1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）抛物线 2 :16C yx的焦点坐标为( ) A(4,0) B(8,0) C( 4,0) D( 8,0) 2 （5 分）若直线 1: (4)20laxay和直线 2:( 3)20laxy互相垂直，则(a ) A1 B0 C1 D2 3 （
2、5 分）某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层 抽样的方法抽取部分教师进行调查在抽取的样本中，青年教师有 30 人，则该样本中的老 年教师人数为( ) A10 B12 C18 D20 4 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 ，则其渐近线方程为( ) A 2 2 yx B 2 4 yx C 1 4 yx D 1 2 yx 5 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的 m（ ） 第 2 页（共 19 页） A8 B9 C10 D11 6 （5 分）下列说法： 若线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时
3、，y一定增加 3 个单位； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变； 线性回归直线方程 ybxa必过点( , )x y； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样， 其中错误的说法是( ) A B C D 7 （5 分）两个圆 22 1: 240Cxyxy与 222 2: 245200Cxymxmym的公切线 恰好有 2 条，则m的取值范围是( ) A( 2,0) B( 2，0)(2，4) C(2,4) D(，0)(4，) 8（5 分） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是平行四边形， 1 4ABADAA， 11 60A ADA ABDAB
4、 ，则线段 1 AC的长度是( ) A6 3 B10 C4 6 D8 2 9 （5 分）已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则 该三棱锥的外接球的表面积为( ) A36 B52 C56 D224 10 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 22 22 :1(0,) xy Eabcab ab 的左、右焦点，过点 2 F且 斜率为3的直线l与直线 2 a x c 相交于点P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则椭圆E的离心率 e的值是( ) A 3 2 B 1 3 C 3 3 D 2 2 第 3 页（共 19 页） 11 （5 分）将正整数排列如图：则图
5、中数 2019 出现在( ) A第 44 行第 84 列 B第 45 行第 84 列 C第 44 行第 83 列 D第 45 行第 83 列 12 （5 分）如图，椭圆的两焦点为 F1，F2，长轴为 A1A2，短轴为 B1B2若以 F1F2为直径的圆内切于菱形 A1B2A2B1，切点分别为 A，B，C，D，则菱形 A1B2A2B1的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）直线22yx被抛物线 2 :4C yx截得的弦长为 14 （5 分）空
6、气质量指数(AirQualityIndex，简称)AQI是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI大小分为六级，0 50为优；51 100为良；101 150为轻度污染； 151 200为中度污染；201 300为重度污染；大于 300 为严重污染某环保人士从当地某 年的AQI记录数据中，随机抽取了 15 天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录根据该统 计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为 （该年为 366 天） 第 4 页（共 19 页） 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直 线与双曲线C和双曲线C
7、的一条渐近线分别相交于P，Q两点(P，Q在同一象限内） ， 若P 为线段QF的中点，且 3 | 3 PF ，则双曲线C的标准方程为 16 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 6 3 ABBCCC，则二面角 1 CDBC 的大小为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （10 分）已知命题p： “曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲
8、线” （1）请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由； （2）若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围 18 （12 分）一个袋中装有 6 个大小形状完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，5，6 （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为 6 的概率； （2） 先后有放回地随机抽取两个球， 两次取的球的编号分别记为a和b， 求5ab的概率 19 （12 分）已知动点P到点(F t，0)(t为常数且0)t 的距离与到直线xt的距离相等， 且点(1, 1)在动点P的轨迹上 （1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值； （2） 在 （1） 的条件下， 已知直线l与轨迹C交于A，
9、B两点， 点(2,1)M是线段AB的中点， 求直线l的方程 20 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E为PD 上的动点 （1）若/ /PB平面AEC，请确定点E的位置，并说明理由 （2）设2ABAP，3AD ，若 1 3 PEPD，求二面角PACE的正弦值 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知抛物线 2 2(0)xpy p，( 2 ,1)Dp为抛物线上的一点，F为其焦点，且 2 | 2 p DF （1）求抛物线的方程； （2） 直线AB过焦点F， 若直线OA、OB分别交直线:3260lxy于M、N两点， 求|MN 的最小值 22
