1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ）有一项是符合题目要求的。 ） 1 （4 分）过点(1,1)且与y轴垂直的直线的方程为( ) A1x B1y Cyx D21yx 2 （4 分）已知非零空间向量a，b，c，若/ /ac，/ /bc，且( , 2, 4)ax，( 4,2,4)b ， 则(x ) A4 B2
2、C4 D2 3 （4 分）已知点(1, 1)A，( 2,3)B 在直线0 xyb的两侧，则实数b的取值范围为( ) A1b B1b C01b D1b 或0b 4 （4 分）已知两条不重合直线 1 l， 2 l，则“ 12 / /ll”是“ 1 l， 2 l的斜率相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）已知双曲线 2 2 :1 4 x Gy的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，若点P在G的右支上， 且 2 | 1PF ，则 1 | (PF ) A3 B5 C2 51 D2 51 6 （4 分）设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面
3、，( ) A若lm，/ /m，则l B若/ /l，则l C若lm，m，则l D若l，m，m，则l 7 （4 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1 54 xy G的两个焦点，过 1 F作直线l交G于A，B两点， 若 32 | 5 AB ，则 2 F AB的面积为( ) A 24 5 B 48 5 C 96 5 D16 41 5 8 （4 分）已知集合( , )|31 0Mx yxy ，且3 0 xy ，x，yR，若a，bR， 且( , )a bM，则2ba的取值范围为( ) A(，0 B0，) C(，3 D(,) 第 2 页（共 16 页） 9 （4 分）已知双曲线 22 22 :
4、1(0,0) yx Mab ab 的两条渐近线互相垂直，且其中一个焦点 到其中一条渐近线的距离为2，则双曲线M的其中一个顶点到其中一条渐近线的距离为( ) A1 B2 C2 D2 2 10 （4 分）如图，三棱锥ABCD的底面BCD在平面内，所有棱均相等，E是棱AC的 中点，若三棱锥ABCD绕棱CD旋转，设直线BE与平面所成的角为，则cos的取值 范围为( ) A 3 ,1 6 B 5 ,1 6 C 11 0, 6 D 33 0, 6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。 ）分。 ） 11
5、 （6 分）在空间中，两个不同平面把空间最少可分成 部分，最多可分成 部分 12 （6 分）双曲线 22 1 916 xy 的虚轴长等于 ，离心率e 13 （6 分）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且( 1A ，1， 3)，(3B，1，1)，( 2D ，4，2)，则C的坐标为 ，|CD 14 （6 分）如果原命题P是“若0c ，则抛物线 2 yxxc与x轴有两个不同交点” ，那 么P的逆否命题可表示为 ，而P的否命题是个 命题 （填“真” ， “假”之一） 15 （4 分）设抛物线 2 :4C xy，点(M m，0)(m是常数） ，过点M作一直线l，若直线l 与抛物线
6、有且只有一个公共点，则这样的直线l共有 条 16 （4 分） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是正方形， 1 AA 平面ABCD， 且2ABBC， 1 3AA ，经过顶点A作一个平面，使得/ /平面 11 CB D，若平面 1 ABCDl，平面 112 ABB Al，则异面直线 1 l与 2 l所成的角的余弦值为 第 3 页（共 16 页） 17 （4 分）已知直线 1 1 :4 2 lyxkk，直线 2 22 24 :4(0)lyx k kk ，若直线 1 l， 2 l与 两坐标轴围成一个四边形，则当4k时，这个四边形面积的取值范围是 三、解答题（本大题共三、
7、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 18 如图， 已知直线/ /l平面， 相异四点A，B，C，D满足：Al，Cl，B，D （）判断空间直线AC与BD的位置关系，并说明理由； （）若/ /ABCD，求证：ABCD 19已知直线:1()l yxRkk与圆 22 :(2)(3)1Cxy相交于A，B不同两点 （）若 * Nk，求k的值； （）设M是圆C上的一动点（异于A，)B，O为坐标原点，若12AO BO，求MAB 面积的最大值 20如图，五面体EABCD中，平面EAB 平面ABCD，四边形A
