1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年安徽省皖西南联盟高二（上）期末数学试卷（理学年安徽省皖西南联盟高二（上）期末数学试卷（理 科）科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设命题:(0,1)pt ，tan1t ，则p为( ) A(0,1)t ，tan1t B(0,1)t ，tan1t C(0,1)t ，tan1t D(0,1)t ，tan1t 2 （5 分）椭圆 22 1 69 xy 的短轴长
2、为( ) A6 B2 6 C3 D6 3 （5 分）某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家 务，体验父母的艰辛某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的 概率为( ) A 7 10 B 3 5 C 1 2 D 2 5 4 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，AC与BD的交点记为M设 1 A Aa， ABb，ADc，则下列向量中与 1 MB相等的向量是( ) A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 5 （5 分）已知双曲线 22 :1 4 xy C m ，经过点(2
3、,2)，则C的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D 2 2 yx 6 （5 分）已知，是三个不同的平面，l是一条直线( ) A若，则/ / B若，则 C若/ /l，/ /l，则/ / D若l，l，则/ / 7 （5 分）已知函数( )7 x f xe，则“2m ”是“( )0f m ”的( ) 第 2 页（共 17 页） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）若双曲线 2 2 :1 x Cy m 的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为( ) A 15 3 B 5 2 C 4 15 15 D 4 5 5 9 （5
4、分）执行如图所示的程序框图，则输出的(x ) A153 B143 C133 D123 10 （5 分） 斜率为 1 4 的直线l与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 相交于A，B两点， 且l过C的 左焦点，线段AB的中点为( 2,1)M ，C的右焦点为F，则AFB的周长为( ) A 48 7 7 B 24 7 7 C 48 14 7 D 24 14 7 11 （5 分）在四面体PABC中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面 体外接球的表面积为( ) A12 B14 C16 D18 12 （5 分）已知P为直线:60l xy上一个定点，M，N为圆 22 :421
5、0C xyy上 两个不同的动点若MPN的最大值为60，则点P的横坐标为( ) A434 B334 C430 D330 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）设向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD，则实数m 第 3 页（共 17 页） 14 （5 分） 在ABC中， 已知( 5,0)A ，(0,2)C， 若BC边所在的直线方程为5360 xy， 且BC边的中线所在的直线方程为1350 xy， 则过点B且与直线AC平行的直线方程为 .（用一般式表示
6、） 15 （5 分）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取 200 名同学参加课外知识测 试，测试共 5 道题，每答对一题得 20 分，答错得 0 分已知每名同学至少能答对 2 道题， 得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有 下列四个结论： 该次课外知识测试及格率为92%； 该次课外知识测试得满分的同学有 30 名； 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数； 若该校共有 3000 名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有 1440 名 其中所有正确结论的序号是 16（5分） 已知点( , )P m n是抛物线 2 1 4 yx
7、上一动点， 则 2222 (1)(4)(5)mnmn 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知直线 1:4 3100lxy与直线 2: 70laxby垂直，且 2 l经过点(1,1) （1）求 2 l的方程； （2）若 2 l与圆 22 11 :()25 2 C xy相交于A，B两点，求|AB 18 （12 分）某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯 利润n（单位：万元）的关系式为1.70.5(1nmm，2，3，4，
8、5)，投资新型项目B的投 资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资 60 万元，试预测哪个项目的收益 第 4 页（共 17 页） 更好 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 19 （12 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 （1）证明：/ /AB平面 11 C D E； （2）若O为平面 1111 A BC D的中心，求异面直线 1 C E与AO所成
