1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）集合1U ，2，3，4，5，1S ，4，5，2T ，3，4，则()( U ST ) A1，5 B1 C1，4，5 D1，2，3，4，5 2 （5 分） “0a ”是“函数( )(0)f xaxb a单调递增”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分
2、条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）已知某扇形的弧长为 2 3 ，圆心角为 3 ，则该扇形的面积为( ) A 2 3 B C 4 3 D 8 3 4 （5 分）已知非零实数a，b满足ab，则( ) A 11 ab ab B 11 ab C22 ab D(|)(|)ln aln b 5 （5 分）已知函数 2, 0 ( ) ,0 xx f x lgx x ，则 1 ( ()( 10 f f ) A2 B1 C 1 100 D1 6 （5 分）函数 | ( ) xx ln x f x ee 的大致图象是( ) A B C D 7 （5 分）已知函数 2 ( )441f xaxx，( 1,1
3、)x ，( )0f x 恒成立，则实数a的取值范 围是( ) A 3 4 a B1a C 3 1 4 a D1a 第 2 页（共 16 页） 8 （5 分）已知函数 1 ( )log( ,2) 1 a x f xxr a x 的值域为(1,)，则( ) A2,22ra B2,22ra C1,21ra D1,21ra 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3
4、 分分 9 （5 分）下列选项不正确的是( ) A既是奇函数又是偶函数的函数一定是( )0()f xxR B函数 1 y x 在定义域内是减函数 C所有的周期函数一定有最小正周期 D函数( ) lnx f xe和函数 1 ( )g x x 有相同的定义域与值域 10 （5 分） 如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 2 ()y m与时间t（月)的关系为： t ya 有 以下几个判断，正确的是( ) A2a B浮萍从 2 5m蔓延到 2 15m只需要经过 1.5 个月 C在第 6 个月，浮萍面积超过 2 30m D若浮萍蔓延到 2 2m， 2 4m， 2 8m所经过的时间分别为 1 t， 2 t，
5、 3 t，则 123 ttt 11 （5 分）根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 3x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为 0.1 的要求下，方程34 x x的一个近似解可以为( ) A1 B1.5 C1.562 D1.7 第 3 页（共 16 页） 12 （5 分）已知 222 ( )sinsin ()sin ()f xxxx，其中，为参数，若对xR ， ( )f x恒为定值，则下列结论中正确的是( ) A 3 ( ) 2 f x B( )2f x C D满足题意的一组，可以是 2 , 33 三、填空题：
6、本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 35 sin,cos,(0,),(, ) 51322 ，则sin() 14 （5 分）已知函数( )sin()f xAx，xR（其中0A ，0，|) 2 ，其部分 图象如图所示，则( )f x 15 （5 分）已知a，b都是正数，若3abab，则ab的最小值为 16 （5 分）已知14a，函数 12 9 ( ),1, , ,4f xxxa xa x ，使得 12 () () 80f xf x ，则 a的取值范围 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） （）求值：若 3 log 21x，求22 xx 的值； （）化简： cos(3 )cos() 2 sin2 18 （12 分）已知集合 2 |340Ax xx， 22 |450Bx xmxm，其中mR （）若 | 51Bxx ，求实数m的值； （）已知命题:p xA，命题:q xB，若p是q的充分条件，且0m ，求实数m的取 值范围 19 （12 分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线 2 (0)yx x上 第 4 页（共 16 页） （）求cos2的值； （）若角满足tan(
8、2)1，求tan()的值 20 （12 分）已知函数 2 ( )sin coscosf xxxx （）求函数( )f x的最小正周期，并写出函数( )f x的单调递增区间； （）若将函数( )yf x的图象上各点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再把图象向 右平移 8 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，求满足( ) 1g x 的实数x的集合 21 （12 分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含 药量y（单位：毫克）随时间x（单位：)h的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y 与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 1 ()( 1
9、6 x a ya 为常数） ，根据图中提供 的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式 （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室学习， 那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1)|f xxxxa （）若1a ，解不等式( ) 1f x ； （）若函数( )f x在 2，2上单调递增，求实数a的取值范围； （）记函数( )f x在 2，2上最大值为g（a） ，求g（a）的最小值 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市高一（上）期末数学
10、试卷学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）集合1U ，2，3，4，5，1S ，4，5，2T ，3，4，则()( U ST ) A1，5 B1 C1，4，5 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合1U ，2，3，4，5，1S ，4，5，2T ，3，4， 所以1 UT ，5， 所以()1 U ST ，5 故选：A 2 （5 分） “0a ”是“函数
