1、1 南通市南通市 2021 届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试 数学数学 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题一、选择题.本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1设
2、集合26AxxN， 2 log (1)2Bxx，AB A35xx B25xx C3,4 D3,4,5 【答案】【答案】C 2已知2i是关于x的方程 2 50 xax的根，则实数a A2i B4 C2 1 2 D4 【答案】【答案】B 3哥隆尺是一种特殊的尺子.图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6. 图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A11 B13 C15 D17 【答案】【答案】C 4医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一 室模型来进行描述.在该模型中， 人体内药物含量x（单位：mg） 与给药时间t（单 2 位：h）近似满足锤子数学函数
3、关系式 0 (1e) kt k x k ，其中 0, k k分别称为给药速 率和药物消除速率（单位：mg/h）.经测试发现，当23t 时， 0 2 k x k ，则该药物 的消除速率k的值约为(ln20.69) A 3 100 B 3 10 C10 3 D100 3 【答案】【答案】A 5(12 )nx的二项展开式中，奇数项的系数和为 A2n B 1 2n C ( 1)3 2 nn D ( 1)3 2 nn 【答案】【答案】C 6函数 sin 21 x y x 的图象大致为 【答案】【答案】D 7已知点P是ABC所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PAPBPC 0； 乙：()()PAPAPB
4、PCPAPB； 丙：PAPBPC； 丁：PA PBPB PCPC PA. 3 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A甲 B乙 C丙 D丁 【答案】【答案】B 【解析解析】若甲成立，则P是锤子数学ABC的重心； 若乙成立，则ABAC； 若丙成立，则P是ABC外心； 若丁成立，则P是ABC垂心. 甲丙丁至少有两个成立，不论哪两个成立，都可以得到P是中心. ABC是正三角形，另外一个也成立. 只有乙不成立. 故选：B. 8已知曲线lnyx在 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy两点处的切线分别与曲线exy 相切于 33 (,)C x y， 44 (,)D xy，则 1234 x xy y
5、的值为 A1 B2 C 5 2 D17 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】依题意有 3 3 1 13 1 ln11 x x e x xxe ，且 4 4 2 24 1 ln11 x x e x xxe 得 111 222 1 ln1 1 ln1 xxx xxx ， 记 1 ln1g xxxx，则 1 ln11111 1 ln1 xxx g xxxxx 所以可知 1 2 1 x x ，得 12 1x x 则 123412 12 1 2x xy yx x x x ，故选 B. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项
6、中，有在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 4 9已知,m n是两条不重合的直线，, 是两个不重合锤子数学的平面，则 A若m，n，则mn B若m，m，则 C若，m，n，则mn D若，m，n，则mn 【答案】【答案】BC 10已知函数( )sin 2 6 f xx ，则 A( )f x的最小正周期为 B将sin2yx的图象上所有点向右平移 6 个单位长度，可得到( )f x的图象 C( )f x在, 6 3 上单调递增 D点 5 ,0 12 是( )f x图象的一个
7、对称中心 【答案】【答案】ACD 11若函数 3 2,1, ( ) 1ln ,1 xxmx f x xxx 的值域为2,)，则 A(3)(2)ff B2m C ln21 2e ff D (1) log (1)log(2) mm mm 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】( )f x在(,1)，(1,)，A 正确； ( )f x的锤子数学值域为2,)，1 122m ，2m，B 正确； ln ( ) x g x x ， 2 1ln ( )0 x g x x ，ex， ( )g x在(0,e)，(e,)， max 1 ( )(e) e g xg， 5 ln21 1 2e ， ln21 2e ff
8、 ，C 错误； 1 ln(2)ln(1) log(2)log (1) ln(1)ln mm mm mm mm 2 lnln(2)(ln(1) ln(1)ln mmm mm 2 2 (lnln(2) (ln(1) 4 ln(1)ln mm m mm 2222 (ln(2 )(ln(21) 0 4ln(1)ln mmmm mm 1 log(2)log (1) mm mm ，D 正确； 故选：ABD. 12冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人 们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续 7 天，每天不超 过 5 人体温高于 37.3， 则称没有发生群体
