1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）过点( 1,3)P 且垂直于直线230 xy的直线方程为( ) A210 xy B250 xy C250 xy D270 xy 2 （5 分）命题“xR ， 2 |0 xx ”的否定是( ) AxR ， 2 |0 xx BxR ，
2、 2 |0 xx C 0 xR， 2 00 |0 xx D 0 xR， 2 00 |0 xx 3 （5 分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，已知/ /m，则lm是l的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知命题:(,0)px ，23 xx ；命题:(0,) 2 qx ，tansinxx，则下列命 题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()pq 5 （5 分）在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为 2.63 元，1.95 元，3.26 元，1.77 元，0.39 元共五份，每人只能抢一次，若红包
3、抢完时，则其中小淘、 小乐两人抢到红包金额之和不少于 5 元的概率是( ) A 2 5 B 3 10 C 1 5 D 1 10 6 （5 分）在梯形ABCD中， 2 ABC ，/ /ADBC，222BCADAB，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A 2 3 B 4 3 C 5 3 D2 7 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的 数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘 积若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为 7 4 ，面积为12，则椭圆C的方程为
4、( ) 第 2 页（共 17 页） A 22 1 34 xy B 22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 8 （5 分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱 的表面积为( ) A36 B368 3 C318 3 D3624 3 9 （5 分）以抛物线 2 4yx的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1xy C 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 10 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与圆 22 (4)4xy相切，则 该双曲
5、线的离心率为( ) A2 B 2 3 3 C3 D 3 2 11 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的 中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 12 （5 分）若直线()0axbyab与圆 22 :(2)4Cxy交于A，B两点，当|AB最 小时，劣弧AB的长为( ) A B2 C3 D 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知点(3A，3，5)，(1B，1，3)，(0C，1，
6、0)，则AB的中点M到点C的 距离为 14 （5 分）已知两点( 1,2)A ，(2,1)B，直线:30lxmym与线段AB相交，则直线l的 斜率的取值范围是 第 3 页（共 17 页） 15 （5 分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰 直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成如图是一块用七巧板组成的正方形，若在 此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为 16（5 分） 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 则该三棱锥的外接球体积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共
7、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （10 分）如图（1）在ABC中，ACBC，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中 点，现将ACD沿CD翻折，使得平面ACD 平面BCD （如图（2）) （1）求证：/ /AB平面DEF； （2）求证：BDAC 18 （12 分）已知命题p：方程 22 2 1 2 xy aa 表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：关于x的 方程 2 2(2)90 xax有两个不相等的实根 （1）若“pq”为真命题，并记为s，求s； （2）记命题t：实数a是不等式 2 11 (2)()0 33 amam m的解，若
8、s是t的必要不充分 条件，求实数m的取值范围 19 （12 分）已知斜率为 1 的直线l与圆心为 1(1,0) O的圆相切于点P，且点P在y轴上 （）求圆 1 O的方程； 第 4 页（共 17 页） （）若直线l与直线l平行，且圆 1 O上恰有四个不同的点到直线l的距离等于 2 2 ，求直 线l纵截距的取值范围 20（12 分） 已知四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，4AB ，2 2AD ，2CD ， PA平面ABCD，4PA （1）设平面PAB平面PCDm，求证：/ /CDm； （2）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积 21 （12 分）已知F为抛物线 2 :2(0)C y
