1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆 卷 ） 数学试卷 （ 文史类 ） 答案解析 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题 “ 若 p则 q” 的逆命题是若 q则 p。 【提示】 将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得 。 【考点】 四种命题。 2.【答案】 C 【解析】 不等式 1 02xx? ? 等价于 ( 1)( 2) 0xx? ? ? ，所以表达式的解集为： | 2 1xx? ? ? 。 【提示】 直接转化分式不等式为二次不等式求解即可。 【考点】 其他不等式的解法。 3.【答案】 D 【解析】
2、由圆 221xy?，得到圆心坐标为 (0,0) ，半径 1r? ， 圆心 (0,0) 在直线 yx? 上， 弦 AB为圆 O的直径， 则 | | 2 2AB r?。 【提示】 由圆的方程找出圆心坐标和半径 r，根据圆心在直线 yx? 上，得到 AB 为圆的直径，根据直径等于半径的 2倍，可得出 |AB 的长 。 【考点】 直线与圆相交的性质 。 4.【答案】 A 【解析】 设 53)x?(1 的展开式的通项公式为 1rT? ，则 51 ( 3 )rr rT Cx? ?，令 3r? ，得 3x 的系数为： 335( 3 ) 2 7 1 0 2 7 0C? ? ? ? ? ?。 【提示】 由 53
3、)x?(1 的展开式的通项公式 51 ( 3 )rr rT Cx? ?，令 3r? 即可求得 3x 的系数。 【考点】 二项式系数的性质。 5.【答案】 C 【解析】 sin 4 7 sin 1 7 c o s 3 0c o s 1 7? ? ? ? s i n (1 7 3 0 ) s i n 1 7 c o s 3 0c o s 1 7? ? ? ? ? ? ? 1sin30 2? ? 【提示】 将原式分子第一项中的度数 47 17 30? ? ?，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约【 ;百万教育资源文库 】 分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值。 【考点】 两角和与差的正
4、弦函数。 6.【答案】 B 【解析】 因为 Rx? ，向量 ( ,1)ax? ， (1, 2)b?，且 ab? ， 所以 20x? ，所以 (2,1)a? ， 所以 (3, 1)ab? ? ? ， 所以 22| | 3 ( 1) 1 0ab? ? ? ? ?， 【提示】 通过向量的垂直，求出向量 a，推出 ab? ，然后求出模。 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 7.【答案】 B 【解析】 2 2 2lo g 3 lo g 3 lo g 3 3a ? ? ?， 2 2 2 29l o g 9 l o g 3 l o g l o g 3 3 13b ? ? ? ? ?， 1ab?
5、，又 30 log 2 1c? ? ? ， abc? 。 【提示】 利用对数的运算性质可求得2log 3 3a?，2log 3 3 1b?，而 30 log 2 1c? ? ? ，从而可得答案。 【考点 】 不等式比较大小。 8.【答案】 C 【解析】 函数 ()fx在 2x? 处取得极小值， ( 2) 0f?， 且函数 ()fx在 2x? 左侧附近为减函数，在 2x? 右侧附近为增函数， 即当 2x? 时， ()fx? ?0 ，当 2x? 时， ( ) 0fx? ? ， 从而当 2x? 时， ( ) 0y xf x?，当 20x? ? ? 时， ( ) 0y xf x?，对照选项可知只有 C
6、符合题意。 【提示】 利用函数极小值的意义，可知函数 ()fx在 2x? 左侧附近为减函数，在 2x? 右侧附近为增函数，从而可判断当 0x? 时，函数 ()y xf x? 的函数值的正负，从而做出正确选择。 【考点】 利用导数研究函数的单调性。 9.【答案】 A 【解析】 设四面体的底面是 BCD， BC a? ， 1BD CD?，顶点为 A， 2AD? 在三角形 BCD中，因为两边之和大于第三边可得： 02a? （ 1） 【 ;百万教育资源文库 】 取 BC中点 E， E是中点，直角三角形 ACE全等于直角 DCE， 所以在三角形 AED中， 212aAE ED ? ? ? ?， 两边之和
7、大于第三边 22 2 12a?得 02a? （ 2） 由（ 1）（ 2）得 02a? 故选： A。 【提示】 先在三角形 BCD中求出 a的范围，再在三角形 AED中求出 a的范围，二者相结合即可得到答案。 【考点】 异面直线的判定 ， 棱锥的结构特征。 10.【答案】 D 【解析】 因为集合 | ( ( ) 0M x f g x? ? ?R ，所以 2( ( ) 4 ( ) 3 0g x g x? ? ?， 解得 ( ) 3gx? ，或 ()gx?1 。 因为 | ( ) 2N x g x? ? ?R ， | ( ) 1M N x g x?。 即 3 2 1x?，解得 1x? 。 所以 |
8、1M N x x?。 故 选 ： D。 【提示】 利用已知求出集合 M中 ()gx的范围，结合集合 N，求出 ()gx的范围，然后求解即可。 【考点】 指、对数不等式的解法 ， 交集及其运算 ， 一元二次不等式的解法。 二、填空题 11.【答案】 15 【解析】 首项为 1，公比为 2的等比数列的前 4项和 44 1 (1 2 ) 1512S ?。 【提示】 把已知的条件直接代入等比数列的前 n项和公式，运算求得结果。 【考点】 等比数列的前 n项和。 【 ;百万教育资源文库 】 12.【答案】 4 【解析】 ( ) ( )( 4)f x x a x? ? ?为偶函数 ( ) ( )f x f
9、 x? 对于任意的 x都成立 即 ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 )x a x x a x? ? ? ? ? ? ? 22( 4 ) 4 ( 4 ) 4x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ( 4) 0ax? 4a? 【提示】 由题意可得， ( ) ( )f x f x? 对于任意的 x都成立，代入整理可得 ( 4) 0ax?对于任意的 x都成立，从而可求 A 【考点】 函数奇偶性的性质。 13.【答案】 154【解析】 C为三角形的内角， 1cos 4C? ， 21 1 5s in 144C ? ? ?， 又 1a? ， 2b? ， 由余弦定理 2 2 2 2 co