9、性发热.下列连续 7 天体温高于 37.3 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为 A中位数为 3，众数为 2 B均值小于 1，中位数为 1 C均值为 3，众数为 4 D均值为 2，标准差为2 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】中位数为 3，众数为 2， 则 7 天数据为 1，2，2，3，4，5，6，不能判定，A 错误； 中位数为 1，7 天, , , , ,x y z a b c， 1xyzabc ，17xyzabc ， cy ，可以判定 B 正确； 均值为 3，7 天数据和为 21. 若 7 天数据锤子数学为 0，1，2，3，4，4，7，不可判定，C 错误； 均值为 2
10、，标准差为2，方差为 2， 则 2222222 1234567 1 (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)2 7 xxxxxxx 222222 123467 (2)(2)(2)(2)(2)(2)14xxxxxx 6 其中不可能有6 i x ，可以判定，D 正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13在正项等比数列 n a中，若 357 27a a a ，则 9 3 1 log i i a _. 【答案】【答案】9 14已知双曲线C的渐近线方程为2yx ，写出双曲线C的一个标准方程： _. 【答案】【答案】 2
11、 2 1 4 y x 15 “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一.定理的内 容是这样的：如图，ABC的三条边长分别为BCa， ACb，ABc.延长线段CA至点 1 A，使得 1 AAa，以 此类推得到点 2121 ,A B B C和 2 C，那么这六个点共圆，这 个圆称为康威圆.已知4a ，3b ，5c ，则由ABC生 成的康威圆的半径为_. 【答案】【答案】37 【解析】【解析】过圆心O分别作,AB AC BC的高，锤子数学垂足分别为,E D F 则E为 11 AB中点，OE为ABC内切圆半径. 1OE ， 2 6A E ， 2 37OA. 7 【15 题拓展】题拓展】
12、Conway Circle 半径 2222 IPPFIpFr 222222 a bb cc aabbccaabc abc 其中ABC的半周长 2 abc p ， ABC的内切圆半径 21 2 abcabcabcs r abcabc . 16已知在圆柱 12 OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过 直线 12 OO的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为 8.若P为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB与球O的交线长为_. 【答案】【答案】 4 10 5 【解析】【解析】 法一：法一：由残缺美学残缺美学拿出三角形POO 21 ，则 易知 2 1 tan， 5 1 sin， 5
13、2 5 1 2OH 8 再拿出来： 5 8 ) 5 2 ()2( 22 r 5 104 25 40 22rl. 法二：暴击法法二：暴击法 )0 , 0 ,2(P，)22 ,2, 0( A，)22 ,2, 0(B，)2, 0 , 0(0 则 5 2 21 |222| 22 d，则 5 8 r， 5 104 25 40 22rl. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤. 17 （10 分）已知等差数列 n a满足 1 235 nn aan . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记
14、数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n S.若 * n N， 2 4 n S（为偶数） ，求 的值. 【解析】【解析】 （1）设等差数列首项为 1 a，公差d 等差数列 n a，dnaan) 1( 1 532 1 naa nn ， 112 82 32 21 aa aa ， 则 11)2(2 8)(2 11 11 dada daa ，解得： 1 2 1 d a ，1 nan. （2）1 nan， 2 1 1 1 )2)(1( 11 1 nnnnaa nn 数列 1 1 nna a 的前n项和： 9 1433221 1 . 111 nn n aaaaaaaa S ) 2 1 1 1 (.)
15、6 1 5 1 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 ( nn2 1 2 1 n Nn，4 2 n S， Nn，4 2 1 2 1 2 n 2 1 4 2 ，0182 2 ， 2 144 2 144 为偶数，2. 18 （ 12 分 ） 在 ()()bacbacac； co s ()s i n ()ABAB； t ans i n 2 AB C 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形 存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且2 2a， _，_？ 注：如果选择多个
16、方案分别解答，按第一个方案解答计分. 【解析】【解析】选 由 22 ()()()bac bacbacac 222 1 22 acb ac ， 1 cos 2 B， 3 B . 由cos()sin()2, 2 ABABABABkk Z 或2, 2 ABABkk Z 4 Ak 或, 4 Bkk Z， 4 A . 2 2a ，由2 3 sinsin ab b AB ， 故存在，2 3b. 19（12 分） 2019 年 4 月， 江苏省发布了高考综合改革实施方案， 试行 “3 12 ” 10 高考新模式.为调研新高考模式下， 某校学生选择物理或历史与性别是否有关， 统 计了该校高三年级 800 名学
