2010广东高考数学（含文理）试卷及详细解答.zip

答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-1-页 共 8 页绝密启用前 试卷类型：试卷类型：B B2010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷广东卷)数学数学(文科文科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时。请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式参考公式：锥体的体积公式 V=13Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 A=0，1，2，3，B=1，2，4，则集合 AB=(A)A 0，1，2，3，4 B 1，2，3，4 C 1，2 D 02函数，()lg(1)f xx的定义域是(B)A(2，)B(1,)C1，)D2，)3若函数()33xxf x与()33xxg x的定义域均为R，则(D)A()f x与()g x均为偶函数 B()f x为奇函数，()g x为偶函数 C()f x与()g x均为奇函数 D()f x为偶函数，()g x为奇函数4已知数列na为等比数列,nS是它的前 n 项和，若2a a2a,且4a与72a的等差中项为54，则 S5=(C)A35 B33 C31 D295若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3,x)满足条件(8ab)c=30，则x=(C)A6 B5 C4 D36若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧,且与直线20 xy相切,则圆O的方程是(D)o*m A22(5)5xy B22(5)5xy C22(5)5xy D22(5)5xy7若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(B)A 45 B35 C25 D158“x0”是“32x0”成立的(A)A充分非必要条件 B必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-2-页 共 8 页 C非充分非必要条件 D充要条件9如图 1，ABCV为正三角形，/AABBCC，32CCBBCCAB平面A B C 且3A A，则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(D)10在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下:(A)那么 d()acAa Bb Cc Dd二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分（一）必做题（一）必做题(1113 题题)11某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4 位居民 的月均用水量分别为1x，4x(单位：吨)根据图 2 所示的程序框图，若1x，2x，3x，4x分别为 1，1.5，1.5，2，则输出的结果 s 为 1.5 .12 某市居民 20052009 年家庭年平均收入 x（单位：万元）与年平均支出 Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w.k#s5_u.c o*m根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.13已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinA=21.w_w w.k#s5_u.c o*m年份20052006200720082009收入 x11.512.11313.315支出 Y6.88.89.81012答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-3-页 共 8 页（二）选做题（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD=a，CD=2a，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF=2a .15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（02）中，曲线cossin1与sincos1的交点的极坐标为(1,)2.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16（本小题满分 14 分）设函数 3sin6f xx，0，,x ，且以2为最小正周期（1）求 0f；w_w w.k#s5_u.c o*m（2）求 f x的解析式；（3）已知94125f，求sin的值w_w*w.k_s_5 u.c*o*m16.解：（1）由已知可得：236sin3)0(f（2）)(xf的周期为2，即22 4 故)64sin(3)(xxf （3）6)124(4sin3)124(aaf)2sin(3aacos3 由已知得：59cos3a即53cosa 54)53(1cos1sin22aa故asin的值为54或5417（本小题满分 12 分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w.k#s5_u.c o*m（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽取几名？（3）在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-4-页 共 8 页17解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；（2）在 100 名电视观众中，收看新闻的观众共有 45 人，其中 20 至 40 岁的观众有 18 人，大于 40 岁的观众共有 27 人。故按分层抽样方法，在应在大于 40 岁的观众中中抽取327455人。（3）法一：由（2）可知，抽取的 5 人中，年龄大于 40 岁的有 3 人，分别记作 1，2，3；20 岁至 40岁的观众有 2 人，分别高为ba,，若从 5 人中任取 2 名观众记作),(yx，则包含的总的基本事件有：),(),3(),3(),2(),2(),3,2(),1(),1(),3,1(),2,1(babababa共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包含的基本事件有：),3(),3(),2(),2(),1(),1(bababa共 6 个。故P(“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=53106；法二：P(“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=1123253.5CCC18.(本小题满分 14 分)w_w w.k#s5_u.c o*m如图 4，AEC弧是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧 AC 的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FB=5a.