1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若命题 0 :1px， 2 0 1x ，则p为( ) A1x ， 2 1x B1x ， 2 1x C 0 1x， 2 0 1x D 0 1x ， 2 0 1x 2 （5 分）某校共有 1500 名学生，现用系统抽样的方法从中等距抽取 50 名学
2、生参加志愿者 活动，将这 1500 名学生依次编号为 1，2，3，1500，已知第一位被抽到的学生编号为 4，则下列编号被抽到的是( ) A324 B184 C104 D24 3 （5 分）下列求导运算正确的是( ) A(sincos )cossinxxxx B 1 ()xlnx x C 22 () xx ee D 1 () xx xx ee 4 （5 分） 已知(1a， 0，1)，(3b ，21，2)， 其中，R， 若/ /ab， 则( ) A0 B1 C2 D3 5 （5 分）设xR，则“0 x “是“ 1 2x x ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既
3、不充分也不必要条件 6 （5 分）已知A，B是平面内两个定点，平面内满足| |(PAPBa a为大于 0 的常数）的 点P的轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼的名字命 名当A，B坐标分别为( 1,0)，(1,0)，且1a 时，卡西尼卵形线大致为( ) A B C D 7 （5 分）将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无 第 2 页（共 21 页） 盖方盒若该方盒的体积为 2，则a的最小值为( ) A1 B2 C3 D3 32 8 （5 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，
4、M为E上一点 若 12 6 MFF ， 21212 | |F FF MFF，则E的离心率为( ) A 21 2 B 31 2 C21 D31 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知曲线E的方程为 22 1(0)mxnymn，则E可能是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 10 （5 分）如图为我国 2
5、020 年 2 月至 10 月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据 统计图，下列结论正确的是( ) A异地快递量逐月递增 B同城快递量，9 月份多于 10 月份 C同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同 D同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同 11 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点， 则下列结论正确的是( ) 第 3 页（共 21 页） A点 1 C， 1 D到平面PMN的距离相等 BPN与QM为异面直线 C90PNM D平面PMN截该正方体的截面为正六边形 12 （5 分）已知函数 | | ( )sin1 x f xex
6、，则( ) A( )f x的周期为2 B( )f x的图象关于点(0,1)对称 C( )f x在 3 0, 4 上为增函数 D( )f x在区间 5，5 上所有的极值之和为 10 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上。分把答案填在题中的横线上。 13 （5 分）双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是 14（5 分） 在区间 3，1上随机取一个数x， 若事件:A x m的概率为 3 4 ， 则m的值为 15 （5 分）某次数学竞赛有 100 位同学参加，如图为这 100 位同学此次竞赛成绩的频率分 布直方图
7、， 则a ， 这100位同学此次竞赛成绩的中位数约为 （中位数精确到0.01) 16（5 分） 如图所示， 在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DEAB，8DC ，6DE 沿 第 4 页（共 21 页） 着DE将ADE折起， 使A到达点A的位置， 且平面ADE平面BCDE 设P为ADE内 的动点，若EPBDPC ，则P的轨迹的长度为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知函数 32 2 ( )23 3 f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处