8、BCD为矩形，EAB为等 腰三角形，且顶角120EAB，4 3BE ，2BC ，又G，F分别是AE，BE的中点， 点H在线段BC上运动（异于端点） （）求证：/ /CD平面HGF； （）设BHBC，若二面角BFGH的大小为30，求的值 第 4 页（共 16 页） 21已知抛物线 2 :2(0)C ypx p和直线:10l xy 相交于A，B两点，且抛物线C的 焦点在直线l上 （）求|AB； （）设圆材经过A，B两点，且与抛物线C的准线相切，求圆M的方程 22 已知椭圆G的中心在原点， 对称轴是坐标轴， 且G的四个顶点构成的四边形面积等于 1， 离心率 3 2 e （）求椭圆G的方程； （）当椭
9、圆G的长轴在x轴上时，若椭圆G与直线:(l xmy ，m为常数）相交于不 同两点A，B，记直线l与x轴的交点为M，且2AMMB，求的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ）有一项是符合题目要求的。 ） 1 （4 分）过点(1,1)且与y轴垂直的直线的方程为( )
10、 A1x B1y Cyx D21yx 【解答】解：因为与y轴垂直，故直线的斜率为 0， 又直线经过点(1,1)， 所以所求直线为1y 故选：B 2 （4 分）已知非零空间向量a，b，c，若/ /ac，/ /bc，且( , 2, 4)ax，( 4,2,4)b ， 则(x ) A4 B2 C4 D2 【解答】解：因为/ /ac，/ /bc，所以/ /ab， 又( , 2, 4)ax，( 4,2,4)b ， 所以 24 424 x ， 解得4x 故选：A 3 （4 分）已知点(1, 1)A，( 2,3)B 在直线0 xyb的两侧，则实数b的取值范围为( ) A1b B1b C01b D1b 或0b
11、【解答】解：由于点(1, 1)A，( 2,3)B 在直线0 xyb的两侧， 所以(1 1)( 23)0bb ，整理得(1)0b b， 解得：01b 故选：C 4 （4 分）已知两条不重合直线 1 l， 2 l，则“ 12 / /ll”是“ 1 l， 2 l的斜率相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：因为两条直线的倾斜角为90时，没有斜率， 所以“ 12 / /ll”不能够推出“ 1 l， 2 l的斜率相等” ， 反之， “ 1 l， 2 l的斜率相等” “ 12 / /ll” ， 则“ 12 / /ll”
12、是“ 1 l， 2 l的斜率相等”的必要不充分条件 故选：B 5 （4 分）已知双曲线 2 2 :1 4 x Gy的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，若点P在G的右支上， 且 2 | 1PF ，则 1 | (PF ) A3 B5 C2 51 D2 51 【解答】解：双曲线 2 2 :1 4 x Gy左、右焦点分别为 1 F、 2 F，可得2a ， 点( , )P x y P在G右支上， 若 2 | 1PF ，则 12 | | 2145PFPFa 故选：B 6 （4 分）设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，( ) A若lm，/ /m，则l B若/ /l，则l C若lm，m，则l D若l
13、，m，m，则l 【解答】解：因为l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若lm，/ /m，则l与的关系是l与相交、平行、垂直或l在平面内，则 A错误； 对于B，若/ /l，则l与的关系是l与相交、平行、垂直或l在平面内，则 B错误； 对于C，若lm，m，则l与的关系是l与相交、平行、垂直或l在平 面内，则C错误； 对于D，若l，m，m，则l与m平行，因为m，可得l，则D正确 故选：D 7 （4 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1 54 xy G的两个焦点，过 1 F作直线l交G于A，B两点， 若 32 | 5 AB ，则 2 F AB的面积为( ) 第 7 页（共