（1）证明：EBFD；（2）求点B到平面FED的距离.w_w*w.k_s_5 u.c*o*m18法一：法一：（1）证明：点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，点 B 为圆的圆心又E 是弧 AC 的中点，AC 为直径，EBBC 即EBBD FC平面BDE，EB平面BDE，EBFC 又BD平面FBD，FC平面FBD且CFCBD EB平面FBD 又FD平面FBD，FDEB（2）解：设点 B 到平面FED的距离（即三棱锥BFED的高）为h.FC平面BDE,FC 是三棱锥 F-BDE 的高，且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得aBC，又 aaaFC2)5(22 在BDERt中，aBEaBD,2，故2221aaaSBDE,323223131aaaFCSVBDEBDEF,又EB平面FBD，故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,aDEaEF5,6，在FCDRt中，aFD5,FEDS2221a,FEDBBDEFVV即323222131aha，故ah21214,aFB5答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-5-页 共 8 页即点 B 到平面FED的距离为ah21214.法二：法二：向量法，此处略，请同学们动手完成。19.（本小题满分 12 分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?w_w*w.k_s_5 u.c*o*m19解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：yx,满足条件12864664261054xyxyxyxNyN即321607035270 xyxyxyxNyN，目标函数为yxz45.2，作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把yxz45.2变形为485zxy，得到斜率为85，在y轴上的截距为4z，随z变化的一族平行直线。由图可知，当直线485zxy经过可行域上的点M(70 xy即直线与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小.解方程组：7035270 xyxy,得点 M 的坐标为3,4yx 所以，minz22答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐，3 个单位的晚餐，此花的费用最少为 22 元.20.（本小题满分 14 分）已知函数()f x对任意实数x均有()(2)f xkf x，其中常数k为负数，且()f x在区间0,2上有表达式()(2)f xx x.w_w w.k#s5_u.c o*m（1）求(1)f，(2.5)f的值；（2）写出()f x在3,3上的表达式，并讨论函数()f x在3,3上的单调性；（3）求出()f x在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.w_w*w.k_s_5 u.c*o*m20解：（1）)2()(xkfxf，且)(xf在区间0,2时)2()(xxxfkkkfkff)21(1)1()21()1(答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-6-页 共 8 页由)2()(xkfxf得)(1)2(xfkxfkkfkff43)25.0(5.01)5.0(1)25.0()5.2(（2）若2,0 x，则4,22x 4)2(2)2(1)2(1)(1)2(xxkxxkxfkxf 当4,2x时，)4)(2(k1)(xxxf若)0,2x，则)2,02x )2(2)2)(2()2(xxxxxf )2()2()(xkxxkfxf 若)2,4x，则)0,22x )4)(2(2)2)(2()2(xxkxxkxf )4)(2()2()(2xxkxkfxf)2,4)2,3,4,23,2(当3,3x时，3,2(),4)(2(12,0),2()0,2),2()2,3),4)(2()(2xxxkxxxxxkxxxxkxf0k,当)2,3x时，)4)(2()(2xxkxf，由二次函数的图象可知，)(xf为增函数；当)0,2x时，)2()(xkxxf，由二次函数的图象可知，当)1,2x时，)(xf为增函数，当)0,1x时，)(xf为减函数；当2,0 x时，)2()(xxxf，由二次函数的图象可知，当)1,0 x时，)(xf为减函数；当2,1 x时，)(xf为增函数；当3,2(x时，)4)(2(1)(xxkxf，由二次函数的图象可知，)(xf为增函数。,()f x综上 函数的单调递增区间为-3,-1,1,3;递减区间为-1,1.（3）由（2）可知，当3,3x时，最大值和最小值必在3x或3,1,1处取得。（可画图分析）2)3(kf，kf)1(，1)1(f，kf1)3(答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-7-页 共 8 页当01k时，1)1(,1)3(minmaxfykfy;当1k时，;1)1()3(,1)3()1(minmaxffyffy当1k时，2minmax)3(,)1(kfykfy.21.（本小题满分 14 分）w_w w.k#s5_u.c o*m已知曲线2nCynx：，点(,)(0,0)nnnnnP xyxy是曲线nC上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线nC在点nP处的切线nl的方程，并求出nl与y轴的交点nQ的坐标；（2）若原点(0,0)O到nl的距离与线段nnPQ的长度之比取得最大值，试求点nP的坐标(,nnxy)；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，nx与ny是满足（2）中条件的点nP的坐标，证明：1(1)(1)2snnnmxkymsks(1,2,)s 21解：（1）nxy2，设切线nl的斜率为k，则 nnnxxxyk2|曲线nC在点nP处的切线nl的方程为：)(2nnnxxnxyy又点nP在曲线nC上,2nnnxy 曲线nC在点nP处的切线nl的方程为：)(22nnnxxnxnxy即022nnnxyxnx令0 x得2nnxy，曲线nC在y轴上的交点nQ的坐标为),0(2nnx（2）原点)0,0(O到直线nl的距离与线段nPnQ的长度之比为：4141141)(14|222222222nnnnnnnnnnxnxxnnxnxnxxxnnx当且仅当nnnxnx41即nxn21时，取等号。此时，nnxynn412故点nP的坐标为)41,21(nn（3）证法一：要证),2,1s(|ksms|y)1k(2x)1m(|s1nnn答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(文科)试卷第-8-页 共 8 页只要证),2,1s(|km|sn211k1ms1n只要证),2,1s(km1k1msn21s1n1nn1nn1nn1n21，又1km1k1m所以：),2,1s(s)1ss()23()12(1n21s1n),2,1s(km1k1ms证法二：由上知，只需证),2,1s(km1k1msn21s1n，又1km1k1m，故只需证112snsn，可用数学归纳法证明之（略）.