9、角的余弦值 20（12 分） 如图， 在Rt ABC中，ACBC，30BAC，3BC ，3ACDC，/ /DEBC， 沿DE将点A折至 1 A处，使得 1 ACDC，点M为 1 A B的中点 第 5 页（共 17 页） （1）证明： 1 A B 平面CMD （2）求二面角BCME的余弦值 21 （12 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cxpy p和圆 22 2: 120Cxxy交于O，P两点，且 1 OP k，其中O为坐标原点 （1）求 1 C的方程； （2）过 1 C的焦点F且不与坐标轴平行的直线l与 1 C交于A，B两点，AB的中点为M， 1 C 的准线为 0 l，且 0 MQl，垂足为
10、Q证明直线AB，OQ的斜率之积T为定值，并求该定 值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 4FF ，且 2ab （1）求C的方程； （2）若A，B为C上的两个动点，过 2 F且垂直x轴的直线平分 2 AF B，证明：直线AB过 定点 第 6 页（共 17 页） 2020-2021 学年安徽省皖西南联盟高二（上）期末数学试卷（理学年安徽省皖西南联盟高二（上）期末数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
11、 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设命题:(0,1)pt ，tan1t ，则p为( ) A(0,1)t ，tan1t B(0,1)t ，tan1t C(0,1)t ，tan1t D(0,1)t ，tan1t 【解答】解：命题是特称命题，则:(0,1)pt ，tan1t ， 故选：A 2 （5 分）椭圆 22 1 69 xy 的短轴长为( ) A6 B2 6 C3 D6 【解答】解：由已知可得： 2 6b ，所以6b ， 所以椭圆的短轴长为22 6b ， 故选：B 3 （5 分）某高中高二年级组织
12、开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家 务，体验父母的艰辛某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的 概率为( ) A 7 10 B 3 5 C 1 2 D 2 5 【解答】解：周一至周五任选两天的所有情况为： （周一、周二） 、 （周一、周三） 、 （周一、周四） 、 （周一、周五） 、 （周二、周三） 、 （周二、周四） 、 （周二、周五） 、 （周三、周四） 、 （周三、周五） 、 （周四、周五） ，共 10 种， 其中连续两天的有 4 种，故所求概率为 42 105 ， 故选：D 4 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，AC与B
13、D的交点记为M设 1 A Aa， ABb，ADc，则下列向量中与 1 MB相等的向量是( ) 第 7 页（共 17 页） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 【解答】解：由题意知， 11 MBMBBB 1 1 2 DBBB 1 1 () 2 ABADAA 1 11 22 ABADAA 11 22 abc 故选：B 5 （5 分）已知双曲线 22 :1 4 xy C m ，经过点(2,2)，则C的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D 2 2 yx 【解答】解：依题意可得 22 22 1 4m ，解得2m ， 则C
14、的渐近线方程为2 b yxx a 故选：C 6 （5 分）已知，是三个不同的平面，l是一条直线( ) A若，则/ / B若，则 C若/ /l，/ /l，则/ / D若l，l，则/ / 【解答】解：若，则/ /或与相交，故A与B均不正确； 若/ /l，/ /l，则l可能与这两个平面的交线平行，即与可能相交，故C不正确； 若l，l，则/ /，故D正确 故选：D 7 （5 分）已知函数( )7 x f xe，则“2m ”是“( )0f m ”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 第 8 页（共 17 页） C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若( )0f m ，则7mln，因为
15、22 2.77e ，所以72ln ， 所以“2m ”是“( )0f m ”的充分不必要条件 故选：A 8 （5 分）若双曲线 2 2 :1 x Cy m 的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为( ) A 15 3 B 5 2 C 4 15 15 D 4 5 5 【解答】解：双曲线的标准方程为 2 2 1 x y m ， 依题意可得221mm， 解得 1 15 m ， 则 44 15 1 1515 em 故选：C 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的(x ) A153 B143 C133 D123 【解答】解：由题意，2yx，2zy， 247sxxxx ， 由算法的功能可知，
16、输出的 1001 143 7 x 故选：B 第 9 页（共 17 页） 10 （5 分） 斜率为 1 4 的直线l与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 相交于A，B两点， 且l过C的 左焦点，线段AB的中点为( 2,1)M ，C的右焦点为F，则AFB的周长为( ) A 48 7 7 B 24 7 7 C 48 14 7 D 24 14 7 【解答】解：易知直线l的方程为 113 (2)1 442 yxx ， 当0y 时，6x ，所以6c ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 12 2, 2 1 2 xx yy ，把A，B两点的坐标代入椭圆的方程
