaxx,其中0a。 （1）讨论 f x的单调性； （2）若函数 2 e1ln
10、 x g xf xa xx,证明：当0 x时, 3 1 1 2 g xx。 21.（12 分）分） 新冠肺炎,全民防控。冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播,可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染。 冠状肺炎感染人群年龄大多是 40 岁以上的人群。该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体 至最早出现临床症状的这段时期） ,潜伏期越长,感染到他人的可能性越高。 现对 200 个病例的潜伏期 （单位： 天）进行调查,统计发现潜伏期的中位数为 5,平均数为 7.1,方差为 506。一般认为超过 8 天的潜伏期属于“长 潜伏期”,按照年龄统计样本,得到下面的2 2列联表： 长潜伏期 非长潜伏期
11、 40 岁以上 30 110 40 岁以上及 40 岁以下 20 40 （1）能否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？ （2）假设潜伏期服从正态分布 2 ,N ,其中近似为样本平均数, 2 近似为样本方差。 （i）很多省份对 入境人员一律要求隔离 14 天,请用概率和统计的知识解释其合理性； （）将样本频率近似当作概率,设另随 机抽取的 25 个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X, *,0 25Xk kkN剟的概率记作 *,0 25P XkkkN剟,试求X的数学期望以及当P Xk取最大值时k的值。 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 。 2 P Kk 0.100 0.05
12、0 0.010 k 2.706 3.841 6.635 若随机变量Z服从正态分布 2 ,N ,则0.6826PZ,22PZ 0.9544,330.9974PZ,5.062.25。 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 22.（10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin k k xt yt （t为参数）以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系,且在两坐标
13、系下长度单位相同。曲线 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50。 （1）当1k 时, 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时,求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标。 23.（10 分）选修分）选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 设aR, 3f xxxa。 （1）当2a时,解不等式 1f x ； （2）若对于任意实数x,不等式 2f xa恒成立,求a的取值范围。 理科数学参考答案理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C D C D C B D D A 1.【解析解析】因为03Mxx, 2 2021Nx xxx xx 或, 所以13
14、1,3MNxx。 2.【解析解析】因为 1 2222 aiiaia zi i ,所以 2 11 4 44 za,3 7a 。 3.【解析解析】由 12f,ln2a 。 ln2 ln, 10, ,01, x xx f x ex 即 ln, 10, 2 ,01, x xx f x x 于是 4 l o g3 4 11 log 3ln213ff ee 。 4.【解析解析】由条件 2 1 1 n n n a a a 知,数列 n a是等比数列,则其公比满足 2 2022 2020 3 a q a ,3q 。因此 20212020 2 3 15 aaq。 5.【解析解析】由频率分布直方图可知,月用水量在
15、0,0.5的频率为0.08 0.50.04。 同理,在0.5,1,1.5,2,2,2.5,3,3.5,3.5,4,4,4.5等组的频率分布为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02。由10.040.080.21 0.250.060.040.022 0.5 a ,解得a0.30,设中位数为x吨。 因 为 前 5 组 的 频 率 之 和 为0.04 0.08 0.15 0.21 0.250.730.5, 前 4 组 的 频 率 之 和 为 0.040.080.150.210.480.5,所以22.5x 。由0.5020.5 0.48x,解得2.04x。 6.【解析解析】0k 时