9、px p的焦点，过F且垂直于x轴的直线被C截 得的弦长为 4 （1）求抛物线C的方程； （2）设过点( ,0)m，且斜率为 1 的直线被抛物线C截得的弦为AB，若点F在以AB为直径 的圆上，求m的取值 22 （12 分）设 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O 为坐标原点 （1）求 12 PF PF的取值范围； （2）设过定点(0,2)Q的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且MON为锐角，求直线l 的斜率k的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省黄山市高二（上）期末
10、数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）过点( 1,3)P 且垂直于直线230 xy的直线方程为( ) A210 xy B250 xy C250 xy D270 xy 【解答】解：根据题意，易得直线230 xy的斜率为 1 2 ， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2， 又知其过点( 1,3)， 由点斜式得所求直线方程为210 xy 故选：A 2
11、 （5 分）命题“xR ， 2 |0 xx ”的否定是( ) AxR ， 2 |0 xx BxR ， 2 |0 xx C 0 xR， 2 00 |0 xx D 0 xR， 2 00 |0 xx 【解答】 解： 根据全称命题的否定是特称命题， 则命题 “xR ， 2 |0 xx ” 的否定 0 xR， 2 00 |0 xx， 故选：C 3 （5 分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，已知/ /m，则lm是l的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若/ /m，l，则lm；反之不成立，可能l与平行或相交 因此lm是l的必要不充分条件 故选：B
12、 4 （5 分）已知命题:(,0)px ，23 xx ；命题:(0,) 2 qx ，tansinxx，则下列命 题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()pq 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：因为当0 x 时， 2 ( )1 3 x ， 即23 xx ，所以命题p为假，从而p为真 因为当(0,) 2 x 时， sin (1cos ) tansin0 cos xx xx x ， 即tansinxx，所以命题q为真 所以()pq为真， 故选：C 5 （5 分）在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为 2.63 元，1.95 元，3.26 元，1.77 元
13、，0.39 元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、 小乐两人抢到红包金额之和不少于 5 元的概率是( ) A 2 5 B 3 10 C 1 5 D 1 10 【解答】解：所发红包被随机的分配为 2.63 元，1.95 元，3.26 元，1.77 元，0.39 元共五份， 每人只能抢一次， 考察小淘、小乐两人抢到红包金额之和，基本事件总数 2 5 10nC， 红包抢完时，其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于 5 元包含的基本事件有： (2.63,3.26)，(3.26，1，95)，(3.26，1，77)，共 3 种， 红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于 5
14、元的概率 3 10 p 故选：B 6 （5 分）在梯形ABCD中， 2 ABC ，/ /ADBC，222BCADAB，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A 2 3 B 4 3 C 5 3 D2 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为 1，高为 2 的圆柱，挖 去一个相同底面高为 1 的倒圆锥， 几何体的体积为： 22 15 1211 33 故选：C 第 7 页（共 17 页） 7 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的 数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭
15、圆的长半轴长与短半轴长的乘 积若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为 7 4 ，面积为12，则椭圆C的方程为 ( ) A 22 1 34 xy B 22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 【解答】 解： 由题意可得 7 4 c a ， 12 ab ， 即12ab ， 222 abc， 解得： 2 16a ， 2 9b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 169 xy ， 故选：D 8 （5 分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱 的表面积为( ) A36 B368 3 C318 3 D3624 3 【解答】解：由该棱柱