10、sc a b ab C? ? ? 得： 2 1 4 1 4c ? ? ? ? ， 解得： 2c? ， 又 15sin4C?， 2c? ， 2b? ， 由正弦定理 sin sinbcBC? 得： 1542s in 1 5s in24bCB c ? ? ?【提示】 由 C为三角形的内角，及 cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，再由 a与b的值，利用余弦定理列出关于 c的方程，求出方程的解得到 c的值，再由 sinC ， c及 b的值，利用正弦定理即可求出 sinB 的值。 【考点】 余弦定理 ， 同角三角函数间的基本关系。 14.【答案】 324【解析】 设 1( ,
11、0)Fc? ，则 1F 是左焦点， 1PF 垂直于 x轴， P为直线 3byxa? 上的点 【 ;百万教育资源文库 】 ,3bcc a?在双曲线 221xyab?上 22 322()1bcacab? 22 98ca? 324ce a?【提示】 设 1( ,0)Fc? ，利用 1F 是左焦点， 1PF 垂直于 x 轴， P 为直线 3byxa? 上的点，可得 ,3bcc a?在双曲线 221xyab?上，由此可求双曲线的离心率。 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 ， 双曲线的简单性质。 15.【答案】 15 【解析】 语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有
12、33A 种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有 34A 种排法，故所有的排法种数为 3334144AA? 。 在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1节艺术课的概率为 333466 15AAA ?。 故答案 为 ： 15 。 【提示】 语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有 33A 种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有 34A 种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课 之间至少间隔 1节艺术课的概率。 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 ， 古典概型及其概率计算公式。 三
13、 、解答题 16.【答案】 解 ： （ 1）设等差数列 na 的公差等于 d，则由题意可得 112 2 82 4 12adad? ? ，解得 1 2a? ， 2d? 。 na 的通项公式 2 ( 1)2 2na n n? ? ? ?。 （ 2） 解 ： 由（ 1）可得 na 的前 n项和为 1() ( 1)2 nn n a aS n n? ? ?。 【 ;百万教育资源文库 】 若 1a ， ka ， 2kS? 成等比数列， 2 1kaa? 2kS? ， 24 2( 2)( 3)k k k? ? ?， 6k? 或 1k? （舍去），故 6k? 。 【提示】 （ 1）设等差数列 na 的公差等于
14、d，则由题意可得 112 2 82 4 12adad? ? ，解得 1 2a? ， 2d? ，从而得到na 的通项公式。 （ 2）由（ 1）可得 na 的前 n项和为 1() ( 1)2 nn n a aS n n? ? ?，再由 2 1kaa? 2kS? ，求得正整数 k的值。 【考点】 等比数列的性质 ， 等差数列的通项公式。 17.【答案】 （ 1） 解 ： 由题 3()f x ax bx c? ? ?，可得 2( ) 3f x ax b? ?，又函数在点 2x? 处取得极值 16c? (2) 0(2) 16ffc? ? ?，即 12 08 2 16aba b c c? ? ? ? ?，
15、化简得 12 048abab? ? ?解得 1a? ， 12b? （ 2） 解 ： 由（ 1）知 3( ) 12f x x x c? ? ?， 2( ) 3 1 2 3 ( 2 ) ( 2 )f x x x x? ? ? ? ? ? 令 2( ) 3 1 2 3 ( 2 ) ( 2 ) 0f x x x x? ? ? ? ? ? ?，解得 1 2x? ， 2x? 当 ( , 2)x? 时， ( ) 0fx? ? ，故 ()fx在 ( , 2)? 上为增函数；当 ( 2,2)x? 时， ( ) 0fx? ? ，故 ()fx在 ( 2,2)?上为减函数； 当 (2, )x? ? 时， ( ) 0f
16、x? ? ，故 ()fx在 (2, )? 上为增函数； 由此可知 ()fx在 1 2x? 处取得极大值 ( 2) 16fc? ? ? ， ()fx在 2 2x? 处取得极小值 (2) 16fc? ， 由题设条件知 16 28c? 得， 12c? 此时 ( 3) 9 21fc? ? ? ? ， (3) 9 3fc? ? ?， (2) 16 4fc? ? ? ? ? 因此 ()fx在 3,3? 上的最小值 (2) 4f ? 【提示】 （ 1）由题设 3()f x ax bx c? ? ?，可得 2( ) 3f x ax b? ?，又函数在点 2x? 处取得极值 16c? ，可得(2) 0(2) 1
17、6ffc? ? ? 解此方程组即可得出 a， b的值； （ 2）结合（ 1）判断出 ()fx有极大值，利用 ()fx有极大值 28建立方程求出参数 c的值，进而可求出函数 ()fx在 3,3? 上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出 ()fx在 3,3? 上的最小值即可。 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 ， 函数在某点取得极值的条件。 18.【答案】 （ 1） 解 ： 乙第一次投球获胜的概率等于 2 1 13 2 3?，乙第二次投球获胜的概率等于 22 1 1 13 2 2 9? ?，【 ;百万教育资源文库 】 乙第三次投球获胜的概率等于 322 1 1 13 2 2 27? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故乙获胜的概率等于 1 1 1 133 9 27 27? ? ? 。 （ 2） 解 ： 由于投篮结束时乙只投了 2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了。 故
