1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷 一一.填空题填空题 1设集合 1A ，1，2，5， |26Bxx剟，则AB 2函数(2)ylgx的定义域是 3已知0a ，0b ，化简： 2 2 3 151 662 4 2 ()() 3 a b a ba b 4已知、是方程 2 2430 xx 的两个根，则 11 5已知( )log(0,1) a f xx aa，若函数( )yf x的图象经过点(4,2)，则(2 2)f 6设( )yf x是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )f xf x ，则( 2)f 7若a，b
2、都是正数，且1ab，则(1)(1)ab的最大值 8已知函数 1 (3)yxk， 2 a yx的图象如图所示，则不等式 1 2 0 y y 的解集是 9关于x的不等式|2|1|xxa的解集为R，则实数a的取值范围是 10已知函数(0 x ya bc b，1)(0bx，)的值域为 1，2)，则该函数的一个解 析式可以为y 11若函数|yx k与 2 |log (1)| 2 x y 的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为 12 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值， 具有社会、 经济、 生态等几方面的效益， 某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点若 以互相
3、垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系， 现有下述格点( 2,2)，(2,1)，(2,3)， 第 2 页（共 14 页） ( 2,4)，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点 （除回收点外）为垃圾集中回收 站，使这 6 个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 二二.选择题选择题 13下列函数中，值域为(0,)的是( ) A 2 yx B2xy Cylnx D 1 yx x 14用反证法证明命题： “已知a，bN，若ab不能被 5 整除，则a与b都不能被 5 整除” 时，假设的内容应为( ) Aa、b都能被 5 整除 Ba、b不都能被 5 整除 Ca、b至多有一个能被 5 整除 D
4、a、b至少有一个都能被 5 整除 15若实数x、y满足2020202020212021 xyxy ，则( ) A0 xy B0 xy C1 y x D1 y x 16对于定义在R上的函数( )yf x，考察以下陈述句： :( )q yf x是R上的严格增函数； 1 p：任意 1 x， 2 xR， 1212 ()()()f xxf xf x，且当0 x 时，都有( )0f x ； 2 p：当 12 ()()f xf x时，都有 12 xx 关于以上陈述句，下列判断正确的是( ) A 1 p、 2 p都是q的充分条件 B 1 p、 2 p中仅 1 p是q的充分条件 C 1 p、 2 p中仅 2 p
5、是q的充分条件 D 1 p、 2 p都不是q的充分条件 三三.解答题解答题 17已知集合 2 |0 1 x Ax x ， 2 |2(1)(2) 0BxR xaxa a （1）当1a 时，求AB； （2）若BA，求实数a的取值范围 18已知函数 2 ( ) 21 x x a f x ，设aR （1）是否存在a，使( )yf x为奇函数； （2）当0a 时，判断函数( )yf x的单调性，并用单调性的定义加以证明 19由于人们响应了政府的防控号召，2020 年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢 复常态，某赏花园区投资了 30 万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为 30 天，园区从某 第 3
6、页（共 14 页） 月 1 号至 30 号开放，每天的旅游人数( )f x与第x天近似地满足 8 ( )8f x x （千人） ，且游 客人均消费( )g x近似地满足( )143 |22|g xx（元)，130 x剟，xN （1）求该园区第x天的旅游收入( )p x（单位：千元）的函数关系式； （2）记（1）中( )p x的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本， 试问该园区能否收回投资成本？ 20已知 2 ( )25f xxax，aR （1）当3a 时，作出函数|( )|yf x的图象，若关于x的方程|( )|f xm有四个解，直接写 出m的取值范围； （2）若( )
7、yf x的定义域和值域均为1，a，求实数a的值； （3）若( )yf x是(，2上的严格减函数，且对任意的 1 x， 2 1x ，1a ，总 12 |()()|4f xf x，求实数a的取值范围 21已知 2 ( )logf xx （1）若 5 log 16m，试用m表示(10)f； （2）若 1 ( )2 ( )()g xf xft x ，函数( )yg x只有一个零点，求实数t的取值范围； （3）若存在正实数a、()b ab，使得| f（a）| | f（b） () | |()| 2 ab f k 成立，其中k为 正整数，求k的值 第 4 页（共 14 页） 2020-2021 学年上海市闵