8、的切线方程； （2）求( )f x在 2，1上的最大值和最小值 18 （12 分）已知抛物线 2 :2E ypx的焦点为F，(1,1)P为E上一点 （1）求E的方程及F的坐标； （2）设斜率为 1 的直线l与E交于A，B两点，若2PA PB ，求l的方程 19 （12 分）在PDAB，PCAPCB ，平面PCD 平面ABC这三个条件中任 选一个，补充在下面问题的横线上，并解答 问题：已知在三棱锥PABC中，D为AB的中点，_，2ACBC （1）证明：PCAB； （2）若2PC ，90PCBACB ，E为线段PB上一点，且3EBPE，求二面角 DCEB的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22
9、22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ，(0,1)A为E的上顶点 （1）求E的方程； （2）以A为直角顶点的Rt ABC的另两个顶点均在E上运动，求证：直线BC过定点 21 （12 分）为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取 6 名，得到他们 第 5 页（共 21 页） 的身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 身高()x cm 165 171 167 173 179 171 体重()ygk 62 m 64 74 74 66 在收集数据时，2 号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余 5 位男生的数据得到身 高与体重的线性回归方程为 1
10、1 y b xa 后来得到 2 号男生的体重精准数值m后再次计算得 到线性回归方程为 22 y b xa （1）求回归方程 11 y b xa； （2）若分别按照 11 y b xa和 22 y b xa来预测身高为180cm的男生的体重，得到的估计 值分别为 1 w， 2 w，且 21 2ww，求m的值； （3）BMI指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准， 其中BMI 指数在 24 到 27.9 之间的定义为超重 通过计算可知这 6 人的BMI指数分别为： 22.8， 27.4， 22.9，24.7，23.1，22.6，现从这 6 人中任选 2 人，求恰有 1 人体重
11、为超重的概率 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 22 （12 分）已知函数 2 ( ) a f xlnx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：当 1 2 a时， 1 ( ) 2 x f xe 参考数据：2.7183e 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
12、共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若命题 0 :1px， 2 0 1x ，则p为( ) A1x ， 2 1x B1x ， 2 1x C 0 1x， 2 0 1x D 0 1x ， 2 0 1x 【解答】解：命题 0 :1px， 2 0 1x ， 根据含有量词的命题的否定，则有p为1x ， 2 1x 故选：A 2 （5 分）某校共有 1500 名学生，现用系统抽样的方法从中等距抽取 50 名学生参加志愿者 活动，将这 1500 名学生依次编号为 1，2，3，1500，已知第一位被抽到的学生编
13、号为 4，则下列编号被抽到的是( ) A324 B184 C104 D24 【解答】解：1500 名学生系统抽样抽取 50 名，则每隔 30 名抽取 1 名， 若 4 被抽取，则被抽取的是 4，34，304k，(k为自然数） ， 符合条件的只有答案:1846304B， 故选：B 3 （5 分）下列求导运算正确的是( ) A(sincos )cossinxxxx B 1 ()xlnx x C 22 () xx ee D 1 () xx xx ee 【解答】解：A(sincos )cossinxxxx B()1xlnxlnx C 22 ()2 xx ee D 2 1 () xx xxx xexex
14、 eee 故选：D 4 （5 分） 已知(1a， 0，1)，(3b ，21，2)， 其中，R， 若/ /ab， 则( 第 7 页（共 21 页） ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：/ /ab， 设ba k， (3，21，2)(kk，0，)k， 3 210 2 kk k ，解得 11 , 22 ， 1 故选：B 5 （5 分）设xR，则“0 x “是“ 1 2x x ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设xR， “ 1 2x x ” 2 21 0 xx x ， 2 (1) 0 x x ， 0 x， “ 1 2x x ” “
