1、第 1 页，共 5 页 无锡市第六高级中学高二年级第二学期期初数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 命题“x0R，x20 x010”的否定为( ) A. x0R，x20 x010 B. x0R，x20 x010 C. x0R，x2x10 D. xR，x2x10 2. 在等差数列an中，若 a2a88，则(a3a7)2a5( ) A. 60 B. 56 C. 12 D. 4 3. 在等比数列an中，a1a3a44，则 a6的所有可能值构成的集合是( ) A. 6 B. 8，8 C. 8 D. 8 4. 已知 a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若 a
2、，b，c 三向量共面， 则 ( ) A. 9 B. 9 C. 3 D. 3 5. 已知 F1，F2是双曲线 E： x2 a2 y2 b21 的左、 右焦点， 点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直， sinMF2F11 3，则 E 的离心率为( ) A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 6. 若抛物线 y24x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直 线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A. 2 B. 13 5 C. 14 5 D. 3 7. 已知关于 x 的不等式 kx26kxk80 对任意 xR 恒成立，则 k 的取值范围是 ( )
3、 A. 0k1 B. 0k1 C. k1 D. k0 或 k1 8. 若曲线 yex在 x0 处的切线也是曲线 yln xb 的切线，则 b( ) A. 1 B. 1 C. 2 D. e 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9已知等比数列*+中，满足1= 1, = 2，则( ) A. 数列*2+是等比数列 B. 数列 1 是递增数列 C. 数列*log2+是等差数列 D. 数列*+中，10,20,30仍成等比数列 10. 已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y 3 3 x，则下列结论正确的是( ) A. C 的方程为x 2 3 y21 B. C 的离心率为 3 C.
4、曲线 yex- 21 经过 C 的一个焦点 D. 直线 x 2y10 与 C 有两个公共点 11. 设 a1，b1，且 ab(ab)1，那么( ) A. ab 有最小值 2( 21) B. ab 有最大值( 21)2 C. ab 有最大值 32 2 D. ab 有最小值 32 2 12. 已知函数() = 2+ (0) (0) cos + 2，其导函数为()，则 A. (0) = 1 B. (0) = 1 C. (0) = 1 D. (0) = 1 第 2 页，共 5 页 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 若关于 x 的不等式 ax26xa20 的解集为(1，m)，则实数
5、 a 的值为_，m 的值为_ 14. 已知数列nan的前 n 项和为 Sn，且 an2n，则 Sn_ 15. 若“ 1 2 , 2 ，使得2 2 + 1 0， 0， 且 + 2 = 3， 则 xy 的最大值为_， 3: 的最小值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分）设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0.若 q 是 p 的必要 不充分条件，求实数 a 的取值范围 18. （本小题满分 12 分）已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1. (1) 若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2) 若 l 与 C
6、交于 A，B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，求 AB 的长 19. （本小题满分 12 分）经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量 y(L) 与速度 x(km/h)(50 x120)的关系可近似表示为 y 1 75（x 2130 x4 900）， x50，80）， 12 x 60， x80，120. (1) 该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2) 已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车 速度为多少时总耗油量最少？ 20. （本小题满分 12 分）各项均不为 0 的数列an满足an 1（anan2） 2 an2a
7、n，且 a3 2a81 5. (1) 求证：数列 1 an 是等差数列，并求数列an的通项公式； (2) 若数列bn的通项公式为 bn an 2n6，求数列bn的前 n 项和 Sn. 21. （本小题满分 12 分）已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，左 顶点为 A.若 F1F22，椭圆的离心率为 e1 2. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 若 P 是椭圆上的任意一点，求PF1 PA 的取值范围 22. （本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1. (1) 求证：BE平
