1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知01x，01y，记Mxy，1Nxy，则M与N的大小关系是( ) AMN BMN CMN DM与N的大小关系不确定 2（5 分） 在ABC中， 角A，B，C的边长分别是a，b，c， 若2 2a ，45A ，60B ， 则(b ) A3 B2 C1
2、 D2 3 3 （5 分）在等差数列 n a中，若 456 15aaa，则 28 (aa ) A6 B10 C7 D5 4 （5 分）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法” ：以“宫” 为基本音， “宫”经过一次“损” ，频率变为原来的 3 2 ，得到“徵” ； “徵”经过一次“益” ， 频率变为原来的 3 4 ，得到“商” ； 依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、 角”五个音阶据此可推得( ) A “宫、商、角”的频率成等比数列 B “宫、徵、商”的频率成等比数列 C “商、羽、角”的频率成等比数列 D “徵、商、羽”的频率成等比数列 5 （5 分）已知双曲线的
3、一条渐近线方程为2yx，且经过点(2,2 5)，则该双曲线的标准 方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 2 2 1 4 y x D 2 2 1 4 x y 6 （5 分）测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一 水平面内的两个观测点C和D，如图，测得15BCD，30BDC，30CDm，并在 C处测得建筑物顶端A的仰角为60，则建筑物AB的高度为( ) 第 2 页（共 20 页） A30 6m B15 6m C5 6m D15 2m 7 （5 分）如图，正三棱柱 111 ABCABC中，1AB ， 1 2AA ，D是 1 BB的中
4、点，则AD与 平面 11 AAC C所成角的正弦值等于( ) A 2 2 B 6 4 C 3 2 D 10 4 8 （5 分）已知平面向量, ,a b e满足：| | 1be，0b e，| 4aeae，则 |abae的最小值为( ) A42 B42 C 3 5 2 D53 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知向量(4, 2, 4),(6,
5、3,2)ab ，则下列结论不正确的是( ) A(10, 5, 2)ab B(2, 1,6)ab C10a b D| 6a 10 （5 分）下列式子，可以是 2 1x 的一个充分不必要条件的有( ) 第 3 页（共 20 页） A1x B01x C11x D10 x 11 （5 分）设 n a是等差数列， n S是其前n项的和，且 56 SS， 678 SSS，则下列结论 正确的是( ) A0d B 6 S与 7 S是 n S的最大值 C 95 SS D 7 0a 12 （5 分）下列函数中，最小值为2 2的有( ) A 2 (0)yxx x B 2 sin(0) sin yxx x C2 xx
6、 yee D 2 log2log 2 x yx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上. 13 （5 分）命题xR ， 2 24 0 xx 的否定为 14 （5 分）抛物线 2 1 4 yx的准线方程是 15 （5 分）已知关于x的不等式 2 (6)(4)0mxmx（其中)mR的解集为A，若满足 AZB（其中Z为整数集） ，则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是 16 （5 分） 把半椭圆： 22 22 1(0) xy x ab 和圆弧： 222 (1)(0)xya x合成的曲线称为 “
7、曲 圆” ，其中点(1,0)F是半椭圆的右焦点， 1 A， 2 A分别是“曲圆”与x轴的左、右交点， 1 B， 2 B分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知 12 120B FB，过点F的直线与“曲圆”交 于P，Q两点，则半椭圆方程为 (0 )x， 1 A PQ的周长的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 2 ( )12f xmxmx （1）当1m 时，解不等式( )0f x ； （2）若不等式( )0f x 的解集为R，求实数m的取