11、( )(0)f xaxb a单调递增”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：对于一次函数( )f xaxb，(0)a ， 若函数( )f x单调递增，则0a ， 反之， “0a ”能推出“函数( )f xaxb单调递增” ， 故“0a ”是“函数( )(0)f xaxb a单调递增”的充分必要条件， 故选：B 3 （5 分）已知某扇形的弧长为 2 3 ，圆心角为 3 ，则该扇形的面积为( ) A 2 3 B C 4 3 D 8 3 【解答】解：扇形的圆心角为 3 ，弧长l为 2 3 ， 扇形的半径2 l r ， 扇形的面积 1122 2
12、2233 Slr 故选：A 4 （5 分）已知非零实数a，b满足ab，则( ) A 11 ab ab B 11 ab C22 ab D(|)(|)ln aln b 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：对于A，取 1 2 a ， 1 3 b ，可得 15 2 a a ， 110 3 b b ， 11 ab ab ，故A 错误； 对于B，若0ab，则 11 ab ，故B错误； 对于C，由ab，可得ab ，所以22 ab ，故C正确； 对于D，取 1 2 a ，2b ，则(|)(|)ln aln b，故D错误 故选：C 5 （5 分）已知函数 2, 0 ( ) ,0 xx f x lgx x ，
13、则 1 ( ()( 10 f f ) A2 B1 C 1 100 D1 【解答】解：因为函数 2, 0 ( ) ,0 xx f x lgx x ， 所以 11 ()1 1010 flg ， 故 2 1 ( ()( 1)( 1)1 10 f ff 故选：D 6 （5 分）函数 | ( ) xx ln x f x ee 的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：函数的定义域为 |0 x x ， | ()( ) xxxx lnxln x fxf x eeee ，则函数( )f x是奇函数，图象关于原点对称，排除D， f（1）0，排除A，B， 故选：C 7 （5 分）已知函数 2 ( )441f
14、 xaxx，( 1,1)x ，( )0f x 恒成立，则实数a的取值范 第 7 页（共 16 页） 围是( ) A 3 4 a B1a C 3 1 4 a D1a 【解答】解：当0a 时，( )410f xx ，解得 1 4 x ， 故当 3 4 x 时，( )0f x ，故不符合题意； 当0a 时，则有 ( 1)441 0 (1)441 0 fa fa ，无解； 当0a 时，则有 0 4 1 2 4 ( 1) 0 a f ，或 0 4 1 2 4 (1) 0 a f ，或16160a， 解得无解，无解，1a ， 故1a ， 综上所述，实数a的取值范围是1a 故选：B 8 （5 分）已知函数
15、1 ( )log( ,2) 1 a x f xxr a x 的值域为(1,)，则( ) A2,22ra B2,22ra C1,21ra D1,21ra 【解答】解：令 12 ( )1 11 x h x xx ， 因为函数( )h x在( ,2)r a上单调递增， 所以 22 ( )(1,1) 13 h x ra ， 当1a 时，函数( )f x在( ,2)r a上单调递增， 此时值域不可能为(1,)， 当01a时，函数( )f x在( ,2)r a上单调递减， 要使得值域为(1,)，则有 2 10 1 2 1 3 r a a ， 解得1r ，21a 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题
16、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 第 8 页（共 16 页） 题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）下列选项不正确的是( ) A既是奇函数又是偶函数的函数一定是( )0()f xxR B函数 1 y x 在定义域内是减函数 C所有的周期函数一定有最小正周期 D函数( ) lnx f xe和函数 1 ( )g x x 有相同的定义域与值域 【解答】解：对于A，若( )yf x既是奇函数，又是偶函数，由
17、定义可得( )0f x ， 但不一定xR，只要定义域关于原点对称即可，故A错误； 对于B，函数 1 y x 的减区间为(,0)，(0,)， 但函数 1 y x 在定义域内不是减函数，故B错误； 对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期， 例如常数函数( )1f x 是周期函数，但无最小正周期，故C错误； 对于D，函数( ) lnx f xe定义域为(0,)，值域为(0,)， 函数 1 ( )g x x 定义域为(0,)，值域为(0,)，故D正确 故选：ABC 10 （5 分） 如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 2 ()y m与时间t（月)的关系为： t ya 有 以下几个判断，
18、正确的是( ) A2a B浮萍从 2 5m蔓延到 2 15m只需要经过 1.5 个月 C在第 6 个月，浮萍面积超过 2 30m 第 9 页（共 16 页） D若浮萍蔓延到 2 2m， 2 4m， 2 8m所经过的时间分别为 1 t， 2 t， 3 t，则 123 ttt 【解答】解：由题意，浮萍蔓延的面积 2 ()y m与时间(t月）的关系：(0 t ya a且1)a ， 由函数图象可知函数过点(1,2)， 1 2a，2a ，故A正确； 函数的解析式为：2ty ，由 1 25 t ，得 12 log 5t ，由 2 215 t ，得 22 log 15t ， 而 2122222 log 15
19、log 5log 3981.5ttloglog，故B错误； 当5t 时， 6 26430y ，故第 6 个月时，浮萍的面积超过 2 30m，故C正确； 由 1 22t， 2 42t， 3 82t，得 1 1t ， 2 2t ， 3 6t ，则 123 ttt成立，故D正确 故选：ACD 11 （5 分）根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 3x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为 0.1 的要求下，方程34 x x的一个近似解可以为( ) A1 B1.5 C1.562 D1.7 【解答】解：令( )34 x
20、f xx，由已知表格中的数据，可得： (1.5)5.196 1.540.3040f ， (1.53125)5.378 1.5312540.153250f ， (1.5625)5.565 1.562540.00250f， (1.625)5.961 1.62540.3360f， (1.75)6.839 1.7541.0890f 精确度为 0.1，而(1.5)(1.5625)0ff，且|1.5625 1.5| 0.06250.1， (1.5)(1.625)0ff，且|1.625 1.5| 0.1250.1， (1.53125)(1.625)0ff，且|1.625 1.53125| 0.093750.