10、（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上 异于椭圆顶点的动点， 直线AP与直线BD相交于点M， 直线BP与直线AD相交于点N 证 明：直线MN与x轴垂直 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每
11、小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）抛物线 2 :16C yx的焦点坐标为( ) A(4,0) B(8,0) C( 4,0) D( 8,0) 【解答】解：由抛物线 2 :16C yx的方程可得焦点坐标( 4,0)， 故选：C 2 （5 分）若直线 1: (4)20laxay和直线 2:( 3)20laxy互相垂直，则(a ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：因为直线 1: (4)20laxay和直线 2:( 3)20laxy互相垂直， 所以(3)1 (4)0a aa ， 解得
12、2a 故选：D 3 （5 分）某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层 抽样的方法抽取部分教师进行调查在抽取的样本中，青年教师有 30 人，则该样本中的老 年教师人数为( ) A10 B12 C18 D20 【解答】解：设该样本中的老年教师人数为x， 由分层抽样的特点得 3050% 20%x ， 解得12x 故选：B 第 7 页（共 19 页） 4 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 ，则其渐近线方程为( ) A 2 2 yx B 2 4 yx C 1 4 yx D 1 2 yx 【解答】解：双曲线 22 22
13、 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 可得： 3 2 4 c a ，即 2 2 189 1 168 b a ， 可得 2 4 b a ， 则双曲线C的渐近线方程为： 2 4 yx 故选：B 5 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的 m（ ） A8 B9 C10 D11 【解答】解：模拟程序的运行，根据题意可得 n0，m1，S2131， n1，m3，S2333 n2，m5，S2535 n3，m7，S2737 n4，m9，S2939 当 n5 时，m11，S211311800， 则输出 m 的值为 11 故选：D 6 （5 分）下列说法： 第 8 页（共 19 页） 若
14、线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时，y一定增加 3 个单位； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变； 线性回归直线方程 ybxa必过点( , )x y； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样， 其中错误的说法是( ) A B C D 【解答】解：若线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时，y平均增加 3 个单位，故错误； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的定义和性质，方差不会改变，故 正确； 线性回归直线方程 ybxa必过点( , )x y，故正确； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法也属于简单随机抽样，故错误 故选：D 7
15、 （5 分）两个圆 22 1: 240Cxyxy与 222 2: 245200Cxymxmym的公切线 恰好有 2 条，则m的取值范围是( ) A( 2,0) B( 2，0)(2，4) C(2,4) D(，0)(4，) 【解答】解：因为两圆的公切线恰有 2 条， 所以两圆相交， 圆 1 C的圆心 1(1, 2) C，半径为5r ， 圆 2 C的圆心 2( , 2 ) C mm，半径为2 5R ， 圆心距为 222 12 (1)( 22)5105CCmmmm ， 所以 2 2 5551052 55mm， 解得20m 或24m 故选：B 8（5 分） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D
16、中， 底面ABCD是平行四边形， 1 4ABADAA， 11 60A ADA ABDAB ，则线段 1 AC的长度是( ) 第 9 页（共 19 页） A6 3 B10 C4 6 D8 2 【解答】解：平行六面体 1111 ABCDABC D， 111 ACABBCCCABADAA 而 1 4ABADAA， 11 60A ADA ABDAB ， 2222 1111 2()ACABADAAAB ADAB AAAD AA 16 16 162(4 4 cos604 4 cos604 4 cos60 ) 96， 故线段 1 AC的长度：4 6 故选：C 9 （5 分）已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直
17、，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则 该三棱锥的外接球的表面积为( ) A36 B52 C56 D224 【解答】解：设三条侧棱长分别为a，b，c， 则 1 4 2 ab ， 1 6 2 bc ， 1 12 2 ac ， 解得：4a ，2b ，6c 把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为 222 56abc 三棱锥的外接球的半径为 56 2 ， 则三棱锥的外接球的表面积为 2 56 4()56 2 故选：C 10 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 22 22 :1(0,) xy Eabcab ab 的左、右焦点，过点 2 F且 斜率为3的直线l与直线 2 a x c 相交
