1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年 普通 高等 学校招生全国统一 考试 （上海 卷 ） 数学试卷 （ 理工农医类 ） 答案 解析 一、填空题 1.【答案】 13 【解析】2012 0 1lim lim 133 1 3 33nnn nnn? ? ? ?，故答案为 13 . 【提示】 由数列极限的意义即可求解 . 【考点】 数列的极限 2.【答案】 2? 【解析】 复数 2( 2 ) ( 1)iz m m m? ? ? ? 为纯虚数， 2 20mm? ? ? ? ， 2 10m? ? ，解得 2m? ，故答案为2? . 【提示】 根据纯虚数的定义可得 2 10m? ? ， 2 10m? ?
2、，由此解得实数 m 的值 . 【考点】 复数的基本概念 3.【答案】 0 【解析】 2211 xxxy yy? ?， 22 2x y xy? ? ? ， 2( ) 0xy? ? ? ， 0xy? ? ? ， 故答案为 0. 【提示】 利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论 . 【考点】 二阶行列式的定义 4.【答案】 1 arccos3? 【解析】 2 2 23 2 3 3 0a ab b c? ? ? ?， 2 2 2 23a b c ab? ? ? ? ?， 2 2 2 2 13c o s 2 2 3aba b cC a b a b? ? ? ? ?. 1 arccos 3C? ?
3、? ， 故答案为 1 arccos3? . 【提示】 把式子 2 2 23 2 3 3 0a ab b c? ? ? ?变形为 2 2 2 23a b c ab? ? ? ? ，再利用余弦定理 2 2 2cos 2a b cC ab? 即可得出 . 【考点】 余弦定理 5.【答案】 2? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 52 axx?的展开式的通项为 1 0 2 1 0 31 5 5rr r r r rr aT C x C x ax? ?， 令 10 3 7r?得 1r? ， 7x? 的系数是 15aC . 7x 的系数是 10? ， 15 10aC? ? ，解得 2a? ， 故答案为
4、2? . 【提示】 利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 1r? 项，令 x 的指数为 7 求得 7x 的系数，列出方程求解即可 . 【考点】 二项式系数的性质 6.【答案】 3log4 【解析】 方程 13133 1 3 xx ?，即 3 19 3 1 33(3 1) xx ?，即 118 3 3 (3 3)x x x? ? ?，化简可得 23 2 3 8 0xx? ? ? ，即(3 4)(3 2) 0xx? ? ?.解得 34x? ，或 32x? （舍去）， 3log 4x? ，故答案为 3log4 . 【提示】 化简方程 13133 1 3 xx ?为 3 19 3 1 33(3
5、 1) xx ?，即 (3 4)(3 2) 0xx? ? ?，解得 34x? ，可得 x 的值 . 【考点】 函数的零点 7.【答案】 512?【解析】 由 cos 1?得， cos 1?，代入 cos 1? 得 ( 1) 1?，解得 512? ?或 152? ?（舍），所以曲线 cos 1?与 cos 1? 的公共点到极点的距离为 512?，故答案为 512?. 【提示】 联立 cos 1?与 cos 1? 消掉 ? 即可求得 ? ，即为答案 . 【考点】 点的极坐标和直角坐标的互化 ， 两点间的距离公式 8.【答案】 1318 【解析】 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，
6、9 九个球中，任意取出两个球的取法种数为 29 36C? 种 ； 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 25 10C? 种 ； 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为 105368? ； 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 5 131 18 18?； 故答案为 1318 . 【提示】 利用组合知识求出从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从 5 个奇数中任意取出 2 个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两 个球的编号之积为偶数的概率 . 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【 ;
7、百万教育资源文库 】 9.【答案】 463【解析】 如图，设椭圆的标准方程为 222 1xyab?，由题意知， 24a? ， 2a? ， 4CBA?， 2BC? ，?点 C的坐标为 ( 1,1)C? ，因点 C在椭圆上， 222( 1) 1 14 b? ? ?， 2 43b?， 2 2 2 484 33c a b? ? ? ? ? ?， 263c?，则 的两个焦点之间的距离为 463， 故答案为 463. 【提示】 由题意画出图形，设椭圆的标准方程为 222 1xyab?，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出 C的坐标，再根据点 C 在椭圆上求得 b 值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案
8、. 【考点】 椭圆的标准方程 ， 椭圆的简单性质 10.【答案】 230d 【解析】 由题意可得 11 2 1 9 11 9 1 819 291 9 1 9xdx x xE x d? ? ? ? ? ? .11( 1 ) ( 9 ) ( 1 0 )nx E x n d x d n d? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 2 2 2 2 2 2 2 212 ( 9 ) ( 8 ) ( ) 0 ( 2 ) ( 9 ) ( 1 2 9 )1 9 1 9dD d d d d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 9 1 0 1 9 301 9 6d
9、d? ? ?， 故答案为 230d . 【提示】 利用等差数列的前 n 项和公式可得1 2 1 9 1 1 9 1 819 2x x x x d? ? ? ? ?和数学期望的计算公式即可得出 E? ，再利用方差的计算公式即可得出 2 2 21 2 1 91 ( ) ( ) ( ) 19D x E x E x E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即可得出 . 【考点】 极差 ， 方差与标准差 11.【答案】 23 【解析】 1c o s c o s s in s in 2x y x y?， 1cos( ) 2xy? ? ? ， 2sin 2 sin 2 3xy?， 【 ;百万教育资源文库 】
10、 2s i n ( ) ( ) s i n ( ) ( ) 3x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 s in ( ) c o s ( ) 3x y x y? ? ?， 122 sin( ) 23xy? ? ? ?，2sin( ) 3xy? ? ? ， 故答案为 23 . 【提示】 利用两角差的余弦公式及 1c o s c o s s in s in 2x y x y?，可得 1cos( ) 2xy?，再利用和差化积公式2sin 2 sin 2 3xy?，得到 22 s in ( ) c o s ( ) 3x y x y? ? ?，即可得出 sin( )xy?