21、1， (1.53125)(1.75)0ff，且|1.75 1.53125| 0.218750.1， 1.5，1.625内的任何一个数，都可以看作是方程34 x x的一个近似解 结合选项可知，B、C成立 故选：BC 第 10 页（共 16 页） 12 （5 分）已知 222 ( )sinsin ()sin ()f xxxx，其中，为参数，若对xR ， ( )f x恒为定值，则下列结论中正确的是( ) A 3 ( ) 2 f x B( )2f x C D满足题意的一组，可以是 2 , 33 【解答】解： 1cos21cos(22 )1cos(22 ) ( ) 222 xxx f x 31 (cos
22、2(1cos2cos2 )sin2(sin2sin2 ) 22 xx， 由题意， cos2cos21 sin2sin20 ， 两式平方相加可得 1 cos(22 ) 2 ， 所以 32 ( ),222 23 f x k或 2 2, 3 Z kk 当 2 , 33 时， 2 22 3 符合题意， 故选项A，D正确，B，C错误 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 35 sin,cos,(0,),(, ) 51322 ，则sin() 33 65 【解答】解： 35 sin,cos,(0,),(, ) 51
23、322 ， 所以 22 34 cos1sin1( ) 55 ， 22 512 sin1cos1() 1313 ， 所以 3541233 sin()sincoscossin() 51351365 故答案为： 33 65 14 （5 分）已知函数( )sin()f xAx，xR（其中0A ，0，|) 2 ，其部分 图象如图所示，则( )f x 2sin() 44 x 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：由图象可知2A，734 2 T ，所以8T ，所以 2 4T ， 所以( )2sin() 4 f xx ， 由五点作图法可得3 4 ，解得 4 ， 所以( )f x的解析式为( )2sin()
24、 44 f xx 故答案为：2sin() 44 x 15 （5 分）已知a，b都是正数，若3abab，则ab的最小值为 2 【解答】解：a、b都为正数且满足3abab， 2 () 3 4 ab ab 等号当ab时成立 2 ()4() 12 0abab 2ab 或6ab（舍) ab的最小值为 2 故答案为 2 16 （5 分）已知14a，函数 12 9 ( ),1, , ,4f xxxa xa x ，使得 12 () () 80f xf x ，则 a的取值范围 (1,47 【解答】解： 2 2 99 ( )1 x fx xx ， 令( )0fx，得3x ， 所以在(1,3)上，( )0fx，(
25、)f x单调递增， 在(3,4)上，( )0fx，( )f x单调递减， f（1）10，f（4）6.25，f（3）6， 若 1 1x，a， 2 xa，4，使得 12 () () 80f xf x ， 只需 1 1x ，a， 2 xa，4，使得 12 () ()80 max f xf x， 而 1 ()maxf xf（1）10，所以 2 ()8 max f x， 第 12 页（共 16 页） 过点B作BCy轴，与函数( )f x的图象交于点C， 令 9 6.25x x ，解得4x 或 2.25， 所以当2.25x，4时，( )6f x ，6.25， 所以 2 (1,2.25)x ， 所以(1,2
26、.25)a，才能使得 2 xa，4时， 2 ()8 max f x，即f（a）8， 所以 9 8a a ，解得47a（舍去）或47a， 所以147a， 所以实数a的取值范围为(1，47， 故答案为：(1，47 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） （）求值：若 3 log 21x，求22 xx 的值； （）化简： cos(3 )cos() 2 sin2 【解答】解：( ) I由题意， 3 log 21 x ，得23 x ， 得 110 223 33 xx 第 13
27、页（共 16 页） （） cos(3 )cos() cossin1 2 sin22sincos2 18 （12 分）已知集合 2 |340Ax xx， 22 |450Bx xmxm，其中mR （）若 | 51Bxx ，求实数m的值； （）已知命题:p xA，命题:q xB，若p是q的充分条件，且0m ，求实数m的取 值范围 【解答】解：( ) I由题意，5，1 是方程 22 450 xmxm的两根， 由韦达定理得： 2 44 55 m m ，解得1m ，经检验符合条件 （）由题意， | 14Axx ，AB， 因为0m ，则 | 5Bxmxm， 由AB得， 51 4 m m ，解得4m 所以实数
28、m的取值范围是4，) 19 （12 分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线 2 (0)yx x上 （）求cos2的值； （）若角满足tan(2)1，求tan()的值 【解答】解： （）由题意，因为在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线 2 (0)yx x上 所以 2 5 sin 5 ， 所以 2 3 cos212sin 5 （）由题意，tan2， 则 tan(2)tan1 tan()tan(2) 1tan(2)tan3 20 （12 分）已知函数 2 ( )sin coscosf xxxx （）求函数( )f x的最小正周期，并写出函数( )f x的单调递增
