1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）在等比数列 n a中， 3 4a ，则 24 (a a ) A64 B32 C16 D8 2 （5 分）已知函数( )f x的导函数为( )fx，且 f （1）1 ，则 0 (1)(1) lim( x fxf x ) A4 B3 C
2、2 D1 3 （5 分）命题xR ， 2 310 xax 的否定是( ) AxR ， 2 31 0 xax BxR ， 2 310 xax CxR ， 2 310 xax DxR ， 2 31 0 xax 4 （5 分）下列求导运算正确的是( ) A 1 ()() xx e lnxelnx x B(cos)sin 33 C 2 (sin )2 cosxxxx D(3 )3 xx 5 （5 分）若实数a，b满足0ab，则下列不等式中不成立的是( ) A| |ab B 11 aba C 11 ba D 22 ba 6 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 yf（x）的图象如图所示
3、，则函数 yf （x）的图象可能是（ ） A B 第 2 页（共 14 页） C D 7 （5 分） “1a ”是“关于x的方程 2 30 xxa有实数根”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 8 （5 分）已知0a ，0b 且31ab，则28 ab 的最小值为( ) A2 2 B3 3 C6 D8 9 （5 分）已知命题p：若xy，则sinsinxy；命题q：对任意x，yR，都有 22 2xyxy则下列命题是假命题的是( ) Apq Bpq Cq Dp 10 （5 分）若实数x，y满足不等式组 1 0 1 0 1 0 xy xy x ，则2zxy的
4、最小值是( ) A2 B0 C4 D1 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2若F到双曲 线的一条渐近线的距离为 2，则双曲线的方程为( ) A 22 1 84 xy B 22 1 44 xy C 22 1 88 xy D 22 1 48 xy 12 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 1 () 2 nn aa nN 设 2 n n n b a ， * nN，且数列 n b是单调递增数列，则实数的取值范围是( ) A(,1) B 3 ( 1, ) 2 C 3 (,) 2 D( 1,2) 二、填空题（本大题共二、填
5、空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若60A ，2b ， 1c ，则ABC的面积为 14 （5 分）已知拋物线 2 2(0)ypx p上一点(1,)Am到其焦点的距离为 3，则p 15 （5 分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验 第 3 页（共 14 页） 室的改建费用分为装修费和设备费 设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列， 已知第 一实验室的设备费用为 3 万元，第三实验室的设备费用为 12 万元则该研究所改建这五个 实验室投入的设备费用为
6、 万元 16 （5 分）如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，B为椭圆C的 上顶点，若 12 BFF的外接圆的半径为 2 3 b ，则椭圆C的离心率为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解下列不等式： （） 2 34 0 xx ； （） 3 0 1 x x 18已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 7 1a ， 4 32S （）求数列 n a的通项公式； （）求 n S的最小值 19已知ABC中，3AB ，
7、D是边BC上一点，2AD ， 3 ADC ， 5 12 DAC （）求AC的长； （）求BD的长 20已知函数 3 ( )31()f xxaxaR （）当1a 时，求函数( )f x的极大值； （）讨论函数( )f x的单调性 21已知函数( ) x a f xx e ，其中aR，e是自然对数的底数 第 4 页（共 14 页） （）当1a 时，求函数( )f x在区间0，)上的零点个数； （）若( )2f x 对任意的实数x恒成立，求a的取值范围 22已知椭圆 22 1 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 3 2 ，抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p的焦点与 椭圆 1 C的上
8、顶点重合 （）求抛物线 2 C的方程； （）若过点( 1,0)M 的直线l与抛物线 2 C交于不同的两点E、F，过E、F作抛物线 2 C 的切线 1 l、 2 l，当 12 ll时，求直线l的方程 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5
9、分）在等比数列 n a中， 3 4a ，则 24 (a a ) A64 B32 C16 D8 【解答】解：在等比数列 n a中， 3 4a ， 则 2 243 16a aa 故选：C 2 （5 分）已知函数( )f x的导函数为( )fx，且 f （1）1 ，则 0 (1)(1) lim( x fxf x ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：根据导数的定义可知， 0 (1)(1) lim x fxf f x （1）1 故选：D 3 （5 分）命题xR ， 2 310 xax 的否定是( ) AxR ， 2 31 0 xax BxR ， 2 310 xax CxR ， 2 310 xax D
