1、【 ;百万教育资源文库 】 2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷） 数学（文）答案 解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】由题意得， (2,3)AB?I ，故选 C. 【提示】 对连续的数集间的运算 ， 常利用数轴 . 【 考点 】 集合 的 交集 运算 . 2.【答案】 A 【解析】 1 2 i (1 2 i ) ( 2 i ) 2 i 4 i 2 i2 i ( 2 i ) ( 2 i 5)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 A. 【提示】 复数代数形式的 四则 运算的法则是进行复数运算的理论依据 ， 加减运算类似于多项式的合并同类项 ， 乘法法则类似于多项式
2、 的 乘法法则 ， 除法运算则先将除式写成分式的形式 ， 再将分母实数化 . 【考点】复数运算 . 3.【答案】 B 【解析】分析 程序框 图 可知，程序的功能等价于输出 331 2 9s? ? ? ， 故选 B. 【提示】 解决循环结构 的 框图问题 ， 要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值 （ 或控制循环的条件 ），然后看循环体 ， 循环次数比较少时 ， 可依次列出 ， 循环次数较多时 ， 可先循环几次 ， 找出规律 ， 要特别注意最后输出的是什么 ， 不要出现多一次或少一次循环的错误 . 【考点】程序框图 . 4.【答案】 D 【解析】由 122xxy ? ?在 R 上单调递减可知
3、D符合题意，故选 D. 【提示】 函数单调性的判断常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法 .奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性 ， 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性 . 【考点】函数单调性 . 5.【答案】 C 【解析】圆心坐标为 （ ? 1， 0） ，由点到直线的距离公式可知 | 1 0 3| 22d ? ? ?，故选 C. 【提示】运用 点到直线的距离公式 可 求出 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】直线与圆的位置关系 . 6.【答案】 B 【解析】 5 名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（
4、甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共 4 3 2 1 10? ? ? ? 种 .其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共 4种，故甲被选中的概率为 42105? . 【提示】 如果基本事件的个数比较少 ， 可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来 ， 然后再求出事件 A 中的基本事件数 ， 利用公式 ()mPAn? 求出事件 A 的概率 .如果基本事件个数比较多 ， 也可借助两个计数原理及排列 、 组合知识直接计算 m， n， 再运用公式求概率 . 【考点】古典概型 . 7.【答案】 C 【解析】由 题意得
5、，线段 AB的 方程： 511 ( 4 ) 2 924y x y x? ? ? ? ? ? ? ， 24x?， 2 2 ( 2 9 ) 4 9 4 4 9 7x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 4x? 时 等号成立，即 2xy? 的 最大值为 7， 故选 C. 【提示】 对于二元函数的值域问题 ， 其解法要针对具体题目的条件而定 ， 将二元函数化为一元函数求值域 . 【考点】函数最值 . 8.【答案】 B 【解析】将确定的 30 秒跳绳成绩按从大到小的顺 序 排列，分别是 3， 6， 7， 10， 1、 5 并列， 4，其中， 3，6， 7 号进 入 立定跳
6、远的决赛，此时可确定 3， 6， 7 号进 入 30 秒跳绳比赛决赛的名单 ， 现还需 3 个编号为18的同学进 入 决赛，而 1、 5并列 ， 2与 8的成绩仅相隔 1，故只能 1， 5进 入 30秒跳绳的决赛，故选 B. 【提示】根据表格中数据分析排名的多种可能性， 列举的关键是要有序（有规律） ， 从而确保不重不漏 ， 另外注意 条件中数据的特征 . 【考点】统计 . 第二部分 二、填空题 9.【答案】 6 【解析】两向量夹角为 2 3 3c o s , 2 2 2ababab? ? ?， 又 两个向量夹角范围是 ? ?0, ，所以夹角为 6 . 【提示】 由向量数量积的定义 cosa
7、b a b ? （ ? 为 ab， 的夹角 ） 可知 ， 数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一 ， 再考虑到数量积还可以用坐标表示 ， 因此又可以借助坐标进行运算 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】向量数量积与夹角公式 . 10.【答案】 2 【解析】 1( ) 1 1 1 21fx x? ? ? ? ? ，即最大值为 2. 【提示】本题是求解 函数 的最大值，用到了求函数值域中的 分离常数法 和图象法 . 【考点】函数最值，数形结合 . 11.【答案】 32 【解析】四棱柱 的 高为 1，底面为等腰梯形，面积为 13(1 2) 122? ? ? ? ，因此体积为 32 . 【提示】 解
8、决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征 . 【考点】三视图 . 12.【答案】 1 2 【解析】依题意有 52cba? ? ?，结合 2 2 2c a b?，解得 12ab?， . 【提示】 利用所给条件得 5c? ， 2ba? ， 2 2 2a b c?，然后解方程即可 . 【考点】双曲线的基本概念 . 13.【答案】 1 【解析】由正弦定理知 sin 3sinCAac? ，所以 2sin 13sinC23?，则 6C? ，所以 2 3 6 6B ? ? ? ?，所以bc? ，即 1bc? . 【提示】 由 正弦定理 列出关于 b、 c的方程，再将方程转化为以 bc 为变元
9、的方程求解 . 【考点】正弦定理 . 14.【答案】 16 29 【解析】设第一天售出的商品种类构成集合 A，第二天售出的商品种类构成集合 B，第三天售出的商品种类构成集合 C，关系如图 . 【 ;百万教育资源文库 】 第一天售出但第二天未售出的共 16种 . 若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的 14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的 16种商品中，此时共有 16 3 6 4 29? ? ? ? 种 . 【提示】分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用 . 【考点】统计分析 . 三、解答题 15.【答案】（ ）
10、 2 1( 1, 2, 3na n n? ? ? ) （ ） 2 312nn ? . 【解析】 （ ）等比数列 nb 的公比 329 33bq b? ? ? ， 所以 21 1bb q?， 4327b bq?. 设等差数列 na 的公差为 d. 因为 111ab?， 14 4 27ab? ， 所以 1 13 27d?，即 2d? . 所以 2 1( 1, 2, 3na n n? ? ? ) （ ）由（ ）知， 21nan?， 13nnb ? . 因此 12 1 3 nn n nc a b n ? ? ? ? ?. 从而数列 nc 的前 n项和 11 3 ( 2 1 ) 1 3 3 nnSn ?