8、行区高一（上）期末数学试卷学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1设集合 1A ，1，2，5， |26Bxx剟，则AB 2，5 【解答】解： 1A ，1，2，5， |26Bxx剟， 2AB，5 故答案为：2，5 2函数(2)ylgx的定义域是 (,2) 【解答】解：由20 x，得2x 函数(2)ylgx的定义域是(,2) 故答案为：(,2) 3已知0a ，0b ，化简： 2 2 3 151 662 4 2 ()() 3 a b a ba b 1 6 6b 【解答】解：0a ，0b ， 2 211512 3 21 36266 151 6
9、62 4 66 2 ()() 3 a b abb a ba b 故答案为： 1 6 6b 4已知、是方程 2 2430 xx 的两个根，则 11 4 3 【解答】解：已知、是方程 2 2430 xx的两个根， 由一元二次方程根与系数的关系可得：2 ， 3 2 ； 则 1124 3 3 2 故答案为： 4 3 5 已知( )log(0,1) a f xx aa， 若函数( )yf x的图象经过点(4,2)， 则( 2 2 )f 3 2 【解答】解：( )logaf xx的图象经过点(4,2)， 第 5 页（共 14 页） log 42 a ， 2 4a，且0a ，2a， 3 2 2 3 (2 2
10、)2 2 flog 故答案为： 3 2 6设( )yf x是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )f xf x ，则( 2)f 0 【解答】解：根据题意，( )yf x是定义在R上的奇函数，则(0)0f， 又由( )f x满足(2)( )f xf x ，则( 2)( 22)(0)0fff ， 故答案为：0 7若a，b都是正数，且1ab，则(1)(1)ab的最大值 9 4 【解答】解：1ab，0a ，0b ， 12abab ，即 1 4 ab，当且仅当ab时取等号， 19 (1)(1)1 12 44 abab ，即(1)(1)ab的最大值为 9 4 故答案为： 9 4 8已知函数 1 (3)yx
11、k， 2 a yx的图象如图所示，则不等式 1 2 0 y y 的解集是 (0，3 【解答】解：由图象可得：当0 x 时， 1 2 0 y y ， 当0 x 时， 1 2 y y 无意义， 当03x时， 1 2 0 y y ， 当3x 时， 1 2 0 y y ，当3x 时， 1 2 0 y y ， 第 6 页（共 14 页） 综上， 1 2 0 y y 的解集为(0，3， 故答案为：(0，3 9关于x的不等式|2|1|xxa的解集为R，则实数a的取值范围是 3，) 【解答】解：|2|1|21| 3xxxx， 因为关于x的不等式|2|1|xxa的解集为R， 所以3a， 即实数a的取值范围是3，
12、) 故答案为：3，) 10已知函数(0 x ya bc b，1)(0bx，)的值域为 1，2)，则该函数的一个解 析式可以为y 1 3 ( )2 2 x 【解答】解：函数 x ya bc中，0 x，)的值域为 1，2)， 所以0 x 时，1yac ； x时，02yac ， 所以2c ，3a ，且(0,1)b， 所以该函数的一个解析式可以为 1 3 ( )2 2 x y 故答案为： 1 3 ( )2 2 x 11 若函数|yx k与 2 |log (1)| 2 x y 的图象恰有两个公共点， 则实数k的取值范围为 4 【解答】解：由 2 |log (1)| 2 x y 得 1 , 10 1 1,
13、0 x yx xx ， 由|yx k得 ,0 ,0 x x y x x k k? ， 作出两函数的图象如下图： 第 7 页（共 14 页） 当0 x时，1k，在0，)上有一个交点， 而函数|yx k与 2 |log (1)| 2 x y 的图象恰有两个公共点， 所以当0 x 时两函数图象有且只有一个交点，即yx k与 1 1 y x 相切， 即 1 (0) 1 xx x k，即 2 10 xx kk， 2 40kk， 解得4k或 0（舍去） 所以实数k的取值范围为4 故答案为：4 12 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值， 具有社会、 经济、 生态等几方面的效益， 某地街道呈现东西，南北
14、向的网格状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点若 以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系， 现有下述格点( 2,2)，(2,1)，(2,3)， ( 2,4)，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点 (2,4) （除回收点外）为垃圾集中 回收站，使这 6 个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 【解答】解：设格点的坐标为( , )x y，则26x 剟，16y剟， 根据含有绝对值三角式|abab可得 横轴方向距离和为( )2|2| 2|2|4|6|d xxxxx (|2|6|)(|2|4|)2|2|xxxxx |(2)(6)|(2)(4)| 2 014xxxx ， 此时(