16、,4s ；1k 时,4 48s ；2k 时, 420 8 33 s ；133k 时。此 时退出循环,输出的 20 3 s 。 7.【解析解析】设圆锥的母线长是l,则 2 1 sin602 3 2 l ,2 2l 。则高是2,圆锥底面半径是 2 2cos306,于是该圆锥的表面积是 2 1 26 2 264 36 2 。 8.【解析解析】由题意知, sing xx。当 3 x 时,函数 g x取得最大值,所以 2 32 k ,kZ。 解得 3 6 2 k,kN。因为 g x在区间, 12 3 上递增,在 5 , 3 12 上递减,所以 312 且 5 123 ,解得 12 0 5 。因此 3 2
17、 。 9.【解析解析】第一步,先将 2 名小学生看成一个人,3 名初中生看成一个人,然后排成一排有 2 2 A种不同排法；第二 步,将 3 名高中生插在这两个整体形成的 3 个空档中,有 3 3 A种不同排法； 第三步,排 2 名小学生有 2 2 A种不同排 法,排 3 名初中生有 3 3 A种不同排法。根据分步计数原理,共有 2323 2323 144A A A A 种不同排法。 10.【解析解析】 min 4242411818 444 222 xxx axaxaaxa ,即 48 4 aa ,解得04a。 11.【解析解析】由sin0 x eax得,sin x axe。因为00,所以sin
18、0 x。因此 sin x e a x 。令 sin x e g x x ,0 x,则 2 sincos sin x exx gx x 。由 0g x 得 4 x 。 当0 4 x 时, 0gx；当 4 x 时, 0g x,所以 4 min 2 4 g xge 。因此 4 2ae 。 12. 【解析解析】 双曲线的标准方差是 22 1 11 162 xy ,其右焦点是 3 ,0 4 。 所以 3 24 p , 3 2 p ,抛物线C是 2 3yx。 联立 2 3 ykxb yx 消去y,化简整理得 222 230k xkbxb。 由 2 22 2340kbk b 得 ,129kb, 3 4 kb
19、 。 因 为4AFBF, 所 以 12 3 4 2 xx, 即 12 5 2 xx。而 12 2 23kb xx k ,即 2 235 2 kb k ,解得 2 65 4 k b k 。代入 3 4 kb 得到, 2 653 44 k k k , 15 5 k 或 15 5 k 。 13.【答案答案】 0 xR, 2 00 22xx 14.【答案答案】 1 3 【解析解析】设点D是边BC的中点,则 2211 22 AO BCADDOBCAD BCABACACABACAB 即 21 94 2 AC , 2 1AC 。故 sin1 sin3 BAC CAB 。 15.【答案答案】16 3 【解析解
20、析】在图 4 中,连接AC,BD交于点O,则O是正四棱锥外接球的球心,正四棱锥的所有 棱 都 相 等 , 设 其 为x, 则 外 接 球 的 半 径 是 2 2 OAx, 所 以 2 2 416 2 x ,2 2x 。 因 此 2 2 2 SOOAx。故四棱锥SABCD的体积是 2 2 1116 2 22 333 xSO。 16.【答案答案】 4 45 【解析解析】因为 121 21 21 21 2 n nn naa Sna ,所以 2 21nn Sa 就是21 n na 2 n a, 21 n an, * nN。等差数列 n a的首项 1 1a ,公差2d 。 因为一般项 12112 111
21、1 4 nnnnnnn a aaa aaa , 所以原式 12232345112 1111111 4 nnnn a aa aa aa aa aaa 2 1212 1112 43 21 23 nn nn a aaann 。 即 2 2 211 3 212342 nn nn nn 。 所 以 存 在 * nN, 使 4 3 21 23nn 成 立 , max 44 3 21 2345nn 。故实数的最大值是 4 45 。 17.【解析解析】 （1）由已知2 sinm naA,得2 sin2sin2sinaAbcBcbC 再根据正弦定理有, 2 222abc bcb c,即 222 abcbc。 由
22、余弦定理得, 222 2cosabcbcA, 1 cos 2 A 因为0,A,所以 2 3 A 。 （2）由（1）知 2 2 13 cos22sin1 2sin2sin2 sin 22 f BBBBBB 。 因为0 3 B ,所以 3 sin0, 2 B 。 因此当 1 sin 2 B 时, f B有最大值 3 2 此时2 sin3aRA,2 sin1bcRB。 故ABC的周长是23。 18.【解析解析】 （1）在图 4 中,ACBC,D是AB的中点,CDAB。 又VACB为直二面角,VCAC,VC底面ABC。 而AB 平面ABC,VCAB,且VCCDC,因此AB 平面VCD。 又AB 平面V
23、AB,平面VAB平面VCD。 （2） 以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则0,0,0C, 1,0,0A ,0,1,0B,0,0,1V,0,0,1CV 因为 1 4 BEBA,所以 1 3 ,0 4 4 E ,那么 1 3 ,0 4 4 CE 。 设平面VCE的法向量, ,tm n p, 由0CV t 得,0p 。 由0CE t 得, 13 0 44 mn。 所以3,1,0t 。 同理可以求得平面VAB的一个法向量1,1,1s 。 于是 2 3 130 cos, 15 331 s t s t s t 。 又二面角C VEA为锐角,所以二面角C VE