14、16 页） A 24 5 B 48 5 C 96 5 D16 41 5 【解答】解：椭圆 22 22 :1 54 xy G，可得5a ，4b ，焦距26c ， 椭圆的通径为： 2 232 | 5 b AB a ， 所以AB与x轴垂直， 所以 2 F AB的面积： 13296 6 255 故选：C 8 （4 分）已知集合( , )|31 0Mx yxy ，且3 0 xy ，x，yR，若a，bR， 且( , )a bM，则2ba的取值范围为( ) A(，0 B0，) C(，3 D(,) 【解答】解：令2Zba，由题设知a，b满足 31 0 3 0 ab ab ， 点( , )a b满足的平面区域如
15、右图所示， 由图象可知：ZR，即2(,)ba ， 故选：D 9 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Mab ab 的两条渐近线互相垂直，且其中一个焦点 到其中一条渐近线的距离为2，则双曲线M的其中一个顶点到其中一条渐近线的距离为( ) A1 B2 C2 D2 2 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线方程为 a yx b ， 因为渐近线互相垂直，则1 a b ，即ab， 第 8 页（共 16 页） 设其中一个焦点为(0, )Fc，则点F到渐近线yx的距离 |2 2 21 1 c dc ， 所以2c ，又 222 cab，所以2ab， 设M的其中一个顶点为(0, 2)A， 则A
16、到渐近线yx的距离为 |2 | 1 1 1 ， 故选：A 10 （4 分）如图，三棱锥ABCD的底面BCD在平面内，所有棱均相等，E是棱AC的 中点，若三棱锥ABCD绕棱CD旋转，设直线BE与平面所成的角为，则cos的取值 范围为( ) A 3 ,1 6 B 5 ,1 6 C 11 0, 6 D 33 0, 6 【解答】解：三棱锥ABCD的底面BCD在平面内，所有棱均相等， 故三棱锥是一个正四面体，不妨其棱长为 2， 研究三棱锥ABCD绕棱CD旋转的情况， 当旋转到直线BE与平面平行时，则直线BE与平面所成的角为0， 此时cos的取值最大为 1， 故排除选项C，D； 当旋转到ACD在平面内的时
17、候， 设顶点B在平面内的射影为O，则O为正三角形ACD的中心， 连结EO延长至D，则BED即为BE和平面所成的角， 在AED中，3,2BEDEBD， 由余弦定理可得 222 3341 cos 23233 BEDEBD BE DE ， 因为 125 366 ， 故排除选项B 故选：A 第 9 页（共 16 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。 ）分。 ） 11 （6 分）在空间中，两个不同平面把空间最少可分成 3 部分，最多可分成 部分 【解答】解：当两个平面互相平行时，可以把空间分成
18、三部分， 当两个平面相交时，可以把空间分成四部分 故答案为：三；四 12 （6 分）双曲线 22 1 916 xy 的虚轴长等于 8 ，离心率e 【解答】解：双曲线 22 1 916 xy 的虚轴长2248b ，3a ，5c ， 所以双曲线的离心率为： 5 3 c e a 故答案为：8； 5 3 13 （6 分）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且( 1A ，1， 3)，(3B，1，1)，( 2D ，4，2)，则C的坐标为 (1，0，2) ，|CD 【解答】解：由于C是线段AB的中点，且( 1A ，1，3)，(3B，1，1)， 故(1C，0，2)，且( 2D ，4，2)
19、， 所以 222 |(12)(04)(22)5CD 故答案为：(1，0，2)；5 14 （6 分）如果原命题P是“若0c ，则抛物线 2 yxxc与x轴有两个不同交点” ，那 么P的逆否命题可表示为 “若抛物线 2 yxxc与x轴只有一个交点或没有交点，则 0c” ，而P的否命题是个 命题 （填“真” ， “假”之一） 【解答】解：原命题P是“若0c ，则抛物线 2 yxxc与x轴有两个不同交点” ， 故P的逆否命题为“若抛物线 2 yxxc与x轴只有一个交点或没有交点，则0c” ， 第 10 页（共 16 页） 否命题为“若0c，则抛物线 2 yxxc与x轴只有一个交点或没有交点” ， 因为
20、当0c时， 2 ( 1)40c ，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，故否命题是假命 题 故答案为： “若抛物线 2 yxxc与x轴只有一个交点或没有交点，则0c” ；假 15 （4 分）设抛物线 2 :4C xy，点(M m，0)(m是常数） ，过点M作一直线l，若直线l 与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l共有 2 或 3 条 【解答】解：当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为：xm，显然直线l与抛物 线只有一个公共点， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：()yxmk，代入抛物线方程可得： 2 440 xxmkk，因为直线l与抛物线只有一个公共点， 则 2 16160mkk，