17、可得： 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 两式作差可得： 2222 2121 22 0 xxyy ab ，整理得 222 212121 222 212121 yyyyyyb axxxxxx 2 2 21136 448 a a ，解得 12 14 7 a ， 则由椭圆的定义可得FAB的周长为 48 14 4 7 a ， 故选：C 11 （5 分）在四面体PABC中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面 体外接球的表面积为( ) A12 B14 C16 D18 【解答】解：由PAPB，3PAPB，可知3 2AB 因为2 3AC ，6BC ，所
18、以 222 ABACBC，即ACBC 设AB的中点为O，则 3 2 2 OAOBOCOP， 即四面体的外接球半径为 3 2 2 ，外接球表面积为18 故选：D 12 （5 分）已知P为直线:60l xy上一个定点，M，N为圆 22 :4210C xyy上 两个不同的动点若MPN的最大值为60，则点P的横坐标为( ) A434 B334 C430 D330 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：圆C的标准方程为 22 (2)25xy，其圆心(0, 2)C，半径5r ， 点C到l的距离4 25d ，l与圆C相离， 当PM，PN分别为圆C的切线时，MPN最大， 由MPN的最大值为60，可知30M
19、PC，| 210PCr 设( ,6)P x x，则 222 (8)100PCxx， 解得：434x 故选：A 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）设向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD，则实数m 6 【解答】解：向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD， 240AB CDm，解得6m ， 故答案为：6 14 （5 分） 在ABC中， 已知( 5,0)A ，(0,2)C， 若BC边所在的直线方程为5360 xy， 且BC边的中线
20、所在的直线方程为1350 xy， 则过点B且与直线AC平行的直线方程为 25210 xy .（用一般式表示） 【解答】解：设( , )B a b，则BC边的中点坐标为 2 (,) 22 a b ， 代入1350 xy，得 2 1350 22 ab 又5360ab， 解得 3 3 a b ，则点B的坐标为(3, 3) 第 11 页（共 17 页） 因为 2 5 AC k， 所以所求直线方程为 2 3(3) 5 yx，即25210 xy 故答案是：25210 xy 15 （5 分）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取 200 名同学参加课外知识测 试，测试共 5 道题，每答对一题得 20
21、分，答错得 0 分已知每名同学至少能答对 2 道题， 得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有 下列四个结论： 该次课外知识测试及格率为92%； 该次课外知识测试得满分的同学有 30 名； 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数； 若该校共有 3000 名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有 1440 名 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由图可知及格率18%92% ，故正确； 该次课外知识测试满分同学的百分比18%32%48%12% ，12%20024名，故 错误； 中位数为 80 分，平均数40 8%6032%8048%100
22、 12%72.8分，故正确； 3000 (48% 12%)1800，故错误 故答案为： 16（5分） 已知点( , )P m n是抛物线 2 1 4 yx 上一动点， 则 2222 (1)(4)(5)mnmn 的最小值为 6 【解答】解：由 2 1 4 yx ，得 2 4xy，则 2 1 4 yx 的焦点为(0, 1)F， 准线为 2222 :1.(1)(4)(5)l ymnmn的几何意义是： 第 12 页（共 17 页） 点( , )P m n到(0, 1)F与点(4, 5)A的距离之和， 根据抛物线的定义点( , )P m n到(0, 1)F的距离等于点( , )P m n到l的距离， 所
23、以 2222 (1)(4)(5)mnmn的最小值为1( 5)6 故答案为：6 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知直线 1:4 3100lxy与直线 2: 70laxby垂直，且 2 l经过点(1,1) （1）求 2 l的方程； （2）若 2 l与圆 22 11 :()25 2 C xy相交于A，B两点，求|AB 【解答】解： （1） 直线 1:4 3100lxy与直线 2: 70laxby垂直，且 2 l经过点(1,1)， 430 70 ab ab ，
24、 解得3a ，4b ， 故 2 l的方程为3470 xy； （2）圆 22 11 :()25 2 C xy的圆心坐标为 11 (0,) 2 C，半径为 5， 点 11 (0,) 2 C到 2 l的距离 22 11 |47| 15 2 3 5 34 d ， 2 | 2 258ABd 18 （12 分）某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯 利润n（单位：万元）的关系式为1.70.5(1nmm，2，3，4，5)，投资新型项目B的投 资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）根据（1）中的回归方程，若A，B两