10、xR ， 2 31 0 xax 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题xR ， 2 310 xax 的否定 为：xR ， 2 31 0 xax 故选：D 4 （5 分）下列求导运算正确的是( ) A 1 ()() xx e lnxelnx x B(cos)sin 33 C 2 (sin )2 cosxxxx D(3 )3 xx 【解答】解： 2 ()()()() xxxx e lnxelnxe lnxelnx x ，故选项A正确； 1 (cos)( )0 32 ，故选项B错误； 第 6 页（共 14 页） 2222 (sin )() sin(sin )2 sincosxxxxxx
11、xxxx，故选项C错误； (3 )33 xxln ，故选项D错误 故选：A 5 （5 分）若实数a，b满足0ab，则下列不等式中不成立的是( ) A| |ab B 11 aba C 11 ba D 22 ba 【解答】解：因为0ab，所以| | 0ab， 11 0,0 ab ， 所以 22 11 , | ab ab ，所以 11 ab ，故选项ACD正确， 取2a ，1b ，则0ab，则 111 1, 2aba ，此时 11 aba ， 故选项B错误 故选：B 6 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 yf（x）的图象如图所示，则函数 yf （x）的图象可能是（ ） A B
12、C D 【解答】解：由 f（x）的图象知，当 x0 时 f（x）0，函数为减函数，排除 A，B， 设右侧第一个零点为 a，当 0 xa 时，f（x）0，函数为增函数，且 x0 是函数的 极小值点，排除 C， 故选：D 第 7 页（共 14 页） 7 （5 分） “1a ”是“关于x的方程 2 30 xxa有实数根”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 【解答】解：关于x的方程 2 30 xxa有实数根，则940a，解得 9 4 a， 则“1a ”是“关于x的方程 2 30 xxa有实数根”的充分不必要条件， 故选：A 8 （5 分）已知0a ，0b
13、且31ab，则28 ab 的最小值为( ) A2 2 B3 3 C6 D8 【解答】解：因为0a ，0b 且31ab， 则 3 282 282 22 2 ababab ， 当且仅当 1 3 2 ab即 1 2 a ， 1 6 b 时取等号， 故选：A 9 （5 分）已知命题p：若xy，则sinsinxy；命题q：对任意x，yR，都有 22 2xyxy则下列命题是假命题的是( ) Apq Bpq Cq Dp 【解答】解：命题p：若xy，则sinsinxy是假命题，比如190 x ，30y ，但是 sin190sin30 ， 由 2 ()0 xy，可得 22 2xyxy， 所以命题q：对任意x，y
14、R，都有 22 2xyxy是真命题， 故pq是真命题，pq是假命题，p是真命题， 故选：B 10 （5 分）若实数x，y满足不等式组 1 0 1 0 1 0 xy xy x ，则2zxy的最小值是( ) A2 B0 C4 D1 第 8 页（共 14 页） 【解答】解：由约束条件 1 0 1 0 1 0 xy xy x 作出可行域如图， 化目标函数2zxy为2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2 故选：A 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2若F到双曲 线的一条渐近线的距离为 2，则双曲线
15、的方程为( ) A 22 1 84 xy B 22 1 44 xy C 22 1 88 xy D 22 1 48 xy 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2 点F到双曲线的一条渐近线的距离为 2， 可得： 222 2 2 c a b cab ，2a，2b ， 双曲线的方程为 22 1 44 xy 故选：B 12 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 1 () 2 nn aa nN 设 2 n n n b a ， * nN，且数列 n b是单调递增数列，则实数的取值范围是( ) A(,1) B 3 ( 1, ) 2 C 3
16、 (,) 2 D( 1,2) 【解答】解：由题设可知：数列 n a是首项、公比均为 1 2 的等比数列， 第 9 页（共 14 页） 1 2 n n a， 2 (2 ) 2n n n n bn a ， 又数列 n b是单调递增数列， 1 1 (1 2 ) 2(2 ) 2(22 ) 20 nnn nn bbnnn 恒成立， 即220n恒成立， 2(2)3 min n， 3 2 ， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若60A ，2b ， 1c ，则A
17、BC的面积为 3 2 【解答】解：在ABC中，60A ，2b ，1c ， 1133 sin2 1 2222 ABC SbcA 故答案为： 3 2 14 （5 分）已知拋物线 2 2(0)ypx p上一点(1,)Am到其焦点的距离为 3，则p 4 【解答】解：因为抛物线方程为 2 2(0)ypx p， 所以其准线方程为 2 p x ， 因为抛物线 2 2(0)ypx p的上一点(1,)Mm到其焦点的距离为 3， 所以13 2 p ， 所以4p 故答案为：4 15 （5 分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验 室的改建费用分为装修费和设备费 设备费从第一到第五实验