15、 )d x的最小值时 14， 此时三个等号成立的条件是26x 剟，24x 剟，2x ， 所以2x 时，( )d x的最小值时 14， 纵轴方向的距离和为( ) |1|2|3|4|5|6|f yyyyyyy |(1)(6)|(2)(5)|(3)(4)| 9yyyyyy， 第 8 页（共 14 页） 此时( )d y的最小值是 9， 三个等号成立的条件是16y剟，25y剟，34y剟， 即3y 或 4， 当3y 时，此时格点的位置是(2,3)，是垃圾回收点，故舍去； 当4y 时，此时格点的位置是(2,4) 故答案为：(2,4) 二二.选择题选择题 13下列函数中，值域为(0,)的是( ) A 2 y
16、x B2xy Cylnx D 1 yx x 【解答】解： 2 0yx，即函数的值域为0，)，不满足条件 20 x y ，即函数的值域为(0,)，满足条件 ylnx的值域为R，不满足条件 当0 x 时，0y ，则函数的值域不是(0,)，不满足条件 故选：B 14用反证法证明命题： “已知a，bN，若ab不能被 5 整除，则a与b都不能被 5 整除” 时，假设的内容应为( ) Aa、b都能被 5 整除 Ba、b不都能被 5 整除 Ca、b至多有一个能被 5 整除 Da、b至少有一个都能被 5 整除 【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立 而命题“a与b都不能被 5
17、 整除”的否定为“a，b至少有一个能被 5 整除” ， 故选：D 15若实数x、y满足2020202020212021 xyxy ，则( ) A0 xy B0 xy C1 y x D1 y x 【解答】解：实数x、y满足2020202020212021 xyxy ， 2020202120212021 xxyy ， 由于 1 ( )202020212020 2021 ttt t f t 是R上的增函数，( )( )f xf y， xy， 第 9 页（共 14 页） 故选：A 16对于定义在R上的函数( )yf x，考察以下陈述句： :( )q yf x是R上的严格增函数； 1 p：任意 1 x，
18、 2 xR， 1212 ()()()f xxf xf x，且当0 x 时，都有( )0f x ； 2 p：当 12 ()()f xf x时，都有 12 xx 关于以上陈述句，下列判断正确的是( ) A 1 p、 2 p都是q的充分条件 B 1 p、 2 p中仅 1 p是q的充分条件 C 1 p、 2 p中仅 2 p是q的充分条件 D 1 p、 2 p都不是q的充分条件 【解答】解：对于 1 p：令 12 0 xx，则(0)2 (0)ff，所以(0)0f； 令 1 xx， 2 xx ，则()( )()(0)0fxf xf xxf， 所以此函数为奇函数； 设 12 xx，则 212121 ()()
19、()()()f xf xf xfxf xx， 因为 21 0 xx，所以 21 ()0f xx， 所以 21 ()()f xf x， 所以函数( )f x在R上单调递增， 故 1 p是q的充分条件； 对于 2 p，不能表示任意性，不符合单调性的定义， 故 2 p不是q的充分条件； 综上所述， 1 p、 2 p中仅 1 p是q的充分条件 故选：B 三三.解答题解答题 17已知集合 2 |0 1 x Ax x ， 2 |2(1)(2) 0BxR xaxa a （1）当1a 时，求AB； （2）若BA，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 2 |43 0 1Bx xx，3， |2Ax
20、 x或1x ，所以2AB ，3， （2） 1,2)A ，Ba，2a， 第 10 页（共 14 页） 因为BA，则 1 22 a a ，解得10a， 即实数a的取值范围为 1，0) 18已知函数 2 ( ) 21 x x a f x ，设aR （1）是否存在a，使( )yf x为奇函数； （2）当0a 时，判断函数( )yf x的单调性，并用单调性的定义加以证明 【解答】解： （1）因为函数 2 ( ) 21 x x a f x ，定义域为R，且为奇函数， 所以(0)0f，即10 1 1 a ，解得1a ， 经检验，此时对任意的x都有()( )fxf x ， 故存在1a ，使( )yf x为奇函
21、数； （2）当0a 时， 21 ( )1 2121 x xx f x ， 函数( )f x在R上为单调递增函数，证明如下： 设 12 xx，则 12 12 11 ()()(1)(1) 2121 xx f xf x 12 2121 1122 2121(21)(21) xx xxxx ， 因为 12 xx， 所以 12 220 xx ， 21 (21)(21)0 xx ， 故 12 ()()0f xf x， 所以 12 ()()f xf x， 故函数( )f x在R上为单调递增函数 19由于人们响应了政府的防控号召，2020 年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢 复常态，某赏花园区投资了 30
