1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的. 1 2 9 化成角度是( ) A20 B40 C50 D80 2已知第二象限的角的终边与单位圆交于点 5 (,) 5 m，则cos( ) A 2 5 5 B 5 5 C 1 2 D2 3已知平面向量( 2,3)a ，| 2|ba，若b与a反向，则b等于( ) A(4, 6) B(1, 6) C( 1,6) D( 4,6) 4设全集1U ，2，3，4，5，6，2
2、A，3，4，1B ，2，则图中阴影部分表示 的集合为( ) A1，2，5，6 B1 C2 D3，4 5函数 3 ( )2 1 f x x 的大致图象是( ) A B C D 6在四边形ABCD中，已知ABDC，| |ABBC，则四边形ABCD一定是( ) A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 7已知 3 0.2a ， 0.2 3b ， 0.2 log3c ，则a，b，c的大小关系为( ) 第 2 页（共 15 页） Aabc Bcab Cbac Dcba 8已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在0，)上为减函数，若f（2）0，则 不等式( )0 xf x 的解集为( ) A( 2,2) B
3、(，2)(0，2) C(0,2) D( 2，0)(2，) 9当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量y随时间t（单位：年）的变化规律可用函数 5730 1 ( ) 2 t y 大致刻画，即大约经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 根 据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳 14 含量仅为死亡时的20.3%，由此 可推断该生物的死亡时间大约为( )（参考数据： 2 log 0.2032.3) A2500 年前 B11600 年前 C13200 年前 D28200 年前 10已知为锐角，且 2 sin() 33 ，则sin()( 6 ) A 5 3 B 2 3 C
4、 3 3 D 5 3 11设函数( )cos()(0) 6 f xx 若( )() 4 f xf 对任意的实数x都成立，则的最小 值为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D1 12 已 知 函 数 |1 | 21 ( 02 ) ( ) (2)(2) x x f x f xx 剟 ，( )log (1)(0 a g xxa， 且1)a ， 若 ()()()Fxfxgx在0，)上至少有 5 个不相同的零点，则实数a的取值范围为( ) A(3,4) B(4,5) C(2,3) D(5,) 二、填空题二、填空题. 13已知幂函数( )f x的图象过点 1 ( ,3) 9 ，则f（4） 14已知
5、平面向量(4,3)a ，(1,3)b ，( ,6)c k，若(2 )/ /abc，则k的值为 15函数 2 ( )sincos()f xxx的值域为 16某数学学习小组为了锻炼自主探究学习能力，以函数 21 ( ) 21 x x f x 为基本素材研究其相 关性质，得到部分研究结论如下： 函数( )f x在定义域上是奇函数； 第 3 页（共 15 页） 函数( )f x的值域为( 1,1)； 使( (2)0f fx的x的取值范围为(,2)； 对于任意实数a，b，都有 (1( )(1( ) 2 (1( )(1( ) a b f af b f af b 其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号）
6、 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17设3436 xy ，求 21 xy 的值 18已知函数( )(4)1f xlnxx的定义域为集合A （）若全集为R，求 RA ； （）若集合 |21 x a Bx ，且ABB，求实数a的取值范围 19如图，四边形ABCD中，已知2ADBC （）用AB，AD表示DC； （）若2AEEB，DPDE，当A，P，C三点共线时，求实数的值 20 某公司已经耗费资金 2 千万元成功研发A，B两种芯片， 现在准备投入资金进行生产 经 市场调查与预测，生产A种芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万
7、元）的函数关系 为(0)yx x 已知每投入 1 千万元生产B种芯片， 公司获得利润 0.25 千万元， 且生产B 种芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万元）成正比 （）求生产B种芯片的利润y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式； （）现在公司准备投入 4 亿元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润 21已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示 （）求函数( )f x的解析式； （）若先将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变） ，得到函数 ( )m x的图象； 再把后者图象上所有点向左平行移动 3 个单
