1、第 1 页(共 15 页) 2020-2021 学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 (5 分) 已知集合1U , 2, 3, 4, 5,6,2A, 3,5,1B , 3,6, 则() ( U AB ) A4 B C1,2,4,5,6 D1,2,3,5,6 2 (5 分)命题“ 0R xQ, 3 0 xQ”的否定是( ) A 0R xQ, 3 0
2、 xQ B 0R xQ, 3 0 xQ C R xQ , 3 xQ D R xQ , 3 xQ 3 (5 分) 8 sin( 3 ) A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 4 (5 分) “1xy ”是“1x ,1y ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 (5 分)下列大小关系正确的是( ) A 20.4 4 0.43log 0.3 B 20.4 4 0.4log 0.33 C 0.42 4 log 0.330.4 D 20.4 4 log 0.30.43 6 (5 分)已知tan2,则 22 22 2sincos sin3cos 的
3、值为( ) A9 B6 C2 D3 7 (5 分)有一块半径为 2,圆心角为45的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩 形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上) ,则这个内接矩形的 面积最大值为( ) A22 B22 C2 22 D2 22 8 (5 分)设函数( )11f xx , 2 ( )(31)g xln axx,若对任意的 1 0 x ,),都存 在 2 xR,使得 12 ()()f xg x成立,则实数a的最大值为( ) 第 2 页(共 15 页) A2 B 9 4 C4 D 9 2 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小
4、题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9 (5 分)下列判断正确的有( ) A 2 (4)4 B0 1 ,0,2 Ccos1sin 6 D 2 ()yx与yx是同一个函数 10 (5 分)下列命题为真命题的有( ) A若ab,cd,则acbd B若ab,则 22 acbc C若0ab,则 22 ab D若0ab,则 11 ab 11 (5 分)基本再生数 0 R与世代间隔T是新冠肺炎的流行学基本参数,基本再
5、生数指一个 感染者传染的平均人数, 世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间, 在新冠肺炎疫情 初始阶段,可以用指数模型:( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t(单位:天)的规 律, 指数增长率与 0 R,T近似满足 0 1RrT , 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R ,6T , 据此,在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加 1 倍需要的时间,判断错误的有( )(参考数据:20.69)ln A约 1.8 天 B约 2.6 天 C约 3.5 天 D约 6.9 天 12 (5 分)定义一种运算: , , a a b ab b ab ,设 2 ( )(52)|1|f
6、 xxxx,则下面结论 中正确的有( ) A函数( )f x的图象关于直线1x 对称 B函数( )f x的图象与直线5y 有三个公共点 C函数( )f x的单调递减区间是(,1和1,3 D函数( )f x的最小值是 2 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)已知幂函数( )f x的图象经过(3,27),则f(2) 14 (5 分)已知角的终边经过点( 1, 3)P ,则cos 15 (5 分)设函数 2 1 | | 2 2 ( )2 1 x x f x x ,若对xR ,不等式 2 ()(4)f mxf x 成立,则
7、实 第 3 页(共 15 页) 数m的取值范围是 16 (5 分)将函数( )sin(0)f xx 的图象向右平移 12 个单位长度得到函数( )yg x的 图象,若函数( )g x在区间0, 2 上是单调递增函数,则实数的取值范围是 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知集合 | 22Axx 剟, |1Bx x (1)求集合 RB A; (2)设集合 |6Mx axa,且AMM,求实数a的取值范围 18 (12 分)在sin0,cos0,tan0这三个条件中任选
8、两个,补充在下面 的问题中并解答 已知_,且 4 |sin| 5 (1)求cos和tan的值; (2)求sin2cos2的值 19 (12 分)已知函数( )log(0 a f xx a且1)a ,设( )(2)(2)g xfxfx (1)求函数( )g x的定义域; (2)判断函数( )g x的奇偶性,并说明理由; (3)求不等式( )0g x 的解集 20 (12 分)已知0m , 2 :412 0p xx,:22qm xm剟 (1)若5m ,且命题p或q为真命题,p且q为假命题,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围 21 (12 分)某变异病毒感染的治疗过程