17、生的选科情况，部分数据如下表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 （1） 根据所给数据完成上述表格， 并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择 物理或历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该 类学生中抽取 5 人， 组成数学学习小组.一段时间后， 从该小组中抽取 3 人汇报数 学学习心得.记 3 人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望()E X. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.8410
18、 6.635 10.828 【解析】【解析】 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计 400 400 800 （1） 2 2 800 (300 150250 100)160 10.828 550 250 400 40011 K 故有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. （2）抽取的男女比例为2:3，故抽取 5 人中男生 2 人，女生 3 人. X的所有可能取值为 0，1，2 11 3 3 3 5 1 (0) 10 C P X C ， 12 23 3 5 63 (1) 105 CC P X C ， 21 23 3 5 3
19、(2) 10 C C P X C X的分布列如下： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 1336 ()012 105105 E X . 20 （12 分）如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至ABF， 使得平面ABF平面BCDEF，O，H分别为BF和A C的中点. （1）证明：OH平面AEF； （2）求平面A BC与平面ADE所成锐二面角的余弦值. 【解析】【解析】 （1）证明：取AB中点M，连接OM，MH，OMAF，MHBC 又BCEF，MHEF，OM平面AEF，MH平面AEF ,OM MH 平面MOH，OMMHM，平面MOH平面AEF OH平面AEF （2）平
20、面ABF平面BCDEF，平面ABF平面BCDEFBF AOBF，A O平面BCDEF，又DOBF 如图锤子数学建立空间直角坐标系，设2BC ，1,3AOOD 12 (0,0,1) A ，( 3,0,0)B，( 3,2,0)C，(0,3,0)D，(3,2,0)E ( 3,0, 1)A B，(0,2,0)BC ，(0,3, 1)A D，(3, 1,0)DE 设平面A BC，平面ADE的法向量分别为 1111 ( ,)nx y z， 2222 (,)nxy z 1 11 1 1 1 0 30 (1,0, 3) 200 nA B xz n ynBC 22 2 2 22 2 30 0 ( 1, 3,3
21、3) 300 yz nA D n xynDE 设平面A BC与平面ADE所成角为， 12 ,n n所成角为 12 12 84 31 coscos 31231 n n nn . 21 （12 分）已知函数 2 2ln ( ) x f xxa x . （1）若( )0f x ，求实数a的取值范围； （2）若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 12 1x x . 【解析】【解析】 （1） 2 min 2ln ( )0 x f xax x 令 2 2ln ( ) x F xx x ， 3 22 22ln2(ln1) ( )2 xxx F xx xx 令 3 ( )ln1xxx，显然(
22、)x在(0,)上，注意到(1)0 当01x时，( )0 x，( )0F x，( )F x； 13 当1x 时，( )0 x，( )0F x，( )F x min ( )(1)1F xF，1a ，即锤子数学实数a的取值范围为(,1 （2）由（1）知( )f x在(0,1)上，(1,)上 要使( )f x有两个零点，则 min ( )(1)101f xfaa 此时 1 (0,1)x ， 2 (1,)x 要证 12 1x x ，只需证 2 1 1 x x 证 2 1 1 ()f xf x ，即证 1 1 1 ( )f xf x 令 2 2 12ln1 ( )( )2 ln x g xf xfxxx
23、xxx 111 2lnxxx x xxx 11 2lnxxx xx 令 1 ( )2ln ,(0,1)h xxx x x 22 222 1221(1) ( )10 xxx h x xxxx ( )h x在(0,1)上，( )(1)0h xh， 1 ( )0f xf x ，(0,1)x 1 1 1 ( )f xf x ，证毕！ 22 （12 分）已知点,A B在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上，点A在第一象限，O为 坐标原点，且OAAB. （1）若3a ，1b，直线OA的方程为30 xy，求直线OB的斜率； （2）若OAB是等腰三角形（点, ,O A B按顺时针排列） ，求 b
24、a 的最大值. 【解析】【解析】 （1）3 AB k ， 2 2 3 3 2 11 3 2 xy x x y y ， 3 1 , 2 2 A 14 AB方程为 31 335 22 yxyx 22 22 35 3(53 )3(23)(712)0 33 yx xxxx xy 12 7 B x 121 , 77 B ， 1 12 OB k . （2）设直线OA的方程为(0)ykx k， 222222 ykx b xa ya b 222222 , abakb A a kba kb 过A作AMy轴于点M， 过B作BNMA交其延长线于点N 222222 (1)(1) , abkab k B a kba kb ，B在椭圆上 222222 2222 222222 (1)(1)a bka b k baa b a kba kb 2222 2222222 222222 (1)(1) 1(12)(21) bka k bkka kka kb a kba kb 222 (2 )(21)b kkak 2 22 21 ,0 2 bk k akk ，令21km ，只需考虑0m的情形 2 222 444 5 6562 5 1 6 1 2 bmm amm m m m m 251 251 b a .