8、值范围 18 （12 分）已知点(2,)Pm是抛物线 2 :2(0)C ypx p上的点，F为抛物线的焦点，且 | 4PF ，直线:(2)l yxk与抛物线C相交于不同的两点A，B （1）求抛物线C的方程； 第 4 页（共 20 页） （2）若| 16AB ，求k的值 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 22 n n S n b为等差数列，其前n 项和为 n T，如图_， n T的图象经过A，B两个点 （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 nn ab的前n项和. n R从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上 面问题中并作答 20 （12 分）在AB
9、C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 12 () 5 ac bac （1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值； （2）是否存在ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由 21 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，BCAB，2 3BCCD， 2ABAD （1）若3PBBE，求证：/ /AE平面PCD； （2）若4PC ，求二面角APCB的正弦值 22 （12 分）已知数列 n a满足： 11 20 nnnn a aaa ，(2,)nnN， 1 1a ，前n项和为 第 5 页（共 20 页） n S的数列 n b满足： 1 1b ，
10、1 1 2 (2,) 12 nnn n nn aa a bnnN a a ，又 1 (2,) n n n S nnN b （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明： 23 1118 2 (1)(1)(1)(2,) 3 n nnN ccc 剠 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一
11、项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知01x，01y，记Mxy，1Nxy，则M与N的大小关系是( ) AMN BMN CMN DM与N的大小关系不确定 【解答】解：1(1)(1)(1)(1)MNxyxyx yyxy ， 01x，01y，10 x ，10y ， 0MN， MN 故选：B 2（5 分） 在ABC中， 角A，B，C的边长分别是a，b，c， 若2 2a ，45A ，60B ， 则(b ) A3 B2 C1 D2 3 【解答】解：由正弦定理知： sinsin ab AB ， 从而 3 2 2 sin 2 2 3 sin2 2 aB b A 故选：D 3 （5 分）在等差数列 n a中，
12、若 456 15aaa，则 28 (aa ) A6 B10 C7 D5 【解答】解：由等差数列的性质可得： 46285 2aaaaa 所以 456 15aaa，即 5 315a ， 5 5a ， 故 285 22510aaa， 故选：B 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法” ：以“宫” 为基本音， “宫”经过一次“损” ，频率变为原来的 3 2 ，得到“徵” ； “徵”经过一次“益” ， 频率变为原来的 3 4 ，得到“商” ； 依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、 角”五个音阶据此可推得( ) A “宫、商、角”的频率
13、成等比数列 B “宫、徵、商”的频率成等比数列 C “商、羽、角”的频率成等比数列 D “徵、商、羽”的频率成等比数列 【解答】解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损” ，可得“徵”的频率为 3 2 a， “徵” 经过一次“益” ，可得“商”的频率为 9 8 a， “商”经过一次“损” ，可得“羽”频率为 27 16 a，最后“羽”经过一次“益” ，可得“角” 的频率是 81 64 a， 由于a， 9 8 a， 81 64 a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A 5 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程为2yx，且经过点(2,2 5)，则该双曲线的标准 方程为( )