9、中,需要用到某医药公司生产的A类药品该公司 每年生产此类药品的年固定成本为 160 万元,每生产x千件需另投入成本为 2 1 ( )20 10 C xxx(万元) , 每千件药品售价为 60 万元, 此类药品年生产量不超过 280 千件, 假设在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完 (1)求公司生产A类药品当年所获利润y(万元)的最大值; (2)当年产量为多少千件时,每千件药品的平均利润最大?并求最大平均利润 22 (12 分)已知函数( )sin()(0,|) 2 f xAx 部分图象如图所示 (1)求和的值; 第 4 页(共 15 页) (2)求函数( )f x在,上的单调递增区间; (3
10、)设( )()() 1212 xf xf x ,已知函数 2 ( )2( )3 ( )21g xxxa在, 6 2 上存在 零点,求实数a的最小值和最大值 第 5 页(共 15 页) 2020-2021 学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 (5 分) 已知集合1U , 2, 3, 4, 5,6,2A, 3,
11、5,1B , 3,6, 则() ( U AB ) A4 B C1,2,4,5,6 D1,2,3,5,6 【解答】解:集合1U ,2,3,4,5,6,2A,3,5,1B ,3,6, 3AB, ()1 U AB ,2,4,5,6 故选:C 2 (5 分)命题“ 0R xQ, 3 0 xQ”的否定是( ) A 0R xQ, 3 0 xQ B 0R xQ, 3 0 xQ C R xQ , 3 xQ D R xQ , 3 xQ 【解答】解:根据存在量词命题的否定是全称量词命题, 则命题“ 0R xQ, 3 0 xQ”的否定是: “ R xQ , 3 xQ” 故选:D 3 (5 分) 8 sin( 3 )
12、 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解: 83 sinsin(3)sin 3332 故选:D 4 (5 分) “1xy ”是“1x ,1y ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页(共 15 页) 【解答】 解: 当4x , 1 2 y 时, 满足1xy , 但1x ,1y , 故 “1xy ” 不能推出 “1x , 1y ” , 而“1x ,1y ”能推出“1xy ” , 所以“1xy ”是“1x ,1y ”的必要不充分条件 故选:B 5 (5 分)下列大小关系正确的是( ) A 20.4 4 0.43log 0.3
13、 B 20.4 4 0.4log 0.33 C 0.42 4 log 0.330.4 D 20.4 4 log 0.30.43 【解答】解: 44 log 0.3log 10, 20 00.40.41, 00.4 133, 20.4 40.3 0 43log , 故选:D 6 (5 分)已知tan2,则 22 22 2sincos sin3cos 的值为( ) A9 B6 C2 D3 【解答】解:因为tan2, 则 222 222 2sincos212 4 1 9 sin3cos343 tan tan 故选:A 7 (5 分)有一块半径为 2,圆心角为45的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形
14、(矩 形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上) ,则这个内接矩形的 面积最大值为( ) A22 B22 C2 22 D2 22 【解答】解:根据题意得到图形: 如图所示:设COB 所以2sinBC, 第 7 页(共 15 页) 在ODC中,18045135ODC , 利用正弦定理: sin(45)sin135 DCOC , 整理得2 2sin(45)CD, 所以22 2454 2452 222 4 SBC CDsinsinsinsinsin 矩形 当 8 时,S矩形的最大值为2 22 故选:C 8 (5 分)设函数( )11f xx , 2 ( )(31)g xln ax
15、x,若对任意的 1 0 x ,),都存 在 2 xR,使得 12 ()()f xg x成立,则实数a的最大值为( ) A2 B 9 4 C4 D 9 2 【解答】解:设 2 ( )(31)g xln axx的值域为A, ( )11f xx 在0,)上的值域为(,0, ( ,0A, 2 ( )31h xaxx至少要取遍(0,1中的每一个数, 又(0)1h, 实数a需要满足0a或 0 940 a a , 解得 9 4 a 实数a的最大值为 9 4 故选:B 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符在每小
16、题给出的选项中,有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9 (5 分)下列判断正确的有( ) A 2 (4)4 B0 1 ,0,2 Ccos1sin 6 D 2 ()yx与yx是同一个函数 【解答】解:对于A, 2 (4)|4| 4,所以选项A错误; 第 8 页(共 15 页) 对于B,根据元素与集合之间的关系知,0 1 ,0,2,所以选项B正确; 对于C,sinsin30cos60 6 ,且016090 , 所以cos1cos60 ,即cos1sin 6 ,选项C正确; 对于D, 2 ()y
17、xx的定义域是0,),yx的定义域是R, 两函数的定义域不同,不是同一函数,所以选项D错误 故选:BC 10 (5 分)下列命题为真命题的有( ) A若ab,cd,则acbd B若ab,则 22 acbc C若0ab,则 22 ab D若0ab,则 11 ab 【解答】解:对于A,ab,0cdab, 0()()0()()0cdabcdacbdacbd;所以A对; 对于B,当0c 时,ab成立,但 22 acbc不成立;所以B错; 对于C,00abab, 2222 0()()0ababab abab;所以C对; 对于D,举反例,1a , 1 2 b , 11 ab 不成立;所以D错; 故选:AC