21、解得0k或m k， 此时直线l的方程为0y 或 2 ymxm， 当0m 时，此时两直线重合，0m 时，此时有两条直线满足题意， 综上，满足题意的直线有 2 或 3 条， 故答案为：2 或 3 16 （4 分） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是正方形， 1 AA 平面ABCD， 且2ABBC， 1 3AA ，经过顶点A作一个平面，使得/ /平面 11 CB D，若平面 1 ABCDl，平面 112 ABB Al，则异面直线 1 l与 2 l所成的角的余弦值为 26 13 【解答】解：设平面 11 CB D平面ABCDm， / /平面 11 CB D， 1 / /
22、ml， 第 11 页（共 16 页） 平面/ /ABCD平面 1111 A BC D，且平面 11 CB D平面 111111 ABC DB D， 11/ / B Dm， 111 / /B Dl， 平面 11/ / ABB A平面 11 DCC D，且平面 11 CB D平面 111 DCC DCD， 同理可证 12 / /CDl， 异面直线 1 l与 2 l所成的角即 11 B D， 1 CD所成的 11 CD B， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是正方形， 1 AA 平面ABCD，且2ABBC， 1 3AA ， 22 11 222 2B D， 22 11 2313C
23、DCB， 异面直线 1 l与 2 l所成的角的余弦值为： 222 1111 11 111 138 1326 cos 2132132 2 CDB DCB CD B CDB D 故答案为： 26 13 17 （4 分）已知直线 1 1 :4 2 lyxkk，直线 2 22 24 :4(0)lyx k kk ，若直线 1 l， 2 l与 两坐标轴围成一个四边形，则当4k时，这个四边形面积的取值范围是 17 (,8) 4 【解答】解：当4k时， 22 124 0,0,40,40 2 kk kk ， 因为 1 l， 2 l过定点(2,4)， 直线 1 l与x轴交于点 8 (2,0) k ，直线 2 l与
24、y轴交于点 2 4 (0,4) k ， 所以四边形的面积为 2 1418 2 (44)4 22(2) 22 S kk 第 12 页（共 16 页） 2 11 4( )16( )8 kk 2 1 4(2)8 k ， 因为4k， 所以 11 0 4 k ， 故 17 (,8) 4 S 故答案为： 17 (,8) 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 18 如图， 已知直线/ /l平面， 相异四点A，B，C，D满足：Al，Cl，B，D （）判断空间直线AC与BD的位置
25、关系，并说明理由； （）若/ /ABCD，求证：ABCD 【解答】解： （）AC与BD的位置关系是平行或异面说明如下： Al，Cl，B，D，ACl，BD， 直线/ /l平面，直线l与平面无公共点， AC与BD也无公共点， AC与BD平行或异面 （）证明：因为/ /ACBD，过AB，CD可作平面，且BD，l， 直线/ /l平面，/ /lBD即/ /ACBD， 又因为/ /ABCD， 四边形ABDC是平行四边形， ABCD 19已知直线:1()l yxRkk与圆 22 :(2)(3)1Cxy相交于A，B不同两点 （）若 * Nk，求k的值； 第 13 页（共 16 页） （）设M是圆C上的一动点（
26、异于A，)B，O为坐标原点，若12AO BO，求MAB 面积的最大值 【解答】解： （）直线l与圆C交于两点， 2 | 231| 1 1 k k ， 解得 4747 33 k， * Nk，1k或 2 （）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 将1yxk代入方程 22 (2)(3)1xy， 整理得 22 (1)4(1)70 xxkk， 12 2 4(1) 1 xx k k ， 12 2 7 1 x x k ， 2 1212121212 2 4 (1) 18 1 AO BOx xy yx xx xxx kk kkk k ， 由题设可得 2 4 (1) 812 1 kk k ，