15、0 x ” 又当0 x 时， 11 22xx xx 成立 则“0 x “是“ 1 2x x “的充分必要条件； 故选：C 6 （5 分）已知A，B是平面内两个定点，平面内满足| |(PAPBa a为大于 0 的常数）的 点P的轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼的名字命 名当A，B坐标分别为( 1,0)，(1,0)，且1a 时，卡西尼卵形线大致为( ) A B 第 8 页（共 21 页） C D 【解答】解：由题意设动点坐标为( , )x y， 则 2222 (1)(1)1xyxy， 即 2222 (1) (1)1xyxy， 把原点(0,0)O代入，可得上式成立，故曲
16、线过原点，排除C、D； 把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变， 故曲线C关于坐标原点对称，排除B； 故选：A 7 （5 分）将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无 盖方盒若该方盒的体积为 2，则a的最小值为( ) A1 B2 C3 D3 32 【解答】 解： 设截去的四个小正方形的边长为x， 则无盖方盒底面是边长为2ax的正方形， 高为x， 所以方盒的体积为 322 ( )(2 )44,(0, ) 2 a V xax xxaxa x x， 则 22 ( )128(2)(6),(0, ) 2 a V xxaxaxaxa x， 令( )0V x，解得, 26
17、 aa xx， 当0 6 a x时，( )0V x，所以( )V x单调递增， 当 62 aa x时，( )0V x，所以( )V x单调递减， 故 3 2 ( )( ) 627 max aa V xV， 若该方盒的体积为 2， 则有 3 2 ( )( )2 627 max aa V xV， 解得3a， 所以a的最小值为 3 故选：C 第 9 页（共 21 页） 8 （5 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，M为E上一点 若 12 6 MFF ， 21212 | |F FF MFF，则E的离心率为( ) A 21 2 B 31 2
18、 C21 D31 【解答】解：如图所示，以 21 F F， 2 F M为邻边作平行四边形 12 FF MN，对角线 1 F M， 2 F N交 于点E， 则 2122 F FF MF N，所以 212 | | 2F NFFc， 则 2 |F Ec， 则在三角形 12 F F E中， 2121 6 F FMF FE ， 由余弦定理可得： 222 211211221 |2|cosF EFEFFFE FFF FE， 即 222 11 3 |42 | 2 2 cFEcFEc ，整理可得： 22 11 |2 3 | 30FEc FEc， 解得 1 |3FEc，所以 1 | 2 3MFc，且由勾股定理可得
19、 12 FEF E， 又E为 1 MF的中点，则三角形 12 F F M为等腰三角形，所以 212 | | 2MFFFc， 由椭圆的定义可得： 12 | 2 322MFMFcca， 解得 31 2 c a ， 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知曲线E的方程为 22 1(0)mxnymn，则E
20、可能是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【解答】解：当0mn时，曲线E的方程为 22 1mxny表示圆； 第 10 页（共 21 页） 0m ，0n ，mn时，曲线E的方程为 22 1mxny表示椭圆， 0m n时，曲线E的方程为 22 1mxny表示双曲线， 故选：ABC 10 （5 分）如图为我国 2020 年 2 月至 10 月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据 统计图，下列结论正确的是( ) A异地快递量逐月递增 B同城快递量，9 月份多于 10 月份 C同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同 D同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同 【解答】解：由我国 2020
21、 年 2 月至 10 月的同城快递量与异地快递量的月统计图，知： 对于A，异地快递量 2 月到 6 月逐月递增，6 月到 7 月递减，7 月到 10 月逐月递增，故A错 误； 对于B，9 月同城快递量 113215.1 万件，10 月同城快递量 97454.2 万件，9 月份多于 10 月 份，故B正确； 对于C， 同城的月快递量达到峰值的月份是 6 月， 异地的月快递量达到峰值的月份是 10 月， 故C错误； 对于D，同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同，都是 3 月，故D正确 故选：BD 11 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P，Q分别是所在棱的