18、 11 (5 分)基本再生数 0 R与世代间隔T是新冠肺炎的流行学基本参数,基本再生数指一个 感染者传染的平均人数, 世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间, 在新冠肺炎疫情 初始阶段,可以用指数模型:( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t(单位:天)的规 律, 指数增长率与 0 R,T近似满足 0 1RrT , 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R ,6T , 据此,在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加 1 倍需要的时间,判断错误的有( )(参考数据:20.69)ln A约 1.8 天 B约 2.6 天 C约 3.5 天 D约 6.9 天 【解答】解:把 0
19、 3.28R ,6T 代入 0 1RrT , 可得3.2816r ,解得 3.281 0.38 6 r , 所以 0.38 ( ) t I te, 设感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 t, 因为感染病例增加 1 倍,感染病例数变为原来的 2 倍, 第 9 页(共 15 页) 所以 1 0.38()0.38 2 t tt ee ,则 1 0.38 2 t e, 两边取对数可得 1 0.382tln,解得 1 20.69 1.8 0.380.38 ln t , 所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 1.8 天, 则判断错误的有BCD 故选:BCD 12 (5 分
20、)定义一种运算: , , a a b ab b ab ,设 2 ( )(52)|1|f xxxx,则下面结论 中正确的有( ) A函数( )f x的图象关于直线1x 对称 B函数( )f x的图象与直线5y 有三个公共点 C函数( )f x的单调递减区间是(,1和1,3 D函数( )f x的最小值是 2 【解答】 解: 令 2 1 52yxx, 2 |1|yx, 当1x时, 解方程 2 52|1|xxx, 得1x , 当1x 时,解方程 2 52|1|xxx,得3x ,作函数草图, 22 2 1&(1) |1|&(|1| 2) ( )(52)|1|52&( 13) 6(1) &(|2|2) 1
21、&(0) xx xx f xxxxxxx xx xx 剟 ; 对于A,由( )f x图象可知,函数( )f x的图象关于直线1x 对称,则A对; 对于B,由( )f x图象可知,函数( )f x的图象与直线5y 有四个公共点,则B错; 对于C,由( )f x图象可知,函数( )f x的单调递减区间是(,1和1,3,则C对; 对于D,由( )f x图象可知,函数( )f x的最小值是( 1)ff(3)2,则D对; 故选:ACD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 第 10 页(共 15 页) 13 (5 分)已知幂函数( )f x的
22、图象经过(3,27),则f(2) 8 【解答】解:设幂函数( ) a f xx, 把点(3,27)代入,得 327 a , 解得3a 3 ( )f xx, f(2) 3 28, 故答案为:8 14 (5 分)已知角的终边经过点( 1, 3)P ,则cos 1 2 【解答】解:角的终边经过点( 1, 3)P ,1x ,3y , 22 2rxy, 故 1 cos 2 x r 15 (5 分)设函数 2 1 | | 2 2 ( )2 1 x x f x x ,若对xR ,不等式 2 ()(4)f mxf x 成立,则实 数m的取值范围是 4,4 【解答】解:函数 2 1 | | 2 2 ( )2 1
23、 x x f x x 的定义域为R, 由 2 1 | | 2 2 ()2( ) 2 x x fxf x x ,即( )f x为偶函数, 当0 x时, 1 2 4 ( )21 2 x f x x ,为递减函数, 则( )f x在R上递减, 由 2 ()(4)f mxf x ,可得 2 4mx x ,即 2 4 0 xmx 对xR恒成立, 可得 2 16 0m,解得44m 剟, 则实数m的取值范围是 4,4, 故答案为: 4,4 16 (5 分)将函数( )sin(0)f xx 的图象向右平移 12 个单位长度得到函数( )yg x的 图象,若函数( )g x在区间0, 2 上是单调递增函数,则实
24、数的取值范围是 (0, 6 5 【解答】解:将函数( )sin(0)f xx 的图象向右平移 12 个单位长度, 第 11 页(共 15 页) 得到函数( )sin() 12 yg xx 的图象, 则若函数( )g x在区间0, 2 上是单调递增函数, 122 ,且 2122 ,求得 6 0 5 则实数的取值范围是(0, 6 5 , 故答案为:(0, 6 5 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知集合 | 22Axx 剟, |1Bx x (1)求集合 RB A;
25、(2)设集合 |6Mx axa,且AMM,求实数a的取值范围 【解答】解: (1) |1Bx x,则 |1 RB x x, 又 | 22Axx 剟,则() | 21 RB Axx 剟; (2)AMM,AM,且 |6Mx axa, 2 62 a a ,解得42a , 实数a的取值范围为( 4, 2) 18 (12 分)在sin0,cos0,tan0这三个条件中任选两个,补充在下面 的问题中并解答 已知_,且 4 |sin| 5 (1)求cos和tan的值; (2)求sin2cos2的值 【解答】解:方案一:选择 (1)由已知可得,为第二象限角, 4 sin 5 , 3 cos 5 , sin4