27、解得1k，得直线l的方程为1yx， 可知圆心(2,3)在直线l上，AB是圆C的直经，且| 2AB ， M是圆C上的一动点（异于A，)B，M到直线l的最大距离为 1， MAB面积的最大值为 1 1 21 2 20如图，五面体EABCD中，平面EAB 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAB为等 腰三角形，且顶角120EAB，4 3BE ，2BC ，又G，F分别是AE，BE的中点， 点H在线段BC上运动（异于端点） （）求证：/ /CD平面HGF； （）设BHBC，若二面角BFGH的大小为30，求的值 【解答】 （）证明：ABCD是矩形，/ /CDAB， G，F分别是AE，BE的中点， 第 14
28、 页（共 16 页） / /GFAB，且 1 2 GFAB， / /CDGF， CD平面HGF，GF 平面HGF， / /CD平面HGF （）解：在平面ABE内作AB的垂线，如图建立空间直角坐标系Axyz， 120EAB，4 3BE ，4AEAB，2AD ， (0A，0，0)，(0B，4，0)，(2C，4，0)，(0,2,2 3)E，(0,1, 3)G，(0, 1, 3)F， (2,0,0)(2 ,0,0)BHBC， (2H，4，0)， (0, 2,0)GF ，(2 , 3,3)FH ， 设平面HGF的法向量为( , , )nx y z， 20 2330 n GFy n FHxyz ， 令2z
29、，则3x ， ( 3,0,2 )n是平面HGF的一个法向量， AD 平面AEB， 平面AEB的法向量即平面BFG的法向量为(2,0,0)AD ， 二面角HGFB的大小30 2 2 33 |cos,| 2| | (2 )3 2 n AD n AD nAD ，解得 1 2 ， 点H在线段BC上， 1 2 第 15 页（共 16 页） 21已知抛物线 2 :2(0)C ypx p和直线:10l xy 相交于A，B两点，且抛物线C的 焦点在直线l上 （）求|AB； （）设圆材经过A，B两点，且与抛物线C的准线相切，求圆M的方程 【解答】解：( ) I抛物线C的焦点为(,0) 2 p F， 由(,0)
30、2 p F代入直线l的方程得2p ，即C的方程为 2 4yx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则由 2 10 4 xy yx ， 得 2 610 xx ， 12 6xx， 12 1x x ， 222 1212121 2 |()()2()48ABxxyyxxx x 【亦可由抛物线定义得 12 | | (1)(1)8ABAFBFxx】 （）由（）得线段AB的中点坐标为(3,2)， AB的中垂线方程为2(3)yx 即5yx ， 设圆M的圆心坐标为 0 (x， 0) y，而抛物线C的准线为1x ， 则由 00 2200 0 5 |1| |1|()4 2 yx xy x ，解
31、得 0 0 3 2 x y ，或 0 0 11 6 x y ， 圆M的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 22 已知椭圆G的中心在原点， 对称轴是坐标轴， 且G的四个顶点构成的四边形面积等于 1， 离心率 3 2 e 第 16 页（共 16 页） （）求椭圆G的方程； （）当椭圆G的长轴在x轴上时，若椭圆G与直线:(l xmy ，m为常数）相交于不 同两点A，B，记直线l与x轴的交点为M，且2AMMB，求的取值范围 【解答】 （）设椭圆G的长半轴长为a，短半轴长为b， 则有 22 3 2 cab e aa ，顶点四边形21Sab 顶点四边形 ， 1a， 1 2
32、 b ， 椭圆G的方程为 22 41xy或 22 41yx （）由条件知椭圆G此时的方程为 22 41xy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则由2AMMB可得 12 2yy ， （1） 由 22 1 41 xmy xy ，得 222 (4)210mymy ， （2） 显然 1 y， 2 y是方程（2）的两个不同实数根， 222 (2)4(4)(1)0mm，得 22 4(1)m， （3） 又由韦达定理得 12 2 2 4 m yy m ， 2 12 2 1 4 y y m （显然1) ， 结合（1）得 1 2 4 4 m y m ， 2 2 2 4 m y m ， 2 222 142 444 mm mmm ，得 2 2 2 4(1)1 () 913 m ， 由（4）代入（3）得 2 2 2 4(1) 4(1) 91 ， 解得 2 1 1 9 ，即 1 1 3 或 1 1 3 ， 故所求的取值范围为( 1， 11 )( 33 ，1)