14、A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 2 2 1 4 y x D 2 2 1 4 x y 【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为2yx，则可以设其方程方程为 2 2 4 y xm，又由其过点(2,2 5)， 则有 45 4 4 m ， 解可得1m ， 则其方程为： 2 2 1 4 y x ， 其标准方程为： 2 2 1 4 y x， 故选：B 6 （5 分）测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一 第 8 页（共 20 页） 水平面内的两个观测点C和D，如图，测得15BCD，30BDC，30CDm，并在 C处测得建筑物顶端A的仰角为6
15、0，则建筑物AB的高度为( ) A30 6m B15 6m C5 6m D15 2m 【解答】解：由题意，在BCD中，15BCD，30BDC， 135CBD， 又30CDm， 由正弦定理得 sinsin BCCD BDCCBD ， 0 0 30 sin135 15 2 sin30 BC ； 在ABC中，90ABC，60ACB， tan6015 2315 6ABBC ； 则建筑物高AB为15 6m 故选：B 7 （5 分）如图，正三棱柱 111 ABCABC中，1AB ， 1 2AA ，D是 1 BB的中点，则AD与 平面 11 AAC C所成角的正弦值等于( ) 第 9 页（共 20 页） A
16、 2 2 B 6 4 C 3 2 D 10 4 【解答】解：以C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴， 1 CC 为z轴建立空间直角坐标系， 因为1AB ， 1 2AA ， 则有 1 3 1 (,0),(0,0,0),(0,0,2),(0,1,1) 22 ACCD， 故 1 3 13 1 (,0),(0,0,2),(,1) 2222 CACCAD ， 设平面 11 AAC C的法向量为( , , )nx y z， 则有 1 31 0 22 20 n CAxy n CCz ， 取1x ，则(1,3,0)n ， 设直线AD与平面 11 AAC C所成的角为， 则 |36
17、sin 4|24 AD n AD n 故选：B 8 （5 分）已知平面向量, ,a b e满足：| | 1be，0b e，| 4aeae，则 |abae的最小值为( ) A42 B42 C 3 5 2 D53 【解答】解：0b ebe，所以可建立平面直角坐标系如图所示， 第 10 页（共 20 页） 使 1 ( 1,0)OFe ， 2 (1,0)OFe，(0,1)ONb，( , )OPax y， | 4aeae由椭圆定义知，P点轨迹是以 1 F， 2 F为焦点的椭圆， 242aa，1c ， 22 3bac， 所以 2111 | | | 4 | 4(|) 4 | 42abaeBPPFBPPFPF
18、BPBF ， 当P运动到P时等号成立，所以|abae的最小值为42 故选：A 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知向量(4, 2, 4),(6, 3,2)ab ，则下列结论不正确的是( ) A(10, 5, 2)ab B(2, 1,6)ab C10a b D| 6a 【解答】解：向量(4, 2, 4),(6, 3,2)ab ， (10ab，
19、5，2)，故A正确； ( 2ab ，1，6)，故B错误； 246822a b，故C错误； |164166a ，故D正确 故选：BC 10 （5 分）下列式子，可以是 2 1x 的一个充分不必要条件的有( ) A1x B01x C11x D10 x 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：对于A，1x 时， 2 x有可能大于 1，比如31 ， 2 ( 3)1，故A错误； 对于B， 2 011xx ，故B正确； 对于C， 2 111xx ，故C错误 对于D， 2 101xx ，故D正确；故选：BD 11 （5 分）设 n a是等差数列， n S是其前n项的和，且 56 SS， 678 SSS，则
20、下列结论 正确的是( ) A0d B 6 S与 7 S是 n S的最大值 C 95 SS D 7 0a 【解答】解：设 n a是等差数列， n S是其前n项的和，且 56 SS， 678 SSS， 则由 56 SS得 12351256 aaaaaaaa，即 6 0a ， 又 67 SS， 1261267 aaaaaaa， 7 0a，故D正确； 同理由 78 SS，得 8 0a ， 76 0daa，故A正确； 而C选项 95 SS，即 6789 0aaaa，可得 78 2()0aa，由结论 7 0a ， 8 0a ，显然 C是错误的 56 SS， 678 SSS， 6 S与 7 S均为 n S的