18、室依次构成等比数列， 已知第 一实验室的设备费用为 3 万元，第三实验室的设备费用为 12 万元则该研究所改建这五个 实验室投入的设备费用为 93 万元 【解答】解：设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列， 第 10 页（共 14 页） 第一实验室的设备费用为 3 万元，第三实验室的设备费用为 12 万元 则 1 3a ， 22 31 312aaqq，解得2q 该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为： 5 5 3(12 ) 93 12 S （万元） 故答案为：93 16 （5 分）如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，B为椭圆C的 上
19、顶点，若 12 BFF的外接圆的半径为 2 3 b ，则椭圆C的离心率为 1 2 【解答】解：由椭圆的对称性可知三角形 12 BFF为等腰三角形， 则其外心必在线段OB上，且 222 22 ()() 33 cbbb， 解得 22 3bc，所以 2222 4abcc，则 1 2 c a ， 所以椭圆的离心率为 1 2 ， 故答案为： 1 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解下列不等式： （） 2 34 0 xx ； （） 3 0 1 x x 【解答】解： （）不等式
20、 2 34 0 xx ， 可化为(1)(4) 0 xx， 解得1x或4x； 原不等式的解集为(，14，) （）不等式 3 0 1 x x ， 第 11 页（共 14 页） 可转化成(3)(1) 0 xx ，但1x ， 解得31x， 原不等式的解集为 3，1) 18已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 7 1a ， 4 32S （）求数列 n a的通项公式； （）求 n S的最小值 【解答】解：( ) I设出等差数列的首项 1 a和公差d， 7 1a ， 4 32S ， 即： 1 61ad， 1 43 432 2 ad ， 解得 1 11a ，2d ， 数列 n a的通项公式为11(1)2
21、213 n ann （） 22 (1) 11212(6)36 2 n n n Snnnn 当6n 时， n S取得最小值36 19已知ABC中，3AB ，D是边BC上一点，2AD ， 3 ADC ， 5 12 DAC （）求AC的长； （）求BD的长 【解答】解： （）由已知知 4 ACD ， 在ADC中， sinsin ACAD ADCACD ， 2 32 22 AC ，得3AC （）ABD中，由余弦定理得 222 2cosABBDADBD ADADB， 第 12 页（共 14 页） 又3AB ，2AD ， 2 3 ADBADC ， 222 2 ( 3)( 2)22cos 3 BDBD ，
22、解得 62 2 BD 20已知函数 3 ( )31()f xxaxaR （）当1a 时，求函数( )f x的极大值； （）讨论函数( )f x的单调性 【解答】解： （）当1a 时， 3 ( )31f xxx， 2 ( )33fxx， 令( )0fx，得1x 或1x ； 令( )0fx，得11x ， ( )f x在(, 1) ，(1,)上递增，在( 1,1)上递减， 故( )f x的极大值为( 1)1f （） 22 ( )333()fxxaxa， 当0a时，( ) 0fx在R上恒成立， ( )f x在R上单调递增； 当0a 时，令( )0fx，得xa 或xa； 令( )0fx，得axa 函数(
23、 )f x均在(,)a ，(,)a 上单调递增，在(,)aa上单调递减 21已知函数( ) x a f xx e ，其中aR，e是自然对数的底数 （）当1a 时，求函数( )f x在区间0，)上的零点个数； （）若( )2f x 对任意的实数x恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （）当1a 时， 1 ( ) x f xx e ，则 1 ( )10 x fx e ， ( )f x在0，)上单调递增， 又(0)10f ， 1 (1)10f e ， 故 0 (0,1)x，使得 0 ()0f x， 第 13 页（共 14 页） 函数( )f x在区间0，)上有 1 个零点 （）若( )2f x 对任
24、意的实数x恒成立，则(2) x aex恒成立， 令( )(2) x g xex，则( )(1) x g xex， 令( )0g x，得1x ；令( )0g x，得1x ( )g x在(,1)上递增，在(1,)上递减， ( )maxg xg（1）e， a的取值范围为( ,)e 22已知椭圆 22 1 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 3 2 ，抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p的焦点与 椭圆 1 C的上顶点重合 （）求抛物线 2 C的方程； （）若过点( 1,0)M 的直线l与抛物线 2 C交于不同的两点E、F，过E、F作抛物线 2 C 的切线 1 l、 2 l，当 12 l
25、l时，求直线l的方程 【解答】解： （）由题知，椭圆 1 C的长半轴为 2，半焦距 2 4cb， 由离心率 2 43 22 cb e a ， 得 2 1b ， 椭圆 1 C的上顶点为(0,1)， 故拋物线 2 C的焦点为(0,1)， 拋物线 2 C的方程为 2 4xy （）由已知知直线l的斜率必存在， 设直线l的方程为(1)yxk， 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y， 由（）知 2 1 4 yx，则 1 2 yx ， 切线 1 l， 2 l的斜率分别为 1 1 2 x， 2 1 2 x， 当 12 ll时，有 12 11 1 22 xx ， 第 14 页（共 14 页） 即 12 4xx ， 联立方程 2 (1) 4 yx xy k 得： 2 440 xxkk， 令 2 (4 )4 ( 4 )0 kk， 解得1 k或0k， 12 44xx k，即1k， 此时1k满足， 直线l的方程为10 xy