11、 . 【考点】 三角函数的和差化积公式 ， 两角和与差的余弦函数 12.【答案】 87a? 【解析】 因为 ()y f x? 是定义在 R 上的奇函数，所以当 0x? 时， ( ) 0fx? ；当 0x? 时，则 0x? ，所以2( ) 9 7af x x x? ? ? ? ?， 因为 ()y f x? 是定义在 R 上的奇函数，所以 2( ) 9 7af x x x? ? ?；因为 ( ) 1f x a?对一切 0x? 成立，所以当 0x? 时， 01a?成立，所以 1a? ；当 0x? 时， 29 7 1axax? ? ? ?成立，只需要 297ax x?的最小值 1a?，因为 229 7
12、 2 9 7 6 | | 7aax x axx? ? ? ? ? ?，所以 6| | 7 1aa? ? ? ，解得 85a?或 87a? ，所以 87a? ， 故答案为 87a? . 【提示】 先利用 ()y f x? 是定义在 R 上的奇函数求出 0x? 时函数的解析式，将 ( ) 1f x a?对一切 0x? 成立转化为函数的最小值 1a?，利用基本不等式求出 ()fx的最小值，解不等式求出 a 的范围 . 【考点】 函数奇偶性的性质 ， 基本不等式 13.【答案】 22 16? 【解析】 因为几何体为 ? 的水平截面的截面积为 24 18y?，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值 8
13、 ，看作是截一个底面积为 8 ，高为 2 的长方体得到的，对于 24 1 y? ，看作是把一个半径为 1，高为 2 的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与 ? 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即 ? 的体积为 22 12 28 2 16 ? ? ?， 故答案为 22 16? . 【提示】 由题目给出的 ? 的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 进行简单的合情推理 14.【答案】 2 【解析】 因为 ( ) | ( ), g I y y g x x I?
14、 ? ?， 1(0,1) 1,2)f ? ? ， 1(2,4) 0,1)f ? ? ，所以对于函数 ()fx，当0,1)x? 时， ( ) (2,4fx? ，所以方程 ( ) 0f x x? 即 ()f x x? 无解；当 1,2)x? 时， ( ) 0,1)fx? ，所以方程( ) 0f x x? 即 ()f x x? 无解；所以当 0,2)x? 时方程 ( ) 0f x x? 即 ()f x x? 无解，又因为方程 ( ) 0f x x?有解 x0，且定义域为 0,3 ，故当 2,3x? 时， ()fx的取值应属于集合 ( , 0 ) 1, 2 (4 , )? ?，故若 00()f x x
15、? ，只有 0 2x? ，故答案为 2. 【提示】 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当 0,1)x? 时， 1,2)x? 时 ()fx的值域，进而可判断此时 ()f x x? 无解；由 ()fx在定义域 0,3 上存在反函数可知： 2,3x? 时， ()fx的取值集合，再根据方程 ()f x x? 有解即可得到 x0的值 . 【考点】 反函数 ， 函数的零点 二、选择题 15.【答案】 B 【解析】 当 1a? 时， ( ,1 , )Aa? ? ?， 1, )Ba? ? ? ，若 AB?R ，则 11a? ， 12a? ? ；当 1a?时，易得 A?R ，此时 AB?R ；当 1
16、a ? 时， ( , 1, )Aa? ? ?， 1, )Ba? ? ? ，若 AB?R ，则 1aa? ，显然成立， 1a?；综上， a 的取值范围是 ( ,2? ， 故选 B. 【提示】 当 1a? 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为 R 时的 a 的范围；当 1a?时，易得 A?R ，符合题意；当 1a? 时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a的范围 .综上，得到满足题意的 a 范围 . 【考点】 集合关系中的参数取值问题 ， 并集及其运算 ， 一元二次不等式的解法 16.【答案】 B 【解析】 “ 好货不便宜 ” 是 “ 便宜没好
17、货 ” 的逆 否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到： “ 好货不便宜 ” 是真命题 .所以 “ 好货 ” ?“ 不便宜 ” ，所以 “ 不便宜 ” 是 “ 好货 ” 的必 要条件，故选 B. 【提示】 因为 “ 好货不便宜 ” 是 “ 便宜没好货 ” 的 逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到： “ 好货不便宜 ” 是 真命题 .再据命题的真假与条件的关系判定出 “ 不便宜 ” 是 “ 好货 ” 的 必要条件 . 【考点】 必要条件 ， 充分条件与充要条件的判断 17.【答案】 A 【解析】 该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 ( 1, 2 , , 7 ; 1, 2 , ,1 2 )ij?
18、 ，当且仅当 i j m n? ? ? 时， ij mnaa?( , 1 , 2 , , 7 ; , 1 , 2 , ,1 2 )i m j n? ，因此该矩阵元素能取到的不同数值为 ij? 的所有不同和，其和为 2， 3， ? ，【 ;百万教育资源文库 】 19，共 18 个不同数值 .故选 A. 【提示】 由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 , ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1 2 1i j i j i ji j i j i ja a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1, 2 , , 7 ; 1, 2 , ,1 2 )ij? ，要使 ( , 1 , 2 , , 7 ; , 1 , 2 , , 1 2 )i j m n i m ja na ? ? .则满足 2 1 2 1i