8、位长度， 得到函数( )g x的图象 已 知关于x的不等式( )1g xm对任意 2 , 3 x 恒成立，求实数m的取值范围 第 4 页（共 15 页） 22设定义域为 1，1的函数( )()()f xln axln ax，且1a （）用函数单调性定义证明函数( )f x在0，1上是减函数； （）对于任意 3 1, 2 b，若函数( )f x在定义域内存在实数x满足 2 ()220fxxb，求 实数a的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题给
9、出的四个选项中，只有项是符合要求的一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的. 1 2 9 化成角度是( ) A20 B40 C50 D80 【解答】解：180rad ，即 1 180 rad ， 22180 40 99 rad 故选：B 2已知第二象限的角的终边与单位圆交于点 5 (,) 5 m，则cos( ) A 2 5 5 B 5 5 C 1 2 D2 【解答】解：第二象限的角的终边与单位圆交于点 5 (,) 5 m， 则 5 cos 5 ， 故选：B 3已知平面向量( 2,3)a ，| 2|ba，若b与a反向，则b等于( ) A(4, 6) B(1, 6) C( 1,6)
10、D( 4,6) 【解答】解：( 2,3)a ，b与a反向，| 2|ba， 2( 2,3)(4, 6)b 故选：A 4设全集1U ，2，3，4，5，6，2A，3，4，1B ，2，则图中阴影部分表示 的集合为( ) A1，2，5，6 B1 C2 D3，4 【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集 第 6 页（共 15 页） 合表示为() U AB 1U ，2，3，4，5，6，1B ，2，2A，3，4， 3 UB ，4，5，6， 则()3 U AB ，4 故选：D 5函数 3 ( )2 1 f x x 的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：函数的对
11、称中心为( 1,2)，排除BC， (0)2310f ，排除D， 故选：A 6在四边形ABCD中，已知ABDC，| |ABBC，则四边形ABCD一定是( ) A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 【解答】解：ABDC， ABDC，且/ /ABDC， 四边形ABCD是平行四边形，又| |ABBC， 四边形ABCD是菱形 故选：C 7已知 3 0.2a ， 0.2 3b ， 0.2 log3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcab Cbac Dcba 【解答】解： 3 00.21， 0.20 331， 0.20.2 log3log10， 第 7 页（共 15 页） cab 故选：B 8已
12、知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在0，)上为减函数，若f（2）0，则 不等式( )0 xf x 的解集为( ) A( 2,2) B(，2)(0，2) C(0,2) D( 2，0)(2，) 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在0，)上是减函数， 函数在(,0)上是增函数， f（2）0，( 2)0f， 不等式( )0 xf x 等价于 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x 2x 或02x 故不等式( )0 xf x 的解集为(0，2)(，2)， 故选：B 9当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量y随时间t（单位：年）的变化规律可用函数 5730 1
13、 ( ) 2 t y 大致刻画，即大约经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 根 据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳 14 含量仅为死亡时的20.3%，由此 可推断该生物的死亡时间大约为( )（参考数据： 2 log 0.2032.3) A2500 年前 B11600 年前 C13200 年前 D28200 年前 【解答】解：设该生物的死亡时间为t， 则有 5730 1 ( )20.3% 2 t ， 则 12 2 (0.203)0.2032.3 5730 t loglog ， 所以57302.31317913200t 故选：C 10已知为锐角，且 2 sin(
14、) 33 ，则sin()( 6 ) A 5 3 B 2 3 C 3 3 D 5 3 【解答】解：为锐角，且 2 sin() 33 ， 第 8 页（共 15 页） 则 2 5 sin()sin()cos()1sin () 623333 ， 故选：A 11设函数( )cos()(0) 6 f xx 若( )() 4 f xf 对任意的实数x都成立，则的最小 值为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D1 【解答】解：若( )() 4 f xf 对任意的实数x都成立， 则() 4 f 是的最大值， 即2 46 k ，kZ， 即 2 8 3 k，kZ， 0，当0k 时，取得最小值为 2 3 ，