25、个项目都投资 60 万元，试预测哪个项目的收益 更好 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 第 13 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由散点图可得， 12345 3 5 x ， 23578 5 5 y ， 5 1 5 22 1 5 855 3 5 1 555 9 5( ) ii i i i x yxy b xx ， 5 1 32aybx ， 则y关于x的线性回归方程为2yx； （2）当6m 时，1.760.59.7n （万元） ， 当6x 时，28yx（万元） 9.78，A项目收益更好
26、19 （12 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 （1）证明：/ /AB平面 11 C D E； （2）若O为平面 1111 A BC D的中心，求异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （1）证明：在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 / / /ABCDC D， 11 / /ABC D， AB平面 11 C D E， 11 C D 平面 11 C D E， / /AB平面 11 C D E （2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 设2AB ，则(2A，
27、0，0)，(1O，1，2)， 1(0 C，2，2)，(2E，2，1)， 1 (2C E ，0，1)，( 1AO ，1，2)， 1 1 1 42 30 cos, 15| |56 C E AO C E AO C EAO ， 异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为 2 30 15 20（12 分） 如图， 在Rt ABC中，ACBC，30BAC，3BC ，3ACDC，/ /DEBC， 沿DE将点A折至 1 A处，使得 1 ACDC，点M为 1 A B的中点 （1）证明： 1 A B 平面CMD （2）求二面角BCME的余弦值 【解答】 （1）证明：由DCBC， 1 ACDC，且 1 ACBCC，
28、 1 AC 平面 1 ACB，BC 第 15 页（共 17 页） 平面 1 ACB， 可得DC 平面 1 ACB，因此 1 DCA B 由30BAC，3BC ，得333ACBCDC， 因此1DC ， 1 2ADAD，由勾股定理可得 22 11 3ACADDCBC 又因为点M为 1 A B的中点，所以 1 CMAB， 而CDCMC，CM 平面CMD，CD 平面CMD，故 1 A B 平面CMD （2）解：因为DECD， 1 DEAD，CD，DE 平面 1 ACD， 1 AD 平面 1 ACD， 所以DE 平面 1 ACD，又/ /BCDE，所以BC 平面 1 ACD 如图， 以C为原点， 建立空
29、间直角坐标系Cxyz， 则 33 (0,) 22 M， 2 3 (1,0) 3 E，(0, 3,0)B， 易知 1 (1,0,0)n 是平面CMB的一个法向量 设平面CME的法向量为 2 ( , , )nx y z，则，即， 令3y ，得 212 210 ( 2, 3,3).cos, 51433 nn n ， 易知二面角BCME为锐角，故二面角BCME的余弦值为 10 5 21 （12 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cxpy p和圆 22 2: 120Cxxy交于O，P两点，且 1 OP k，其中O为坐标原点 （1）求 1 C的方程； （2）过 1 C的焦点F且不与坐标轴平行的直线l与 1
30、 C交于A，B两点，AB的中点为M， 1 C 的准线为 0 l，且 0 MQl，垂足为Q证明直线AB，OQ的斜率之积T为定值，并求该定 第 16 页（共 17 页） 值 【解答】 （1）解：由O为坐标原点，且1 OP k，得直线OP的方程为yx， 代入圆 2 C的方程，得 22 120 xxx，解得0 x 或6x ，则(6,6)P 将点P的坐标代入 1 C的方程，得 2 626p，则3p ， 故 1 C的方程为 2 6xy （2）证明：由（1）可知 3 (0,) 2 F， 0 3 : 2 ly 设直线l的方程为 3 (0) 2 yxkk， 联立 2 3 2 6 yx xy k ，整理得 2 6
31、90 xxk， 2 36360k 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 6xx k， 所以点M的横坐标为3k， 则 3 1 2 32 OQ k kk ， 所以 11 () 22 ABOQ T kkk k ，故T是定值，且定值为 1 2 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 4FF ，且 2ab （1）求C的方程； （2）若A，B为C上的两个动点，过 2 F且垂直x轴的直线平分 2 AF B，证明：直线AB过 定点 【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为c， 因为 12 | 42FFc
32、，所以2c ， 则 22 4ab，又2ab，所以 2 8a ， 2 4b ， 故椭圆C的方程为 22 1 84 xy ； （2）由题意可得直线AB的斜率存在， 2(2,0) F， 第 17 页（共 17 页） 设直线AB的方程为yxmk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 28 yxm xy k 可得 222 (1 2)4280 xmxm kk， 则 222222 164(1 2)(28)648320mmmkkk， 且 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 28 12 m x x k ， 设直线 2 F A， 2 F B的倾斜角分别为， 则， 22 12 12 0 22 F AF B yy xx kk，代入 11 yxmk， 22 yxmk， 所以 1212 2(2 )40 x xmx xmkk， 即有 2 22 284 2(2)40 1212 mm mm k kk kk ， 化简可得4m k， 则直线AB的方程为4(4)yxxkkk， 故直线AB过定点(4,0)