26、tan cos3 , (2) 24 sin22sincos 25 2222 347 cos2cossin()( ) 5525 , 第 12 页(共 15 页) 则 24717 sin2cos2() 252525 方案二:选择 (1)由已知,为第一象限角, 4 sin 5 , 3 cos 5 , sin4 tan cos3 , (2) 24 sin22sincos 25 2222 347 cos2cossin( )( ) 5525 , 则 24731 sin2cos2() 252525 方案三:选择 (1)由已知,为第三象限角, 4 sin 5 , 3 cos 5 , sin4 tan cos3
27、 , (2) 24 sin22sincos 25 2222 347 cos2cossin()() 5525 , 则 24731 sin2cos2() 252525 19 (12 分)已知函数( )log(0 a f xx a且1)a ,设( )(2)(2)g xfxfx (1)求函数( )g x的定义域; (2)判断函数( )g x的奇偶性,并说明理由; (3)求不等式( )0g x 的解集 【解答】解: (1)函数( )log(0 a f xx a且1)a , ( )(2)(2)log (2)log (2) aa g xfxfxxx 由 20 20 x x ,求得22x ,可得函数( )g
28、x的定义域为( 2,2) (2)函数( )g x定义域关于原点对称,且()( )gxg x , ( )g x为奇函数 (3)不等式( )0g x ,即log (2)log (2) aa xx 当1a 时,220 xx,求得02x 当01a时,022xx,求得20 x 第 13 页(共 15 页) 综上可得,当1a 时,不等式的解集为(0,2); 当01a时,不等式的解集为( 2,0) 20 (12 分)已知0m , 2 :412 0p xx,:22qm xm剟 (1)若5m ,且命题p或q为真命题,p且q为假命题,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围 【解答】解:
29、 (1)解不等式 2 412 0 xx,得26x 剟,即: 26px 剟, 当5m 时,: 37qx 剟, 由于命题p、q中一个是真命题,一个是假命题,分以下两种情况讨论: p真q假时, 26 73 x xx 或 剟 ,解得x; p假q真时, 62 37 xx x 或 剟 ,解得32x剟或67x , 所以实数x的取值范围为 3,2)(6,7; (2)p是q的充分条件, 2 ,6是2.2mm的子集, 故 0 22 26 m m m ,解得4m, 所以m的取值范围是4,) 21 (12 分)某变异病毒感染的治疗过程中,需要用到某医药公司生产的A类药品该公司 每年生产此类药品的年固定成本为 160
30、万元,每生产x千件需另投入成本为 2 1 ( )20 10 C xxx(万元) , 每千件药品售价为 60 万元, 此类药品年生产量不超过 280 千件, 假设在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完 (1)求公司生产A类药品当年所获利润y(万元)的最大值; (2)当年产量为多少千件时,每千件药品的平均利润最大?并求最大平均利润 【解答】解: (1)由题可得0280 x剟, 所以 22 11 60(20 )16040160 1010 yxxxxx , 当200 x 时,3840 max y, 所以当年产量为 200 千件时,在这一药品的生产中所获利润最大为 3840 万元; 第 14 页(共 1
31、5 页) (2)可知平均利润为 2 1 40160 160160 10 ()4024032 1010 xx xx xxx , 当且仅当 160 10 x x ,即40 x 时等号成立, 所以当年产量为 40 千件时,每千件药品的平均利润最大为 32 万元 22 (12 分)已知函数( )sin()(0,|) 2 f xAx 部分图象如图所示 (1)求和的值; (2)求函数( )f x在,上的单调递增区间; (3)设( )()() 1212 xf xf x ,已知函数 2 ( )2( )3 ( )21g xxxa在, 6 2 上存在 零点,求实数a的最小值和最大值 【解答】解: (1)由图象可知
32、: 2 2362 T ,T,则 2 2 T , 又22 62 k,Zk,得2 6 k,又| 2 , 所以 6 , (2)( )sin(2) 6 f xx , 由222 262 x k剟k,Zk, 可得: 36 x k剟k, Zk, 令1k,得 45 36 x 剟,因x 剟,则 5 6 x 剟, 令0k,得 36 x 剟, 令1k,得 27 36 x 剟,因x 剟,则 2 3 x 剟, 所以( )f x在,上的单调递增区间为, 5 6 , 3 , 6 , 2 3 , (3) 13 ( )()()sin2()sin2()sin2sin(2)sin2cos2sin(2) 12121261263223 xf xf xxxxxxxx , 第 15 页(共 15 页) 则 2 ( )2sin (2)3sin(2)21 33 g xxxa , 由函数( )g x在 6 , 2 上存在零点, 则 2 22sin (2)3sin(2)1 33 axx ,在 6 , 2 上有解, 令sin(2) 3 tx ,由 6 x , 2 ,则20 3 x , 2 3 ,即0t,1, 则 22 317 2312()1 48 yttt ,17 8 , 所以 17 1 2 8 a剟,即 117 216 a剟, 故a的最小值为 1 2 ,最大值为17 16