15、故选：C 12 已 知 函 数 |1 | 21 ( 02 ) ( ) (2)(2) x x f x f xx 剟 ，( )log (1)(0 a g xxa， 且1)a ， 若 ()()()Fxfxgx在0，)上至少有 5 个不相同的零点，则实数a的取值范围为( ) A(3,4) B(4,5) C(2,3) D(5,) 【解答】解：令( )0F x ，则有( )( )f xg x， 因为( )( )( )F xf xg x在0，)上至少有 5 个不相同的零点， 所以函数( )yf x与( )yg x的图象在0，)上至少有 5 个不相同的交点， 若(4,5)a，则( )f x与( )g x有且只
16、有 5 个交点，如图， 若至少有 5 个不相同的交点，则(5,)a，如图 故选：D 第 9 页（共 15 页） 二、填空题二、填空题. 13已知幂函数( )f x的图象过点 1 ( ,3) 9 ，则f（4） 1 2 【解答】解：幂函数( ) a f xx的图象过点 1 ( ,3) 9 ， 11 ( )( )3 99 a f， 解得 1 2 a ， 1 2 ( )f xx f（4） 1 2 1 4 2 故答案为： 1 2 14已知平面向量(4,3)a ，(1,3)b ，( ,6)c k，若(2 )/ /abc，则k的值为 4 【解答】解：根据题意，向量(4,3)a ，(1,3)b ，( ,6)c
17、 k， 则2(2, 3)ab， 若(2 )/ /abc，则有326k，解可得4k， 则4k， 故答案为：4 15函数 2 ( )sincos()f xxx的值域为 1， 5 4 【解答】解：函数 22 ( )sincos()1 coscosf xxxxx ， 第 10 页（共 15 页） 令cos 1tx ，1， 则 2 ( )1g ttt ，图象开口向下，对称轴为 1 2 t ， 所以( )g t的最大值为 1115 ()1 2424 g ， ( )g t的最小值为g（1）1 1 11 ， 所以函数( )f x的值域为 1， 5 4 故答案为： 1， 5 4 16某数学学习小组为了锻炼自主探
18、究学习能力，以函数 21 ( ) 21 x x f x 为基本素材研究其相 关性质，得到部分研究结论如下： 函数( )f x在定义域上是奇函数； 函数( )f x的值域为( 1,1)； 使( (2)0f fx的x的取值范围为(,2)； 对于任意实数a，b，都有 (1( )(1( ) 2 (1( )(1( ) a b f af b f af b 其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号） 【解答】解：因为对任何xR，210 x ，( )f x都有意义，所以( )f x定义域为R； 对于， () () 211221 ()( ) 211221 xxx xxx fxf x ，所以( )f x R上是
19、奇函数，则对； 对于， 212122 ( )1 212121 xx xxx f x ，121 x 1 (0 21 x ， 2 1)( 2 21 x ，0)( )( 1f x ，1)；则对； 对于，令( )( (2)F xf fx，2ux， 212122 ( )1 212121 xx xxx f x ， 由复合函数单调性知，( )f x为增函数，从而( ( )f f x也为增函数， 2ux为减函数，所以( )( (2)F xf fx为减函数，F（2）( (0)0f f， ( (2)0( )0( )f fxF xF xF（2）2x， 所以x的取值范围为(,2)，则对； 对于，对于任意实数a，b，有
20、 2 22 2 ( 1( )( 1( ) 21 21 2222 22 (1( )(1( ) 21 21 ab ab aba ba b ab f af b f af b ，则 错； 第 11 页（共 15 页） 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17设3436 xy ，求 21 xy 的值 【解答】解：3436 xy ， 33 log 362log 6x， 44 log 362log 6y ， 34 2121 2626xyloglog 66 1 log 3log 4 2 66 log 3log 2 6 log 61
21、 18已知函数( )(4)1f xlnxx的定义域为集合A （）若全集为R，求 RA ； （）若集合 |21 x a Bx ，且ABB，求实数a的取值范围 【解答】解： （）函数( )(4)1f xlnxx中， 令 40 1 0 x x ，解得14x， 所以函数( )f x的定义域为集合1A，4) 又全集为R，所以(,1)4 RA ，)； （）集合 |21 |0 |( ,) x a Bxx xax xaa ， 由ABB，得AB， 所以1a ， 即实数a的取值范围是(,1) 19如图，四边形ABCD中，已知2ADBC （）用AB，AD表示DC； （）若2AEEB，DPDE，当A，P，C三点共线时