21、最大值，故B正确； 故选：ABD 12 （5 分）下列函数中，最小值为2 2的有( ) A 2 (0)yxx x B 2 sin(0) sin yxx x C2 xx yee D 2 log2log 2 x yx 【解答】解；对于 22 :22 2A yxx xx ， 当且仅当 2 x x 时，即2x 取等号，此时取得最小值2 2，故A成立； 对于B：由0 x可得0sin1x， 令sin(0tx，1， 2 yt t 在(0，1上单调递减， 第 12 页（共 20 页） 当1t 时取得最小值 3，故B不成立； 对于C：令 x te，则0t ，则 22 22 2ytt tt ， 当且仅当 2 t
22、t 时，即2t 取等号，此时取得最小值2 2，C成立； 对于D，由于 2 log xR，所以设 2 log xt， 当0t 时， 22 2 22 log2log 2log2 2 x yxxt log xt ， 当且仅当 2 t t 时，即2t 取等号，此时取得最小值2 2； 当0t 时， 2 2 log2log 2()2 2 x yxt t ， 当且仅当 2 t t 时，即2t 取等号，此时取得最大值2 2 综上述2 2y或2 2y，故D不成立 故选：AC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答
23、题纸上. 13 （5 分）命题xR ， 2 24 0 xx 的否定为 xR ， 2 240 xx 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题， 命题xR ， 2 24 4xx 的否定是：xR ， 2 240 xx 故答案是xR ， 2 244xx 14 （5 分）抛物线 2 1 4 yx的准线方程是 1y 【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为 2 4xy， 2p，开口朝上， 准线方程为1y ， 故答案为：1y 15 （5 分）已知关于x的不等式 2 (6)(4)0mxmx（其中)mR的解集为A，若满足 AZB（其中Z为整数集） ， 则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是 2，3 【解答】 解
24、： 对m分类讨论： 若0m ， 不等式化为：40 x ， 解得4x ( 4,)A 此 时满足AZB的B有无数个元素 第 13 页（共 20 页） 若0m ，不等式化为： 2 6 ()(4)0 m xx m ，无论 2 6m m 与4的大小关系如何，此时满 足AZB的B有无数个元素 若0m ，不等式化为： 2 6 ()(4)0 m xx m ，解得 2 6 4 m x m ，此时满足AZB的 B有有限个元素由 2 6 ( ) m f m m ， 2 22 66 ( )1 m f m mm ， 可得6m 时，( )f m取得极小值即最小值，此时B中只含有 8 个元素，令 2 6 5 m m ，解
25、得2m ，323m 剟 综上可得：使得集合B中元素个数最少时m取值范围是2，3 故答案为：2，3 16 （5 分） 把半椭圆： 22 22 1(0) xy x ab 和圆弧： 222 (1)(0)xya x合成的曲线称为 “曲 圆” ，其中点(1,0)F是半椭圆的右焦点， 1 A， 2 A分别是“曲圆”与x轴的左、右交点， 1 B， 2 B分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知 12 120B FB，过点F的直线与“曲圆”交 于P，Q两点， 则半椭圆方程为 22 1 43 xy (0)x， 1 AP Q的周长的取值范围是 【解答】解：由 222 (1)(0)xya x，令0y ，可得1xa 以
26、及 1( 1 ,0)Aa ， 再由椭圆的方程及题意可得 2( ,0) A a， 2(0, ) Bb， 1(0, )Bb， 由 12 120B FB，可得3 b c ， 由(1,0)F可得3b ， 所以2a ， 所以半椭圆及圆弧的方程分别为 22 1(0) 43 xy x， 22 (1)4(0)xyx， 所以 1212 ( 1,0),(2,0),(0,3),(0, 3)AABB， 可得 1 A相当于椭圆的左焦点， 1 A PQ的周长为 11 PFPAAQQF， 当P从 2 A（不包括 2) A向 2 B运动时，24PAPFa， 当Q在y轴右侧时， 1 24AQQFa，所以这时三角形的周长为 8，
27、 第 14 页（共 20 页） 当P从 2 B向 1 A运动时，Q在第四象限， 则 1 24AQQFa， 112 224PFPArABa， 这时三角形的周长小于 8， 当P运动到 1 A时，Q在 2 A处，不构成三角形，三角形的周长接近 12 26A A ， 由曲圆的对称性可得P运动到x轴下方时，与前面的一样， 综上所述， 1 A PQ的周长的取值范围为(6，8 故答案为： 22 1 43 xy ；(6，8 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数