22、 万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为 30 天，园区从某 月 1 号至 30 号开放，每天的旅游人数( )f x与第x天近似地满足 8 ( )8f x x （千人） ，且游 客人均消费( )g x近似地满足( )143 |22|g xx（元)，130 x剟，xN （1）求该园区第x天的旅游收入( )p x（单位：千元）的函数关系式； （2）记（1）中( )p x的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本， 试问该园区能否收回投资成本？ 第 11 页（共 14 页） 【解答】解：（1）根据题意可得， * * 968 8976,122, 8 ( )( )( )(8)(143
23、 |22|) 1320 81312,2230, xxxN x p xf xg xx x xxxN x 剟 ； （2）当122x剟，*xN时， 968968 ( )8976 2 89761152p xxx xx ， 当且仅当11x 时取等号，所以( )(11)1152 min p xp， 当2230 x ，*xN时， 1320 ( )81312p xx x 在(22，30上单调递减， 所以( )(30)1116 min p xp， 又11521116， 所以日最低收入为1116m 千元， 又0.333.48m 千元30千元， 所以该园区能收回投资成本 20已知 2 ( )25f xxax，aR
24、（1）当3a 时，作出函数|( )|yf x的图象，若关于x的方程|( )|f xm有四个解，直接写 出m的取值范围； （2）若( )yf x的定义域和值域均为1，a，求实数a的值； （3）若( )yf x是(，2上的严格减函数，且对任意的 1 x， 2 1x ，1a ，总 12 |()()|4f xf x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）3a 时， 2 ( )65f xxx， 画出函数|( )|yf x的图象，如图示： 第 12 页（共 14 页） ， 若关于x的方程|( )|f xm有四个解，则04m， 即(0,4)m； （2）函数 2 ( )25(1)f xxaxa， ( )f
25、x开口向上，对称轴为1xa， ( )f x在1，a是单调减函数， ( )f x的最大值为f（1）62a， ( )f x的最小值为f（a） 2 5a， 62aa ，且 2 51a， 2a （3）函数 222 ( )25()5f xxaxxaa ， 开口向上，对称轴为xa， ( )f x在区间(，2上是减函数，对称轴大于等于 2， 2a ，1 3a ， ( )f x在(1, )a上为减函数，在( ,1)a a上为增函数， ( )f x在xa处取得最小值，( )minf xf（a） 2 5a， ( )f x在1x 处取得最大值，( )maxf xf（1）62a， 2 5( ) 62af xa 剟，
26、对任意的1x，1a ，总有 12 |()()|4f xf x， 2 62(5) 4aa ，解得：13a 剟； 第 13 页（共 14 页） 综上：23a剟 21已知 2 ( )logf xx （1）若 5 log 16m，试用m表示(10)f； （2）若 1 ( )2 ( )()g xf xft x ，函数( )yg x只有一个零点，求实数t的取值范围； （3）若存在正实数a、()b ab，使得| f（a）| | f（b） () | |()| 2 ab f k 成立，其中k为 正整数，求k的值 【解答】解： （1）因为 5 log 16m， 所以 2 2 16 5 log m log ，即 2
27、 4 5 m log ， 所以 2 4 log 5 m ， 所以 22 4 (10)log 101log 51f m （2） 22 2222 111 ( )2 ( )()2loglog ()log ()log ()g xf xftxtt xxtx xxx ， 令 2 2 ( )log ()0g xxtx， 所以 2 1 1(0,0)xtxxt x 只有一个正根， 当0t 时，1x 满足题意， 当0t 时， 2 ( )1h xtxx的对称轴为 1 0 2 x t ， 所以 2 ( )1h xtxx在(0,)上单调递增，且(0)10h ， 所以满足题意有一个正根， 当0t 时， 2 ( )1h x
28、txx的对称轴为 1 0 2 x t ， 所以 2 ( )1h xtxx在(0,)上不单调， 若有一个正根，则140t ，解得 1 4 t ， 综上，m的取值范围为 1 0 4 ，) （3） 2 ( )logf xx， 因为ab，| f（a）| | f（b）|， 所以f（a）f （b） ， 所以f（a）f（b）0，即 2 log0ab ， 第 14 页（共 14 页） 解得1ab ， | f（a）| | f（b） () |()| 2 ab f k ， 不妨设 ()1 2 ab a b k ， 所以()2abak， 所以 1 ()2aa a k， 即 22 (1)2aak， 当1k时， 22 12aa ，所以1a ，此时1b 与已知矛盾，舍去， 当2k时， 22 2(1)2aa，所以 2 (22)2a，此时a有正解，满足题意， 当3k时， 22 3(1)2aa，所以 2 (23)3a，此时a有正解，满足题意， 当4k?时， 22 (1)2aak，所以 2 (2)akk，此时20k?无解，不满足题意， 综上得2k或3k