16、的三视图可知，该棱柱是高是 3，底面边长是 4 的正三棱柱， 则棱柱的底面积是 1 42 34 3 2 ，每个侧面面积是4312， 所以该三棱柱的表面积为24 3123368 3 故选：B 第 8 页（共 17 页） 9 （5 分）以抛物线 2 4yx的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1xy C 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 【解答】解；抛物线 2 4yx的焦点坐标为(1,0)， 所求圆的圆心坐标为(1,0) 所求圆过坐标原点(0,0) 其半径为101 所求圆的标准方程为 22 (1)1xy 10 （5 分）已知双曲线 22 2
17、2 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与圆 22 (4)4xy相切，则 该双曲线的离心率为( ) A2 B 2 3 3 C3 D 3 2 【解答】 解： 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线 b yx a 与圆 22 (4)4xy相切， 可得： 2 4 | 2 1( ) b a b a ， 可得：2bc，即 22 4bc，所以 222 44cac， 解得 2 3 3 c e a 故选：B 11 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的 中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A
18、3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 【解答】解：分别以直线BA，BC， 1 BB为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 第 9 页（共 17 页） 则： (2A，0，0)，(0E，0，1)，(0C，2，0)，(0F，1，2)， ( 2,0,1),(0, 1,2)AECF ， 22 cos, 5|55 AE CF AE CF AE CF ， AE与CF夹角的余弦值为 2 5 故选：B 12 （5 分）若直线()0axbyab与圆 22 :(2)4Cxy交于A，B两点，当|AB最 小时，劣弧AB的长为( ) A B2 C3 D 2 【解答】解：直线0axbyab可化为： (1)(
19、1)0a xb y，则当10 x 且10y ，即1x 且1y 时，等式恒成立， 所以直线恒过定点(1,1)M， 设圆的圆心为(2,0)C，半径2r ， 当MC 直线AB时，|AB取得最小值，且最小值为 22 22 422 2rMC， 此时弦长AB对的圆心角为 2 ， 所以劣弧长为2 2 ， 第 10 页（共 17 页） 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知点(3A，3，5)，(1B，1，3)，(0C，1，0)，则AB的中点M到点C的 距离为 2 5 【解答】解：由中点坐标公式可得 31 3 1
20、53 (,) 222 M ，即(2，1，4) 222 |2(1 1)42 5CM 故答案为2 5 14 （5 分）已知两点( 1,2)A ，(2,1)B，直线:30lxmym与线段AB相交，则直线l的 斜率的取值范围是 (，31，) 【解答】解：把( 1,2)A 代入直线:30lxmym，得320mm ， 解得1m ， 1 3 3 1 k； 把(2,1)B代入直线:30lxmym，得320mm， 解得3m ， 2 3 1 3 k 由题意可得：直线l的斜率的取值范围是1 l k ?，或3 l k ? 故答案是：(，31，) 15 （5 分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”
21、，它是由五块等腰 直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成如图是一块用七巧板组成的正方形，若在 第 11 页（共 17 页） 此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为 3 8 【解答】解：设拼成的正方形的面积为 1， 由图知，最大的三角形面积为 1 4 ，最小的三角形面积为 1 16 ， 平行四边形的面积是最小三角形面积的 2 倍， 由此可得阴影部分的面积为 3 8 ，则所求的概率为 3 8 故答案为： 3 8 16（5 分） 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 则该三棱锥的外接球体积为 13 26 3 【解答】解：如图， 在ABC
22、中，由2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 得 22 2 2cos8922 235 2 ACABBCAB BCABC ， 设ABC的外心为G，由 5 210 sin2 2 AC GA ABC ，得 10 2 GA ， 设三棱锥PABC外接球的球心为O，连接OA，则 22 1513 ()4 222 OAPAGA 三棱锥的外接球体积为 3 41313 26 () 323 V 故答案为：13 26 3 第 12 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）
23、 17 （10 分）如图（1）在ABC中，ACBC，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中 点，现将ACD沿CD翻折，使得平面ACD 平面BCD （如图（2）) （1）求证：/ /AB平面DEF； （2）求证：BDAC 【解答】证明： （1）如图（2） ，在ABC中， E、F分别是AC、BC中点，得/ /EFAB， 又AB平面DEF，EF 平面DEF， / /AB平面DEF （2）平面ACD 平面BCD，且交线为CD， BDCD，且BD平面BCD， BD平面ACD， 又AC 平面ACD， BDAC 18 （12 分）已知命题p：方程 22 2 1 2 xy aa 表示焦点在y轴上的椭圆；命题q