28、2 ( )12f xmxmx （1）当1m 时，解不等式( )0f x ； （2）若不等式( )0f x 的解集为R，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 ( )12f xmxmx 当1m 时，解不等式( )0f x ；即 2 120 xx 因式分解得：(4)(3)0 xx 解得：3x 或4x 不等式的解集为 | 3xx 或4x （2）当0m 时，此时( )12f x ，不等式( )0f x 的解集为R，恒成立 当0m 时，要使不等式( )0f x 的解集为R， 则0m ， 22 4480bacmm， 解得：480m 综上可得，实数m的取值范围是( 48，0 18 （12 分）已知
29、点(2,)Pm是抛物线 2 :2(0)C ypx p上的点，F为抛物线的焦点，且 第 15 页（共 20 页） | 4PF ，直线:(2)l yxk与抛物线C相交于不同的两点A，B （1）求抛物线C的方程； （2）若| 16AB ，求k的值 【解答】解： （1）由抛物线的定义知，| 24 2 p PF ， 4p， 抛物线C的方程为 2 8yx （2）抛物线C的方程为 2 8yx， (2,0)F， 直线l过点F， 设A、B两点的横坐标分别为 1 x， 2 x， 联立 2 (2) 8 yx yx k ，得 2222 (48)40 xxkkk， 2 12 22 488 4xx k kk ， 12 2
30、 8 |44416ABxx k ， 解得1k 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 22 n n S n b为等差数列，其前n 项和为 n T，如图_， n T的图象经过A，B两个点 （1）求数列 n a的通项公式； 第 16 页（共 20 页） （2）求数列 nn ab的前n项和. n R从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上 面问题中并作答 【解答】解： （1）由 1 22 n n S ，可得1n 时， 11 2aS， 2n时， 1 1 22(22)2 nnn nnn aSS ， 上式对1n 也成立， 所以数列 n a的通项公式为2n n a ，*nN；
31、（2）设等差数列 n b的公差为d， 选图，可得 1 1T ， 3 3T ， 即有 1 1b ， 1 3 1323 2 d ，解得2d ， 则12(1)32 n bnn ， (32 ) 2n n n a bn， 23 1 2( 1) 2( 3) 2(32 ) 2n n Rn ， 2341 21 2( 1) 2( 3) 2(32 ) 2n n Rn ， 两式相减可得 231 22(222 )(32 ) 2 nn n Rn 1 1 4(12) 22(32 ) 2 12 n n n ， 化简可得 1 (52 ) 210 n n Rn ； 选图，可得 1 1T ， 3 6T ， 即有 1 1b ， 1
32、 3 1326 2 d ，解得1d ， 则1(1) n bnn ， 2n n n a bn， 23 1 22 23 22n n Rn ， 2341 21 22 23 22n n Rn ， 两式相减可得 231 22222 nn n Rn 第 17 页（共 20 页） 1 2(12 ) 2 12 n n n ， 化简可得 1 (1) 22 n n Rn ； 选图，可得 1 3T ， 3 0T ， 即有 1 3b ， 1 3 ( 3)320 2 d ，解得3d ， 则33(1)36 n bnn ， (36) 2n n n a bn， 23 ( 3) 20 23 2(36) 2n n Rn ， 23
33、41 2( 3) 20 23 2(36) 2n n Rn ， 两式相减可得 231 63(222 )(36) 2 nn n Rn 1 1 4(12) 63(36) 2 12 n n n ， 化简可得 1 (39) 218 n n Rn 20 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 12 () 5 ac bac （1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值； （2）是否存在ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）若a，b，c成等差数列， 所以2acb， 由于 12 () 5 ac bac 所以 222 ()23 cos1