22、，求实数的值 第 12 页（共 15 页） 【解答】解： （）2ADBC 1 2 BCAD， 则 11 22 DCDAABBCADABADABAD （） 1 2 ACABBCABAD ， APADDP， 2AEEB，DPDE， 2 ()(1)(1) 3 APADDEADAEADADAEADAB， 若A，P，C三点共线时， 则 2 1 3 1 1 2 ，得 12 1 233 ， 得33，得 3 4 20 某公司已经耗费资金 2 千万元成功研发A，B两种芯片， 现在准备投入资金进行生产 经 市场调查与预测，生产A种芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系 为(0)yx x 已知每投
23、入 1 千万元生产B种芯片， 公司获得利润 0.25 千万元， 且生产B 种芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万元）成正比 （）求生产B种芯片的利润y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式； （）现在公司准备投入 4 亿元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润 【解答】解： （）因为生产B种芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万元）成正 比， 所以yx k， 因为每投入 1 千万元生产B种芯片，公司获得利润 0.25 千万元， 所以 1 (1) 4 yxk， 第 13 页（共 15 页） 由可得， 1 4 k， 所以 1 4 yx； （）设 4 亿元中给A投资m千万元
24、，则给B投资40m千万元，040m剟， 所以总利润 40 ( )2 4 m f mm ， 故 11 ( ) 42 f m m ， 令( )0fm，解得4m ， 所以函数( )f m在(0,4)上单调递增，在(4,40)上单调递减， 故当4m 时，( )f m取最大值f（4）9， 所以可以获得的最大利润 9 千万 21已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示 （）求函数( )f x的解析式； （）若先将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变） ，得到函数 ( )m x的图象； 再把后者图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度， 得
25、到函数( )g x的图象 已 知关于x的不等式( )1g xm对任意 2 , 3 x 恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （）由( )f x的部分图象可知2A， 5 41264 T ，可得T，所以 2 2 T ， 由五点作图法可得2 62 ，解得 6 ， 所以函数( )f x的解析式为( )2sin(2) 6 f xx （）若先将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变） ，得到函数 第 14 页（共 15 页） 1 ( )2sin() 26 m xx 的图象， 再 把 后 者 图 象 上 所 有 点 向 左 平 行 移 动 3 个 单 位 长 度 ， 得 到
26、 函 数 111 ( )2sin()2sin() 223623 g xxx 的图象 当x ， 2 3 时， 1 236 x ， 2 3 ， 11 sin() 232 x ，1， 所以( ) 1g x ，2， 因为不等式( )1g xm对任意 2 , 3 x 恒成立，等价于( )1 min g xm恒成立， 所以11m ，解得2m ， 即实数m的取值范围是(，2 22设定义域为 1，1的函数( )()()f xln axln ax，且1a （）用函数单调性定义证明函数( )f x在0，1上是减函数； （）对于任意 3 1, 2 b，若函数( )f x在定义域内存在实数x满足 2 ()220fxx
27、b，求 实数a的取值范围 【解答】 （）证明：设 12 01xx剟， 则 212211 ()()()()()()f xf xln axln axln axln ax 12 11 ()() ()() axax ln axax 22 2 22 1 ax ln ax ， 因为 12 01xx剟，1a ， 所以 2222 21 0axax， 故 22 2 22 1 1 ax ax ， 所以 21 ()()0f xf x，即 21 ()()f xf x， 故函数( )f x在0，1上是减函数； （）解：函数( )f x的定义域为 1，1，关于原点对称， 又()()()( )fxln axln axf x
28、， 所以函数( )f x为偶函数，且在 1，0上单调递增，在0，1上单调递减， 又 2 2yx在 1，0上单调递增，在0，1上单调递减，且为偶函数， 第 15 页（共 15 页） 所以 2 ( )()2g xfxx在 1，0上单调递增，在0，1上单调递减，且( )g x为偶函数， 所以 2 ( )(1)( 1)2(1)2 min g xgfln a， ( )(0)(0)2 max g xgflna， 因为对于任意 3 1, 2 b，若函数( )f x在定义域内存在实数x满足 2 ()220fxxb， 所以 ( ) ( ) maxmax minmin g xb g xb ， 即 2 3 2 2 (1) 1 lna ln a ，解得 33 42 1eae 剟， 故实数a的取值范围为 33 42 1eae 剟