18、于点P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则椭圆E的离心率 第 10 页（共 19 页） e的值是( ) A 3 2 B 1 3 C 3 3 D 2 2 【解答】解：设准线 2 a x c 与x轴交于Q，由 2 F且斜率为3的直线l可得直线的倾斜角为 60， 所以 2 22 | | | cos60 2 PF F QF Pc ， 所以 2 a cc c ，所以 2 2 c e a ， 故选：D 11 （5 分）将正整数排列如图：则图中数 2019 出现在( ) A第 44 行第 84 列 B第 45 行第 84 列 C第 44 行第 83 列 D第 45 行第 83 列 【解答】解：依题意，经过
19、观察，第n行的最后一个数为 2 n，而令 2 2019n 得，44n， 所以 2019 在第 45 行， 2 20194483， 所以 2019 在第 45 行，第 83 列 故选：D 12 （5 分）如图，椭圆的两焦点为 F1，F2，长轴为 A1A2，短轴为 B1B2若以 F1F2为直径的圆内切于菱形 A1B2A2B1，切点分别为 A，B，C，D，则菱形 A1B2A2B1的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值为（ ） 第 11 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：由题意可知菱形 A1B2A2B1的面积 S12ab， 设矩形 ABCD 中，|BC|2n，|AB|2m，易知
20、A1OB1和DF1O 相似，则， 又因为|OD|2c2m2+n2，可得 m，n， 所以矩形 ABCD 的面积， ， 因为 DOA1B1，可得 abc且 b2a2c2，即 a43a2c2+c40， 解得或者，ac， ， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）直线22yx被抛物线 2 :4C yx截得的弦长为 5 【解答】解：直线22yx代入 2 4yx，消去y，得 2 41240 xx即： 2 310 xx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 则 12 3xx， 12 1x x
21、所以 2 12 |1|5945ABxxk， 故答案为：5 第 12 页（共 19 页） 14 （5 分）空气质量指数(AirQualityIndex，简称)AQI是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI大小分为六级，0 50为优；51 100为良；101 150为轻度污染； 151 200为中度污染；201 300为重度污染；大于 300 为严重污染某环保人士从当地某 年的AQI记录数据中，随机抽取了 15 天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录根据该统 计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为 244 （该年为 366 天） 【解答】解：设此地该年空气质量为优或良的天数为n，
22、 由茎叶图可知AQI不超过 100 的天数为 10， 所以10 15366 n ，解得244n 故答案为：244 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直 线与双曲线C和双曲线C的一条渐近线分别相交于P，Q两点(P，Q在同一象限内） ， 若P 为线段QF的中点，且 3 | 3 PF ，则双曲线C的标准方程为 2 2 1 3 x y 【解答】解：由双曲线方程可得( ,0)F c，渐近线的方程为 b yx a ， 由 3 | 3 PF ，可得 3 ( ,) 3 P c，由P为QF的中点可得 2 3 ( ,) 3 Q c， 将Q
23、的坐标代入渐近线的方程，得 2 3 3 bc a ， 整理得 222 2 4() 3 ca c a ，即 2422 433aca c， P在双曲线上，则 2 22 1 1 3 c ab ，所以 2222222 3 ()3()c caaa ca， 整理得 42224 3630ca caa， 由可得 4224 3740ca ca， 因为ca，所以 22 4 3 ca， 由，解得 2 1b ， 2 4c ， 2 3a ， 第 13 页（共 19 页） 所以双曲线的方程为 2 2 1 3 x y， 故答案为： 2 2 1 3 x y 16 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1
24、 6 3 ABBCCC，则二面角 1 CDBC 的大小为 60 【解答】解：如图，连结AC交BD于点E，连结 1 C E， 在长方体 1111 ABCDABC D中，因为ABBC， 所以ABCD是正方形，所以CEBD， 易知 11 C BC D，E为BD的中点， 所以 1 ECC E， 所以 1 C EC为二面角 1 CDBC的平面角， 令 1 3CC ，则6ABBC， 所以3CE ， 故 1 3 tan3 3 C EC， 所以 1 60C EC 第 14 页（共 19 页） 故答案为：60 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明
25、过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （10 分）已知命题p： “曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲线” （1）请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由； （2）若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围 【解答】解：由“曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ， 所以 2 2 0 23 m mm ，解得13m 且0m ； 由“曲线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲线” ， 所以(2)(1)0mm，解得
26、21m （1）命题:( 1p m ，0)(0，3)，命题:( 2,1)q m ； 由p不能得出q，由q也不能得出p， 所以p不是q的必要不充分条件 （2）若命题“p且q”是真命题，则10m 或01m， 所以实数m的取值范围是( 1，0)(0，1) 18 （12 分）一个袋中装有 6 个大小形状完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，5，6 （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为 6 的概率； （2） 先后有放回地随机抽取两个球， 两次取的球的编号分别记为a和b， 求5ab的概率 【解答】解： （1）从袋中随机抽取两个球共有 15 种取法， 取出球的编号之和为 6 的有(1,5