34、22 acacbb B acac ， 由于 12 () 5 ac bac， 所以 2 3364 cos11 2255 b B ac （2）假设B为直角， 则sin1B ， sincosCA， 由于 12 () 5 ac bac， 第 18 页（共 20 页） 根据正弦定理 12 (sinsin)sinsinsin 5 ACBAC， 即 6 sincossin2 5 AAA， 上式两边平方得： 2 36 1sin2sin 2 25 AA， 所以(9sin25)(4sin25)0AA， 由于0sin21A， 所以9sin250A，4sin250A， 与(9sin25)(4sin25)0AA矛盾，
35、故不存在ABC满足B为直角 21 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，BCAB，2 3BCCD， 2ABAD （1）若3PBBE，求证：/ /AE平面PCD； （2）若4PC ，求二面角APCB的正弦值 【解答】 （1）证明：如图，作/ /EFPC，交BC于F，连接AF 因为3PBBE，所以E是PB的三等分点，可得 2 3 3 BF 因为2ABAD，2 3BCCD，ACAC，所以ABCADC ， 因为BCAB，所以90ABC， 第 19 页（共 20 页） 因为 23 tan 32 3 AB ACB BC ，所以30ACBACD ，所以60BCD， 因为 2 tan3
36、 2 3 3 AB AFB BF ，所以60AFB，所以/ /AFCD， 因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，所以/ /AF平面PCD 又/ /EFPC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，所以/ /EF平面PCD 因为AFEFF，AF、EF 平面AEF，所以平面/ /AEF平面PCD，所以/ /AE平面 PCD （2）解：因为PAB是等边三角形，2AB ，所以2PB 又因为4PC ，2 3BC ，所以 222 PCPBBC，所以BCPB 又BCAB，AB，PB 平面PAB，ABPBB，所以BC 平面PAB 因为BC 平面ABCD，所以平面PAB 平面ABCD在平面PAB内作Bz 平面AB
37、CD 以B点为坐标原点，分别以BC，BA，Bz所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系Bxyz， 则(2 3,0,0)C，(0A，2，0)，(0,1, 3)P， 所以(2 3,0,0)BC ，(0,1, 3)BP ，(2 3, 2,0)AC ，(0, 1, 3)AP 设 1 (mx， 1 y， 1) z为平面BPC的法向量，则 0 0 m BC m BP ，即 1 11 2 30 30 x yz ， 令 1 1z ，可得(0, 3, 1)m 设 2 (nx， 2 y， 2) z为平面APC的法向量，则 0 0 n AC n AP ，即 22 22 2 320 30 xy yz ，
38、 令 2 1z ，可得(1, 3,1)n 所以 3 15 cos, 525 m n 则 2 52 5 sin,1() 55 m n ，所以二面角APCB的正弦值为 2 5 5 22 （12 分）已知数列 n a满足： 11 20 nnnn a aaa ，(2,)nnN， 1 1a ，前n项和为 第 20 页（共 20 页） n S的数列 n b满足： 1 1b ， 1 1 2 (2,) 12 nnn n nn aa a bnnN a a ，又 1 (2,) n n n S nnN b （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明： 23 1118 2 (1)(1)(1)(2,) 3 n nnN
39、 ccc 剠 【解答】解： （1）由条件得 1111 202 nnnnnnnn a aaaaaa a ，易知0 n a ，两边同 除以 1nn a a 得 11 1111 2112(1) nnnn aaaa ， 又 1 1 12 a ，故 * 11 12() 21 n n n n anN a ， （2）因为： 1 111 1 11(2,) nnnn nnnn bSbS nnN cSSS ， 所以 312 2312211 111 (1)(1)(1) nnn n nnn SSSSS S cccSSSSS ， 故只需证 8 2 3 n S ， 由条件 1 1111 1 211 2321211 212121 2()(2,) 11 (21)(21)2(21)(21)(21)(21)2121 12 2121 nnn nnn n nnnnnnnn nn bnnN 一方面：当2n 时 2 8 2 3 S 当3n，nN时， 12 231 1111218 1 12()2()2 212121213213 nn nnn Sbbb ， 另一方面：当2n，nN时，0 n b 所以 12 1 12 nn Sbbb 所以当2n，nN时 23 1118 2 (1)(1)(1) 3 n ccc