29、区间； （）若将函数( )yf x的图象上各点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再把图象向 第 14 页（共 16 页） 右平移 8 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，求满足( ) 1g x 的实数x的集合 【解答】解（） 1cos2121 ( )sin2sin(2) 22242 x f xxx ， 所以，周期为 2 2 T ， 令222, 242 xZ k 剟kk， 得 3 , 88 xZ k 剟kk， 所以，函数( )f x的单调递增区间为： 3 , 88 Z kkk （）将函数( )yf x的图象上各点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变） ， 得到 21 sin
30、(4) 242 yx ， 再把图象向右平移 8 个单位长度，得到函数( )yg x的图象， 即 2121 sin4()sin(4) 2842242 yxx ， 即 21 ( )sin(4) 242 g xx ， 由 2 ( ) 1sin(4) 42 g xx 厖， 得 3 242, 444 xZ k 剟kk， 解得满足条件的x的集合为：|, 8242 xxZ kk 剟k 21 （12 分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含 药量y（单位：毫克）随时间x（单位：)h的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y 与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 1
31、()( 16 x a ya 为常数） ，根据图中提供 的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式 （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室学习， 那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 第 15 页（共 16 页） 【解答】解： （1）依题意，当00.1x剟时，可设ykx，且10.1k， 解得10k ，10yx， 又由 0.1 1 1() 16 a ，解得0.1a ， 所以 0.1 10 ,00.1 1 (),0.1 16 x xx y x 剟 ； （2）令 0.1 1 ()0.25 16 a ，解
32、得0.6x ， 即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1)|f xxxxa （）若1a ，解不等式( ) 1f x ； （）若函数( )f x在 2，2上单调递增，求实数a的取值范围； （）记函数( )f x在 2，2上最大值为g（a） ，求g（a）的最小值 【解答】解： （）1a 时， 2 221,1 ( ) 21,1 xxx f x xx ， （1）当1x时， 2 221 1xx ，解得1x ， （2）当1x 时，21 1x ，解得1x ， 故不等式的解集为 |1x x （） 2 2(1), ( ) (1), xaxa x a f x axa
33、xa ， （1）当 1 4 a a ，即 1 3 a 时，符合条件， （2）当 1 4 a a ，即 1 3 a 时，函数在R上为增函数，符合条件， （3）当 1 4 a a ，即 1 3 a 时，需满足： 1 2 4 a ，解得9a ； 综上： 1 3 a或9a 第 16 页（共 16 页） （）解法1:（1）当 1 3 a或9a ，则( )f x在 2，2上单调递增， 所以g（a）f（2）4 |2|a ； （2）当92a ，则 2 ( )2(1)f xxaxa， 又对称轴 1 0 4 a x ，所以g（a）f（2）4 |2|a ， （3） 当21a 时，g（a） ( 2)max f，f（2
34、）43|2|maxa，4 |2|4 |2|aa ， （4）当 1 1 3 a时，g（a）max f（a） ，f（2） 2 max a，4 |2|a， 因 22 (4 |2|)6(3)(2)0aaaaaa， 所以g（a）f（2）4 |2|a ， 综上，g（a）f（2）4 |2|a ， 当2a 时，g（a）4 min 解法2:（1）当2a 时g（a）max f（2） ，(2 ) ff（2）4 |2|a ， （2）当22a 时g（a）max f（2） ，(2 )f ，f（a）max f（2） ，f（a）， 又f（a）f（2） 22 (4 |2|)60aaaa， 所以，g（a）f（2）4 |2|:a （3）当2a时，( )(1)f xaxa，所以，g（a）f（2）4 |2|a ， 综上，g（a）f（2）4 |2|a ， 当2a 时，g（a）4 min