11、 ? ? ? ? ? ? ? ? (1 2 1) 1 32 1 3nnn? ? ? 2 312nn ? 【提示】（ ）求出 等比数列 nb 的 公比，再求出 1 14aa， 的 值，根据等差数列的通项公式求解； （ ）根据 等差数列和等比数列的前 n项 和公式求数列 nc 的 前 n项 和 . 【考点】等差、等比数列的通项公式和前 n项和公式 . 16.【答案】 （ ） 1 【 ;百万教育资源文库 】 （ ） 3 , ()88k k k? ? ? Z【解析】（ ）因为 ( ) 2 s in c o s c o s 2f x x x x? ? ? sin2 cos2xx? 2 sin 2 4x?
12、， 所以 ()fx的最小正周期 2 2T ?. 依题意， ? ，解得 1? . （ ） 由 （ ） 知 ( ) 2 sin 24f x x?. 函数 sinyx? 的单调递增区间为 2 ,2 ()22k k k? ? ? Z. 由 2 22 2 4 2k x k? ? ? ? ?，得 3 88k x k? ? ? ?. 所以 ()fx的单调递增区间为 3 , ()88k k k? ? ? Z. 【提示】（ ）运用 两角和的正弦公式对 ()fx化简 整理，由周期公式求 ? 的 值； （ ）根据 函数 sinyx? 的 单调递增区间对应求解即可 . 【考点】两角和的正弦公式 ， 周期公式 ， 三角
13、函数的单调性 . 17.【答案】 （ ） 3 （ ） 10.5元 . 【解析】（ ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 0.51， ， (1 1.5， ， (1.52， ， (2 2.5， ，(2.53， 内的频率依次为 0.1， 0.15， 0.2， 0.25， 0.15. 所以该月用水量不超过 3立方米的居民占 85%，用水量不超过 2立方米的居民占 45%. 依题意， w至少定为 3. （ ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (10,12 (12
14、,17 (17,22 (22,27 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 【 ;百万教育资源文库 】 4 0 . 1 6 0 . 1 5 8 0 . 2 1 0 0 . 2 5 1 2 0 . 1 5 1 7 0 . 0 5 2 2 0 . 0 5 2 7 0 . 0 5 1 0 . 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 元 ） 【提示】（ ）根据 频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解； （ ）由 用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，
15、根据每个数据用 该组 区间的右端点值 ?对应 频率即为人均水费估计值进行求解即可 . 【考点】频率分布直方图 ， 频率 ， 平均数的估计值 . 18.【答案】 （ ）因为 PC ABCD?平 面 ， 所以 PC DC? . 又因为 DC AC? ， 所以 DC PAC?平 面 . （ ）因为 AB DC ， DC AC? ， 所以 AB AC? . 因为 PC ABCD?平 面 ， 所以 PC AB? . 所以 AB PAC?平 面 . 所以 PAB PAC?平 面 平 面 . （ ）棱 PB上存在点 F，使得 PA CEF 平 面 .证明如下： 取 PB中点 F，连结 EF， CE， CF.
16、 又因为 E为 AB的中点， 所以 EF PA . 又因为 PA CEF?平 面 ， 所以 PA CEF 平 面 . 【提示】（ ）利用 线面垂直判定定理证明； （ ）利用 面面垂直判定定理证明 ； （ ）取 PB中点 F， 连结 EF， 则 EF PA ，根据 线面平行的判定定理证明 PA CEF 平 面 . 【考点】空间线面平行 、 垂直的判定定理与性质定理 ， 空间想象能力，推理论证能力 . 【 ;百万教育资源文库 】 19.【答案】 （ ） 2 2 14x y?32e? （ ）设 0 0 0 0() 00()P x y x y?,，则 220044xy?. 又 0(2)A， ， 1(0)B， ， 所以直线 PA 的方程为 00 ( 2)2yyxx? . 令 0x? ，得 002 2M yy x? ? ，从而 00211 2M yBM y x? ? ? ? ?. 直线 PB的方程为 001 1yyxx?. 令 0y? ，得 00 1Nxx y? ? ，从而 0022 1NxAN x y? ? ? ? ?. 所以四边形 ABNM的面积 12S AN BM? 0021