8、面 EB1C1； (2) 若 AEA1E，求二面角 B- EC- C1的正弦值 第 3 页，共 5 页 无锡市第六高级中学高二年级第二学期期初数学试卷答案 一、单项选择题 1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 7. A 8. C 二、不定项选择题 9. AC 10. AC 11. AD 12. BC 三、填空题 13. 2；2 14. 2(n1) 2n+1 15. (,22 16. 9 8； 7:26 3 四、解答题 17. 解： p 对应的集合Ax|yln(2x1)0 x 1 20， 解得 2k 2且 k 1. 所以 k 的取值范围是( 2，1)(1，1)(1， 2)
9、4 分 (2) 设交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)，得 x1x2 2k 1k22 2，即 2k 2k 20，解得 k 2 2 或 k 2. 因为 2k 2且 k 1，所以 k 2 2 . 所以 4k286，所以 AB （1k2） 1k26. 12 分 19. 解：(1) 当 x50，80)时，y 1 75(x 2130 x4 900)1 75(x65) 2675，当 x 65 时，y 有最小值，为 1 756759，当 x80，120时，函数 y12 x 60单调递减， 故当 x120 时，y 有最小值，为 10，因为 910，所以该型号汽车的速度为 65 km/h 时，
10、每小时耗油量最低 5 分 (2) 设总耗油量为 l， 由题意可知 ly 120 x ， 当 x50， 80)时， ly 120 x 8 5(x 4 900 x 130)8 5(2 x4 900 x 130)16，当且仅当 x4 900 x ，即 x70 时，l 取得最小值， 最小值为 16.当 x80，120时，ly 120 x 1 440 x 2 为减函数，故当 x120 时，l 取得 最小值，最小值为 10.因为 1016，所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最 少 12 分 20. (1) 证明：依题意，得 an1anan2an12an2an，两边同时除以 anan1an2， 第
11、 4 页，共 5 页 可得 1 an2 1 an 2 an1，故数列 1 an 是等差数列 设数列 1 an 的公差为 d. 因为 a32a81 5，所以 1 a35， 1 a810， 所以 1 a8 1 a355d，即 d1， 故 1 an 1 a3(n3)d5(n3)1n2， 故 an 1 n2. 5 分 (2) 解：由(1)可知 bn an 2n6 1 2 1 （n2）（n3） 1 2( 1 n2 1 n3)， 故 Sn1 2( 1 3 1 4 1 4 1 5 1 n2 1 n3) n 6（n3）. 12 分 21. 解：(1) 由题意，因为 F1F22，椭圆的离心率为 e1 2， 所以
12、 c1，a2， 所以 b 3， 所以椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. 4 分 (2) 设点 P(x0，y0)，A(2，0)，F1(1，0)， 所以PF1 PA (1x 0)(2x0)y 2 0 x 2 03x02y 2 0. 因为点 P 在椭圆上，所以x 2 0 4 y 2 0 3 1，y2033 4x 2 0， 所以PF1 PA 1 4x 2 03x05. 由椭圆方程，得2x02，二次函数 y1 4x 2 03x05 的图象开口向上，对称轴为 直线 x062， 当 x02 时，取最小值 0， 当 x02 时，取最大值 12. 12 分 所以PF1 PA 的取值范围是0，12 22
13、. (1) 证明：由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1， 故 B1C1BE. 又 BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面 EB1C1， 所以 BE平面 EB1C1. 4 分 (2) 解：由(1)知BEB190 . 由题设知 RtABERtA1B1E， 所以AEB45 ， 故 AEAB，AA12AB. 以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，|DA |为单位长度，建立如图所示的空 间直角坐标系 D- xyz，则点 C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB 第 5 页，共 5 页 (1，0，0)，CE (1，1，1)，CC 1 (0，0，2) 设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，z)，则 CB n0， CE n0，即 x0， xyz0， 所以可取 n(0，1，1) 设平面 ECC1的法向量为 m(x1，y1，z1)，则 CC1 m0， CE m0， 即 2z10， x1y1z10. 所以可取 m(1，1，0) 于是 cosn，m n m |n|m| 1 2. 所以二面角 BECC1的正弦值为 3 2 . 12 分