本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 1 页 共 8 页绝密启用前绝密启用前 试卷类型：试卷类型：A2010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷广东卷)数学数学(理科理科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。来源:Zxxk.Com参考公式：锥体的体积公式 V=13sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 A=x|-2x1,B=A=x|0 x2,则集合 AB=(D)A.x|-1x1 B.x|-2x1 C.x|-2x2 D.x|0 x12.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则21zz(A)A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i3.若函数 f(x)=3x+3x与 g(x)=33xx的定义域均为 R，则(D)Af(x)与 g(x)均为偶函数 Bf(x)为奇函数，g(x)为偶函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数 Df(x)为偶函数，g(x)为奇函数来源:Zxxk.Com4已知数列na为等比数列,nS是它的前 n 项和,若1322aaa,且4a与 27a的等差中项为54,则5S=(C)A35 B33 C3l D295.“14m”是“一元二次方程20 xxm有实数解”的(A)A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 2 页 共 8 页6.如图 1，ABCV为正三角形，/AABBCC，32CCBBCCAB平面ABC 且3AA 则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(D)7.已知随机量 X 服从正态分布 N（3,1），且 P（2X4）=0.6826，则 P(X4)=(B)A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.15858.为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装了 5 个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙 黄绿蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒二、填空题：本大题共 7 小题考生作答 6 小题每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题(913 题)9.函数，f(x)=lg(x-2)的定义域是(2,).10若向量a=(1,1，x)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件(ca)2b=-2，则 x=2 .11.已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，b=3，A+C=2B，则 sinC=1 .12.若圆心在 x 轴上、半径为的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是2)2(22yx.13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民 某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 n 位居民的月均用水量分别为1x，nx(单位：吨)根据图 2 所示的程序框图，若 n=2 且1x，2x分别为 1，2，则输出的结果 s为 41 .2开始结束输入x1，x2，xn输出sins1=0，s2=0，i=1i=i+1s1=s1+xis2=s2+xi212211s(ss)ii是否图2本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 3 页 共 8 页（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图 3，AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，他们相交于 AB 的中点 P，32aPD,OAP=30则 CP=a89 .15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（02）中，曲线1cossin2与的极坐标为 )43,2(.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分 l4 分）3sin(2)25，3cos25，231 2sin5，21sin5，5sin5 17.（12 分）sin 3(0,0412212sin.3125f xAxAxxfff 已知函数，），在时取得最大值。（1）求(x)的最小周期（2）求(x)的解析式（3）若（+）=，求图3ABCDPO本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 4 页 共 8 页 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量,（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求 Y 的分布列；（3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。17.:(1)505解重量超过克的产品数量是:40(0.05 5+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y的分布列为:22353(3)103730871010100003087.10000设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则YB(5,),从而P(Y=2)=C()()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为18.(本小题满分 14 分)如图 5，弧 AEC 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧 AC 的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=a5，FE=a6.（1）证明：EBFD；(2)已知点,Q R为线段FBFE,上的点，23FQFE，23FRFB，求平面BED与平面RQD所成的两面角的正弦值.DFY012P228240CC112812240CCC212240CC图5ABCDEFQR本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 5 页 共 8 页:(1).,.CFB CADABBCBAECEAECEBBC18.证明连结为线段的三等分点即 为半圆的圆心又 为半圆的中点2222222222,5,.(5),6(2)(2),BDFBFDFaBDFCBDCFBDBFBCaaCEFEFaaaCECFBEDEBBEDFCEBBEBDF在中所以是等腰三角形 且点 是底边的中点 所以故C F=2a,在中所以C FEC.由C FBD,C FEC,且EC BD=C,FC平面而平面平面又FD平面BD F,EBFD.（2）设平面BED与平面 RQD 的交线为DG.