22、中点， 则下列结论正确的是( ) 第 11 页（共 21 页） A点 1 C， 1 D到平面PMN的距离相等 BPN与QM为异面直线 C90PNM D平面PMN截该正方体的截面为正六边形 【解答】解：如图，取BC中点E， 1 CC中点F，则有六边形MQNPEF为正六边形， 对于A，根据正方体的对称性，可得点 1 C， 1 D到平面MQNPEF的距离相等，A正确； 对于B，PN与QM为共面直线，故B错； 对于C， 在正六边形MQNPEF中， 设1PN ， 则2PM ，3MN ， 222 MNPNPM， 则MNPN，故C正确； 对于D，平面PMN截该正方体的截面为正六边形，故D正确 故选：ACD
23、12 （5 分）已知函数 | | ( )sin1 x f xex，则( ) A( )f x的周期为2 B( )f x的图象关于点(0,1)对称 C( )f x在 3 0, 4 上为增函数 第 12 页（共 21 页） D( )f x在区间 5，5 上所有的极值之和为 10 【解答】解：对于A，函数 | | ( )sin1 x f xex， |2 |2 | (2 )sin(2 ) 1sin1( ) xx f xexexf x ， 故2不是( )f x的周期，故A错误； 对于B， | | ( )sin x g xex， | | ()sin()sin( ) xx gxexexg x ， 所以( )g
24、 x为奇函数， 图象关于原点(0,0)对称， 所以( )( )1f xg x的图象关于点(0,1)对称， 故B正确； 对于C，当0 x时，( )sin1 x f xex，( )sincos2sin() 4 xxx fxexexex ， 当 3 0, 4 x 时， 44 x ，sin() 0 4 x ，故( ) 0fx，( )f x在 3 0, 4 上为增函数， 故C正确； 对于D，当0 x，5 时，令( )0fx，解得 4 x k，1k，2，3，4，5， 当 5x ，0)时，( )sin1 x f xex ，( )sincos2sin() 4 xxx fxexexex ， 令( )0fx，解得
25、 4 x k，1k，2，3，4，5， 因为 | | | ( )()sin1sin12 xx f xfxexex ， 故所求极值之和为 1234512345 ()()()()()()()()()()2510fxfxfxfxfxfxfxfxfxfx， 故D正确 故选：BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上。分把答案填在题中的横线上。 13 （5 分）双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是 320 xy 【解答】解：由 22 0 43 xy ，可得双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程为320 xy
26、故答案为：320 xy 14（5 分） 在区间 3，1上随机取一个数x， 若事件:A x m的概率为 3 4 ， 则m的值为 0 【解答】解：区间 3，1的区间长度为1( 3)4 ， 第 13 页（共 21 页） 随机地取一个数x，若x满足x m的概率为 3 4 ， 则满足条件的区间长度为 3 43 4 因此x所在的区间为 3，0， 故0m 故答案为：0 15 （5 分）某次数学竞赛有 100 位同学参加，如图为这 100 位同学此次竞赛成绩的频率分 布直方图，则a 0.015 ，这 100 位同学此次竞赛成绩的中位数约为 （中位数精确 到 0.01) 【解答】解：由频率分布直方图的性质得：
27、(0.0100.0300.0250.005) 101aa， 解得0.015a 40，70)的频率为：(0.0100.0150.015) 100.4， 70，80)的频率为：0.030 100.3， 这 100 位同学此次竞赛成绩的中位数约为： 0.50.4 701073.33 0.3 16（5 分） 如图所示， 在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DEAB，8DC ，6DE 沿 着DE将ADE折起， 使A到达点A的位置， 且平面ADE平面BCDE 设P为ADE内 的动点，若EPBDPC ，则P的轨迹的长度为 4 3 【解答】解：因为EPBDPC ， 所以tantanEPBDPC， 第 14
28、页（共 21 页） 因为平面ADE平面BCDE， 又平面ADE平面BCDEDE，DEAB，AB平面BCDE， 所以AB 平面ADE， 又DP，PE 平面ADE， 故BEPE，BEDP， 又ABCD为平行四边形， 所以/ /ABCD， 所以CDDP， 在Rt EPB中，tan BE EPB PE ， 在Rt DPC中，tan CD DPC PD ， 所以 BECD PEPD ， 又E为AB中点，且ABCD， 所以2PDPE， 以E为坐标原点，ED为x轴， EA 为y轴建立平面直角坐标系， 则(6,0)D，(0,0)E，设( , )P x y， 则有 2222 (6)2xyxy， 整理可得 22