24、：关于x的 方程 2 2(2)90 xax有两个不相等的实根 第 13 页（共 17 页） （1）若“pq”为真命题，并记为s，求s； （2）记命题t：实数a是不等式 2 11 (2)()0 33 amam m的解，若s是t的必要不充分 条件，求实数m的取值范围 【解答】 解：（1）p真： 由 2 2aa得12a 且0a ； （2 分） q真：由 2 4(2)4 90a ，得5a 或1a ，（3 分） 则pq为真命题可得12a，即 |12saa（5 分） （2）命题 1 :()()0 3 tam am， 得 1 3 a ma m或，（8 分） 则t为： 1 3 m a m 剟，（9 分） s是
25、t的必要不充分条件， t是s的真子集即 1 1 2 3 m m ， 解得 5 1 3 m， 实数m的取值范围是 5 1 3 m（12 分） 19 （12 分）已知斜率为 1 的直线l与圆心为 1(1,0) O的圆相切于点P，且点P在y轴上 （）求圆 1 O的方程； （）若直线l与直线l平行，且圆 1 O上恰有四个不同的点到直线l的距离等于 2 2 ，求直 线l纵截距的取值范围 【解答】解： （）由题意可得，设P的坐标为(0, ) t， 1 O Pl， 0 1 01 t ，1t ， 即点P的坐标为(0,1)， 从而圆 1 O的半径 1 |2rO P， 故所求圆 1 O的方程为 22 (1)2xy
26、； 第 14 页（共 17 页） （）/ /ll，设:lyxb， 由圆 1 O上恰有四个点到直线l距离为 2 2 ， 得圆心到直线yxb的距离 |1|2 22 b d ， 解得20b ， 即直线l纵截距的取值范围为( 2,0) 20（12 分） 已知四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，4AB ，2 2AD ，2CD ， PA平面ABCD，4PA （1）设平面PAB平面PCDm，求证：/ /CDm； （2）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积 【解答】（1） 证明： 因为/ /ABCD，CD平面PAB，AB平面PAB， 所以/ /CD平面PAB 因为CD 平面PCD，平面PAB平面
27、PCDm， 所以/ /CDm（6 分） （2）解： 111 4 222 PBEPBA SSPAAB ， / /CD平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等 由条件易得DA平面PAB且2 2AD ， 118 2 42 2 333 PBECC PBED PBEPBE VVVSDA （12 分） 第 15 页（共 17 页） 21 （12 分）已知F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，过F且垂直于x轴的直线被C截 得的弦长为 4 （1）求抛物线C的方程； （2）设过点( ,0)m，且斜率为 1 的直线被抛物线C截得的弦为AB，若点F在以AB为直径 的圆上，求m的取值 【解答】 解：
28、（1） 抛物线的焦点坐标为(,0) 2 p ， 把 2 p x 代入 2 2ypx得yp， 所以24p ， 抛物线方程为 2 4yx（4 分） （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，过点( ,0)m，且斜率为 1 的直线方程为yxm， 联立 2 4yx yxm ，消去y得： 22 (24)0 xmxm，（5 分） 22 (24)40mm，得：1m ，（6 分） 由题意可知： 12 24xxm， 2 1 2 x xm（7 分） 由题意知(1,0)F，点F在以AB为直径的圆上等价于0FA FB，（8 分） 又 1122121212 (1,)(1,)()1FA FBxyxy
29、x xxxy y 2 1 212121 212 () 1 ()()2(1)()1x xxxxm xmx xmxxm 22 2(1)(24)1mmmm 2 63mm（10 分） 由 2 630mm解得：32 332 3m 或，符合1m ， 综上可得32 332 3m 或（12 分） 第 16 页（共 17 页） 22 （12 分）设 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O 为坐标原点 （1）求 12 PF PF的取值范围； （2）设过定点(0,2)Q的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且MON为锐角，求直线l 的斜率k的取值范围 【解答】解：
30、（1）由椭圆 2 2 1 4 x y易知2a ，1b ， 22 3cab ，所以 12 (3,0),( 3,0)FF， 设( , )P x y，则 22 12 (3,) ( 3,)3PF PFxyxyxy 22 2 38 13 44 xx x 由椭圆的性质可知，22x 剟 2 38 21 4 x 剟 故 12 21PF PF 剟（6 分） （2）显然直线0 x 不满足题设条件，可设直线:2L ykx， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 则 2 2 2 1 4 ykx x y 消去y，整理得： 22 1 ()430 4 kxkx 由 22 1 1612()0 4 kk得： 3 2 k 或 3 2 k （9 分） 又 12 2 4 1 4 k xx k ， 12 2 3 1 4 x x k 又090MON cos0MON 0OM ON 第 17 页（共 17 页） 1212 0OM ONx xy y（11 分） 222 2 12121212 222 381 (2)(2)2 ()44 111 444 kkk y ykxkxk x xk xx kkk 2 22 31 0 11 44 k kk ，即 2 4k 22k （13 分） 故由得 3 2 2 k 或 3 2 2 k（15 分）