27、)，(2,4)，共 2 种取法， 故取出的球的编号之和为 6 的概率 2 15 m P n （2）先后有放回地随机抽取两个球共有 36 种取法， 第 15 页（共 19 页） 两次取的球的编号之和大于 5 的有 26 种，分别为： (1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， (4,5)， (4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， (6,6)， 故5ab的概率 2613 3618 P 19 （
28、12 分）已知动点P到点(F t，0)(t为常数且0)t 的距离与到直线xt的距离相等， 且点(1, 1)在动点P的轨迹上 （1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值； （2） 在 （1） 的条件下， 已知直线l与轨迹C交于A，B两点， 点(2,1)M是线段AB的中点， 求直线l的方程 【解答】解： （1）动点P到( ,0)F t的距离与到直线xt的距离相等， 所以点P的轨迹是以( ,0)F t为焦点，xt的为准线的抛物线， 故点P的轨迹方程为 2 4ytx， 又点(1, 1)在动点P的轨迹上， 所以 1 4 t ， 故动点P的轨迹C的方程 2 yx； （2）设直线l的方程为xymk，设 1 (
29、A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为AB的中点为(2,1)，则有2mk， 联立方程组 2 xym yx k ，则有 2 0yymk， 所以 12 2yyk， 故0m ， 所以直线l的方程为 1 2 yx 20 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E为PD 上的动点 （1）若/ /PB平面AEC，请确定点E的位置，并说明理由 第 16 页（共 19 页） （2）设2ABAP，3AD ，若 1 3 PEPD，求二面角PACE的正弦值 【解答】解： （1）当E是PD中点时，/ /PB平面AEC 理由如下： 连接BD，交AC于点O，连接
30、OE， 底面ABCD是矩形，O是BD中点， E是PD中点，/ /OEPB， OE 平面AEC，PB平面AEC， / /PB平面AEC （2）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，E为PD上的动点， 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 2ABAP，3AD ，(0P，0，2)，(0A，0，0)，(2C，3，0)，(0D，3，0)， 1 3 PEPD，(0E，1， 4) 3 ， (0AP ，0，2)，(2AC ，3，0)，(0AE ，1， 4) 3 ， 设平面APC的法向量(nx，y，) z， 则 20 230 n APz n ACxy ，取
31、3x ，得(3n ，2，0)， 设平面ACE的法向量(ma，b，) c， 则 230 4 0 3 m ACab m AEbc ，取3a ，则(3m ，2， 3) 2 ， 设二面角PACE的平面角为， 则 |132 13 cos | |6161 13 4 m n mn ， 第 17 页（共 19 页） 二面角PACE的正弦值为： 2 2 133 61 1() 6161 21 （12 分）已知抛物线 2 2(0)xpy p，( 2 ,1)Dp为抛物线上的一点，F为其焦点，且 2 | 2 p DF （1）求抛物线的方程； （2） 直线AB过焦点F， 若直线OA、OB分别交直线:3260lxy于M、N
32、两点， 求|MN 的最小值 【解答】解： （1）由抛物线 2 2(0)xpy p的准线方程为 2 p y ，焦点为(0,) 2 p ， 且 2 | 1 22 pp DF ，解得2p ， 故抛物线的方程为 2 4xy； （2）由(0,1)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线AB的方程为1yxk， 由 2 1 4 yx xy k 消去y，整理得 2 440 xxk， 所以 12 4xx k， 12 4x x ，从而有 22 12121 2 |()44 1xxxxx xk， 第 18 页（共 19 页） 由 1 1 3260 y yx x xy 解得点M的横坐标为 11
33、 2 1111 1 6612 326 3 2 M xx x xxyx x ， 同理可得点N的横坐标为 2 12 6 N x x ， 所以 22 12 1212 91311 |1|12| 6 133 13 42366()|86 |43 | MN xx MNxx x xxx kk kk ， 令43tk，0t ，则 4 3 t k， 当0t 时， 2 258 |13113MN tt ； 当0t 时， 2 2 2585493 13 |13113() 5255 MN ttt 综上所述，当 25 4 t ，即 3 4 k时，|MN的最小值是 3 13 5 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭
34、圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上 异于椭圆顶点的动点， 直线AP与直线BD相交于点M， 直线BP与直线AD相交于点N 证 明：直线MN与x轴垂直 【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为c， 由题意可得 2 2 3 1 2 cb e aa ，即 1 2 ba， 由短轴长为 2，可得1b ，2a ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y； （2）证明：由题意可得( 2,0)A ，(2,0)B，(0, 1)D， 设( , )P s t，则 22 44st， 由 (2) 2 1 1 2 t yx s yx 可得 4242(22 ) 2222 M tsst x stst ， 第 19 页（共 19 页） 由 (2) 2 1 1 2 t yx s yx 可得 4422(22 ) 2222 N tsst x stst ， 由 2(22 )2(22 ) 2222 MN stst xx stst ， 上式化后的分子为2(22 )(22 )2(22 )(22 )st ststst 222222 2(444444)2(288)2(8 8)0ssttststst， 所以M，N的横坐标相等，故直线MN与x轴垂直