29、(2)16xy， 故点P的轨迹是以( 2,0)M 为圆心，半径4r 的圆， 设点P在平面ADE内的圆弧对应的圆心角为， 则 21 cos 42 ME r ， 故 3 ， 根据弧长公式 4 4 33 lr ， 所以P的轨迹的长度为 4 3 故答案为： 4 3 第 15 页（共 21 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知函数 32 2 ( )23 3 f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）求( )f x在 2，1上的最
30、大值和最小值 【解答】解： （1） 32 2 ( )23 3 f xxx，f（1） 5 3 ， 2 ( )24f xxx，则f（1）2 ， 故( )yf x的切线方程为： 5 2(1) 3 yx ， 即 11 2 3 yx ； （2）( )2 (2)fxx x， 令( )0fx，解得：0 x 或2x ， 令( )0fx，解得：02x， 故( )f x在 2，0)递增，在(0，1递减， 故( )f x在 2，1上的最大值是(0)3f， 而 31 ( 2) 3 f ，f（1） 5 3 ，故( 2)ff（1） ， 故( )f x的最小值是 31 ( 2) 3 f ， 故( )(0)3 max f x
31、f， 31 ( )( 2) 3 min f xf 第 16 页（共 21 页） 18 （12 分）已知抛物线 2 :2E ypx的焦点为F，(1,1)P为E上一点 （1）求E的方程及F的坐标； （2）设斜率为 1 的直线l与E交于A，B两点，若2PA PB ，求l的方程 【解答】解： （1）因为抛物线 2 :2E ypx过点(1,1)P， 所以12p， 故E的方程为： 2 yx，焦点F的坐标为 1 ( 4 ，0)； （2）设斜率为 1 的直线l的方程为：yxm， 1 (A x， 1) y， 1 (B x， 2) y， 联立 2 yx yxm 可得 2 0yym， 140m ， 12 1yy，
32、12 yym， 1 (1PAx， 1 1)y ， 2 (1PBx， 2 1)y 2PA PB ， 1212 (1)(1)(1)(1)2xxyy ， 整理可得： 12121212 ()()40 x xxxy yyy， 12121212 ()()()()40ym ymymymy yyy， 2 1212 2(2)()240y ymyymm， 2 320mm， 解得1m 或2m ，满足0 l的方程为：1yx或2yx 19 （12 分）在PDAB，PCAPCB ，平面PCD 平面ABC这三个条件中任 选一个，补充在下面问题的横线上，并解答 问题：已知在三棱锥PABC中，D为AB的中点，_，2ACBC （
33、1）证明：PCAB； （2）若2PC ，90PCBACB ，E为线段PB上一点，且3EBPE，求二面角 DCEB的余弦值 第 17 页（共 21 页） 【解答】解：补充的三个条件相互等价，证明如下：PAPB，ACBC， PCPCPACPBC ； ，ACBC，PCPCPACPBCPAPBPDAB ，CDAB； ，ACBC，D为AB中点CDAB，平面PCD 平面ABCPDAB； 不妨补充 （1）证明：ACBA，D为AB的中点CDAB，PDABAB平面PCD，PC 平面PCDPCAB （2）PDAB，D为AB中点PAPB，ACBC， 90PCPCPACPBCPCAPCB ， 又90ACB，所以CA、
34、CB、CP互相垂直；可以建空间直角坐标系如图，又因为 2CACBCP，3EBPE， 则(0C，0，0)，(1D，1，0)，(2A，0，0)，(0E， 1 2 ， 3) 2 ，(1CD ，1，0)，(0CE ， 1 2 ， 3) 2 ， 设平面CED与平面CEB成角大小为，平面CEB单位法向量为 1 (1n ，0，0)，平面CED 法向量为(nx，y，) z， 0n CD，0n CE，于是有 13 00 22 xyz，1100 xyz，解得(3n，3，1)， 单位法向量 2 1 (3 |19 n n n ，3，1)， 由图可知， 二面角DCEB为锐二面角， 则其余弦值为 12 cos| |(1n
35、n， 0， 1 0) (3 19 ， 3， 33 19 1)| 1919 二面角DCEB的余弦值为 3 19 19 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ，(0,1)A为E的上顶点 （1）求E的方程； （2）以A为直角顶点的Rt ABC的另两个顶点均在E上运动，求证：直线BC过定点 【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为c，依题意可得1b ， 离心率 6 3 c e a ， 又因为 222 abc，所以3a ， 所以E的方程为： 2 2 1 3 x y （2）证明：因为直线BC不垂直于x轴，可设直线BC方程为yx