24、A的余弦值为 30 15 . 19.【解析解析】 （1）设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 22 11 2 22 22 2 1 12 1 12 xy b xy b ,相减得, 12121212 2 0 12 xxxxyyyy b ,所以 2 1212 1212 12 yyyyb xxxx , 即 12 2 12 12 12 0 2 12 0 2 yy yyb xx xx 。 所以 2 11 1222 ABOQ b kk , 2 3b 。 故椭圆C的方程是 22 1 123 xy 。 （2）设直线 1 : 2 l yxm交椭圆于 11 ,S x y, 22 ,T xy, 由 22
25、1 2 412 yxm xy 消去y得, 22 22120 xmxm。 因此 12 xxm, 2 12 12 2 m x x 。 于是 2222 22 1122 PSPTxmyxmy 222 2 12121212 555 222 444 xmxmxxx xm xxm 2222 5 122215 4 mmmm。 故 22 PSPT为定值,且为 15。 20.【解析解析】 （1） 2 121 21 axx fxax xx ,0 x。 若0a, 1x fx x , f x在0,1内单增,在1,内单减。 若0a,由 2 210axx 知,1 8a 。 当1 80a ,即 1 8 a 时, 2 210a
26、xx ,此时 f x在0,内单增。 当1 80a ,即 1 0 8 a时, 11 8 4 a x a 。 此时 f x在 11 8 0, 4 a a , 11 8 , 4 a a 内单增, 在 11 811 8 , 44 aa aa 内单减。 （2）因为 22 1ln xx g xf xea xxexx, 所以 3 1 1 2 g xx就是 23 1 1 2 x exxx,即 23 1 10 2 x exxx 。 令 23 1 1 2 x h xexxx,0 x,则 2 3 21 2 x h xexx ,0 x, 23 x hxex ,0 x。 由 30 x hxe 得,ln3x ,ln3 h
27、 是 hx的最小值。 于是 ln35 3ln30hxh , h x在0 x时单增, 所以 00h xh, h x在0 x时单增。 故当0 x时, 00h xh,即 3 1 1 2 g xx。 21.【解析解析】 （1） 2 2 200 30 40 110 20 3.17 140 60 50 150 K , 由于3.173.841,故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关； （2） （i）若潜伏期服从 2 7.1,2.25N,由 1 0.9974 13.850.0013 2 P Z , 得潜伏期超过 14 天的概率很低,因此隔离 14 天是合理的。 （ii）由于 200 个病例中有 50 个
28、属于“长潜伏期”,将样本频率视作概率,一个患者属于“长潜伏期”的概率 是 1 4 ,又另随机抽取的 25 个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X,则 1 25, 4 XB ,则 25 4 E X , 且 25 * 25 13 ,025 44 kk k P XkCkNk 。 由 25126 1 2525 25124 1 2525 1313 4444 1313 4444 kkkk kk kkkk kk CC CC ,得11 13 22 k,又 * kN,所以6k 。 故X的数学期望是 25 4 ,P Xk取最大值时k的值为 6。 22.【解析解析】 （1）当1k 时, 2cos 3sin k k
29、xt yt 就是 2cos 3sin xt yt ,即 cos 2 sin 3 x t y t 。 因为 22 sincos1tt,所以 22 1 49 xy 。 故曲线 1 C以坐标原点为中心,焦点在y轴上,长轴长为 6,短轴长为 4 的椭圆。 （2）当4k 时, 2cos 3sin k k xt yt 就是 4 4 2cos 3sin xt yt ,即 2 2 cos 2 sin 3 x t y t 。 因为 22 sincos1tt,所以1 23 xy ,即为曲线 1 C的普通服从。 因为曲线 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50, 所以其直角坐标方程是2850 xy。 联立 1
30、 23 2850 xy xy 解得, 1 2 3 4 x y 。故 1 C与 2 C的公共点的直角坐标是 1 3 , 2 4 23.【解析解析】 （1）2a时,不等式 1f x 就是321xx。 因为 5, 2 21, 23 5, 3 x f xxx x 所以 1f x 等价于 2 51 x 或 23 0 x x 或 3 51 x ,因此0 x。 故不等式 1f x 的解集是,0。 （2）因为abab,所以 333f xxxaxxaa。 因此 f x的最大值为3a。 则对于任意实数x, 2f xa恒成立等价于32aa 。 当3a 时,3 2aa ,得3a；当3a时,3 2aa ,1a,不成立。 综上可知,a的取值范围是3,。