由 BQ=23FE,FR=23FB 知,|QREB.而EB 平面BDF，|QR平面BDF，而平面BDE平面RQD=DG，|QRDGEB.由（1）知，BE 平面BDF，DG平面BDF，而DR 平面RQD，BD 平面BDF，,DGDR DGDB，RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角在Rt BCF中，2222(5)2CFBFBCaaa，22sin55FCaRBDBFa，21cos1 sin5RBDRBD2222215,333551292cos(2)()2 2.33355292 2933,sin.2sinsinsin2952 29.29aFRFBBRFBaaaRDBDBRBD BRRBDaaaaBRRDRDBRDBRBDRDBBED 由知利用余弦定理:利用正弦定理:即故平面与平面R Q D 所成二面角的正弦值为解法二：利用向量，请同学们自行完成解法二：利用向量，请同学们自行完成.图5ABCDEFQR本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 6 页 共 8 页19.（本小题满分 12 分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？19解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：yx,满足条件12864664261054xyxyxyxNyN即321607035270 xyxyxyxNyN，目标函数为yxz45.2，作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把yxz45.2变形为485zxy，得到斜率为85，在y轴上的截距为4z，随z变化的一族平行直线。由图可知，当直线485zxy经过可行域上的点 M(70 xy即直线与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小.解方程组：7035270 xyxy,得点 M 的坐标为)3,4(,所以minz22答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐，3 个单位的晚餐，所花的费用最少,且最少费用为 22 元.20.（本小题满分 14 分）已知双曲线1222 yx的左、右顶点分别为12,A A,点11(,)P x y,11(,)Q xy是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线1A P与2A Q交点的轨迹 E 的方程（2）若过点 H(0,h)（h1）的两条直线1l和2l与轨迹 E 都只有一个交点，且12ll，求h的值.20.(本小题满分 14 分)本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 7 页 共 8 页.12),2(21,212,12,),().2(2:),2(20:),2(20:).0,2(),0,2(,)1(:222221212121112212121121112121yxxyxyyxyxPxxyyxxyyQAxxyyPAAAAA即故即所以在双曲线上点两式相乘得则它们的坐标为右顶点为双曲线的左解来 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹 E 的方程为2212xy).2,0(xx且（2）设1:lykxh)0(k，则由12ll知，21:lyxhk.将1:lykxh代入2212xy得22()12xkxh，即222(12)4220kxkhxh，若1l与椭圆相切,则2222164(12)(22)0k hkh，即2212kh;同理若2l与椭圆相切,则22112hk.由1l与2l与轨迹 E 都只有一个交点包含以下四种情况:1直线1l与2l都与椭圆相切,即2212kh,且22112hk,消去2h得221kk，即21k，从而22123hk，即3h;2直线1l过点)0,2(1A,而2l与椭圆相切,此时,0)2(hk22112hk,解得2171h;3直线2l过点)0,2(2A,而1l与椭圆相切,此时,021hk2212kh,解得2171h;4 直线1l过点)0,2(1A,而直线2l过点)0,2(2A,此时,0)2(hk,021hk.2h综上所述,h 的值为.2171,3,2（注：本题第（注：本题第(2)问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点(严格地说严格地说,切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已)，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说 h 只能取只能取2这一个值这一个值.如果本题将第如果本题将第(2)问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了.）21.(本小题满分 14 分)设12(,)A x y，22(,)B xy是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师()提供2010 广东高考数学(理科)第 8 页 共 8 页(,)p A B 为2121(,)|.p A Bxxyy 对于平面xOy上给定的不同的两点12(,)A x y，22(,)B xy,(1)若点(,)C x y是平面xOy上的点，试证明(,)(,)(,);p A Cp C Bp A B（2）在平面xOy上是否存在点(,)C x y，同时满足:(,)(,)(,)p A Cp C Bp A B；(,)(,)p A Cp C B若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.21.(本题满分 14 分)11221212211212122112112221:(1)(,)(,)|,|,;|,|A CC Bxxyyxxyyxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyxxyyxxyyxx证明依题意:而等号当且仅当与同号时取得又等号当且仅当与同号时取得.故211212121212121212|,(,)(,)(,),.(2),(1),(,)(,)(,),:,yyA CC BA BxxxxyyyyxxyyA CC BA BxxxxyyyyxxxyyyCAB即等号当且仅当与同号且与也同号时取得不失一般性,设.1 若,假设这样的点存在由知 当时与同号且与也同号,此时有且即点 的轨迹是以线段为对角线 且四边分别平行两坐标121122121211221212000000(),(,)(,):|,22(,),(,)yyCA CC BxxyyxxyyxxxyyyxxyyxxyyxxyyyxABM xyyxxyABM xy 轴的矩形区域 含边界当时点C 的轨迹退化成线段AB).而根据 满足的第二个条件可得考虑到且去掉绝对值得即设的中点为则显然的中点在该00121212121221121200,(,),2,22(,),yxxyxx xyy yyyyCxxxyyyxxyyCyxABM xyyx 直线上故满足条件的点存在 为线段上任意一点.(当y时 线段 退化成一点(线段AB的中点),即此时满足条件的C 点只有一个).同理 若,假设这样的点存在由 满足第一个条件,可得且结合 满足的第二个条件可得设的中点为则0000001212,(,),(,).xyABM xyyxxyxx xyy y显然的中点在该直线上故此时满足条件的点亦存在 为线段上任意一点