36、mk， 由 22 33 yxm xy k 得， 222 (1 3)6330 xmxm kk 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，则 2222 364(1 3)(33)0mmkk，即 22 310m k 12 2 6 13 m xx k k ， 2 12 2 33 1 3 m x x k ， ABAC， 12 12 11 1 ABAC yy xx kk， 121212 ()1y yyyx x ， 121212 ()()()1xmxmxmxmx x kkkk， 22 1 212 (1)(1)()(1)0 x xmxxmkk， 即 2 22 22 336 (1)(1)(1)0
37、1 31 3 mm mm k kk kk ， 整理可得(1)(21)0mm， 解得1m （舍去）或 1 2 m ， 第 19 页（共 21 页） 且 1 2 m 满足0， 所以直线BC方程为 1 2 yxk，过定点 1 (0,) 2 21 （12 分）为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取 6 名，得到他们 的身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 身高()x cm 165 171 167 173 179 171 体重()ygk 62 m 64 74 74 66 在收集数据时，2 号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余 5 位男生的数据得到身 高与体重的
38、线性回归方程为 11 y b xa 后来得到 2 号男生的体重精准数值m后再次计算得 到线性回归方程为 22 y b xa （1）求回归方程 11 y b xa； （2）若分别按照 11 y b xa和 22 y b xa来预测身高为180cm的男生的体重，得到的估计 值分别为 1 w， 2 w，且 21 2ww，求m的值； （3）BMI指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准， 其中BMI 指数在 24 到 27.9 之间的定义为超重 通过计算可知这 6 人的BMI指数分别为： 22.8， 27.4， 22.9，24.7，23.1，22.6，现从这 6 人中任选 2 人，
39、求恰有 1 人体重为超重的概率 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 【解答】解： （1）由已知数据可得： 165171 167173179171 171 5 x ， 1 6264747466 68 5 y ， 所以 6 1 1 6 2 1 ()() 11214 12015 () ii i i i xxyy b xx ， 1 141374 68171 1515 a ， 所以 141374 1515 yx； 第 20 页（共 21 页） （2）由题意 1 141374 18076.4 151
40、5 ， 21 278.4， 6264747466340 66 mm y ，所以 22 340 171 6 m ba ， 即 22 78.4180ba， 6 1 2 6 2 1 ()() 11214 12015 () ii i i i xxyy b xx ， 所以 2 340 78.49 6 m b ，所以 34014 78.49 615 m ，解得80m ， 故m的值为 80； （3）由已知数据可得这 6 个人中超重的有 2 人， 则从这 6 人中任选 2 人，恰有 1 人体重为超重的概率 11 24 2 6 8 15 C C P C 22 （12 分）已知函数 2 ( ) a f xlnx
41、x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：当 1 2 a时， 1 ( ) 2 x f xe 参考数据：2.7183e 【解答】解： （1） 22 122 ( ) axa fx xxx ，(0)x ， 0a时，20 xa，故( )0fx，( )f x在(0,)递增， 0a 时，令( )0fx，解得：2xa，令( )0fx，解得：2xa， 故( )f x在(0,2 )a递减，在(2 ,)a 递增， 综上：0a时，( )f x在(0,)递增， 0a 时，( )f x在(0,2 )a递减，在(2 ,)a 递增； （2）证明：当 1 2 a时， 1 ( ) 2 x f xe， 即证明 1 2
42、 a时，2 2 x x xlnxaxe， 令( )2 2 x g xxlnxa，则 1 ( ) 2 g xlnx， 令( )0g x，解得： 1 2 xe ，令( )0g x，解得： 1 2 0 xe ， 故( )g x在 1 2 (0,)e 递减，在 1 2 (e ，)递增， 故 11 22 ( )()2 min g xg eae ， 第 21 页（共 21 页） 1 2 a，21a， 1 2 ( )1 min g xe ， 令( ) x h xxe，则( )(1) x h xex ， 令( )0h x，解得：01x，令( )0h x，解得：1x ， 故( )h x在(0,1)递增，在(1,)递减， 故( )maxh xh（1） 1 e， 要证 1 ( ) 2 x f xe， 只需 1 1 2 1ee ，两边同乘以e， 得： 1 2 1ee，即证 1 2 1ee ， 平方得： 2 (1)ee，由 22 (1)1.72.89ee， 故原结论成立
