1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年 普通 高等学校招生全国统一考试（ 北京卷 ） 数学 （文科） 答案解析 第一 部分 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】因为 | ( 1 ) ( 3 ) | 1 3 0B x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?R 或 又集合 2 | 3 2 0 3A x x xx? ? ? ?R ， 所以， | 2 1 3 | 33 A B x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 或。 【提示】求出集合 B ，然后直接求解 AB。 【考点】一元二次不等式的解法 ， 交集及其运算。 2.【答案】 A 【解析】 10i 10i(3 i)
2、3 i (3 i)(3 i)? ? ? 230i 10i 1 3i10? ? ?， ?在复平面内，复数 10i3i? 对应的点的坐标为 (1,3) ， 【提示】由 1 0 i 1 0 i ( 3 i ) 1 3 i3 i ( 3 i )( 3 i )? ? ? ? ?，能求出在复平面内，复数 10i3i? 对应的点的坐标。 【考点】复数代数形式的乘除运算 ， 复数的代数表示法及其几何意义 。 3.【答案】 D 【解析】其构成的区域 D 如图所示的边长为 2的正方形，面积为 1 4S? ， 满足到原点的距离大于 2所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2为半径的圆外部， 面积为 22 2444S
3、? ? ? ?， 在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率 4 4P ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】本题属于几何概型，利用 “ 测度 ” 求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于 2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可。 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 ， 几何概型。 4.【答案】 C 【解析】第 1次判断后 11Sk?， ， 第 2次判断后 22Sk?， ， 第 3次判断后 83Sk?， ， 第 4次判断后 33? ，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果： 8 【提示】列出循环过程中 S与
4、 K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环。 【考点】循环结构。 5.【答案】 B 【解析】函数 ()fx的定义域为 0, )? 12yx? 在定义域上为增函数， 12xy ?在定义域上为增函数 函数 12 1()2xf x x ?在定义域上为增函数 而 (0) 1 0f ? ? ， 1(1) 02f ? 故函数 12 1()2xf x x ?的零点个数为 1个 【提示】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数 ()fx为单调增函数，而 (0) 0f ? ， 1 02f? 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 【考点】根的存在性及根的个数判断。 【 ;百万教育资
5、源文库 】 6.【答案】 B 【解析】设等比数列的公比为 q，则 21 3 2aa a a qq? ? ?，当且仅当 2,aq同为正时， 1 3 22a a a? ? 成立，故 A不正确； 2221 3 2222 2() 2a aqqa a a? ? ?， 2222132a a a? ，故 B正确； 若 13aa? ，则 211a aq? ， 2 1q? ， 1q? ， 12aa? 或 12aa? ，故 C不正确； 若 31aa? ，则 211aq a? ， 24 2 1 ( 1)a a a q q? ，其正负由 q的符号确定，故 D不正确 【提示】 21 3 2aa a a qq? ? ?，
6、当且仅当 2,aq同为正时， 1 3 22a a a? ? 成立 2221 3 2222 2() 2a aqqa a a? ? ? ；，所 2222132a a a? 以；若 13aa? ，则 211a aq? ，从而可知12aa? 或 12aa? ；若 31aa? ，则 211aq a? ，而 24 2 1 ( 1)a a a q q? ，其正负由 q的符号确定，故可得结论。 【考点】等比数列的性质。 7.【答案】 B 【解析】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4和 5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图， 所以 1 4 5 102S ? ? ? ?
7、底， 1 5 4 102S ? ? ? ?后1 4 5 102S ? ? ? ?右 ， 221 2 5 ( 4 1 ) ( 5 ) 6 52S ? ? ? ? ?底 几何体的表面积为： 3 0 6 5S S S S S? ? ? ?后 右底 左【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可。 【考点】由三视图求面积、体积。 【 ;百万教育资源文库 】 8.【答案】 C 【解析】若果树前 n年的总产量 S与 n在图中对应 ()PSn, 点 则前 n年的年平均产量即为直线 OP 的斜率 由图易得当 =9n 时，直线 OP 的斜率最大 即前 9年的年平均产量最高， 【提
8、示】由已知中图象表示某棵果树前 n年的总产量 S与 n之间的关系，可提 示出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案。 【考点】函数的图象与图象变化 ， 函数的表示方法。 第 二部分 二、填空题 9.【 答案 】 22 【解析】圆 22( 2) 4xy? ? ? 的圆心坐标为 (0,2) ，半径为 2 圆心到直线 yx? 的距离为 2 22? 直线 yx? 被圆 22( 2) 4xy? ? ? 截得的弦长为 22 【提示】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线 yx? 的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长。 【考点】直线与圆相交的性质。 10.【 答案 】 1 1
9、 ( 1)4nn? 【解析】根据 na 为等差数列，2 1 2 3 212S a a a a? ? ? ? ?； 3212d a a ?2 11122a ? ? ?1 ( 1 ) 1 1 ( 1 )2 2 2 4n nnS n n n? ? ? ? 【提示】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前 n项和。 【考点】等差数列的前 n项和 ， 等差数列的通项公式。 11.【 答案 】 2 【解析】解： ABC 中， 33ab?， ， 3A? ， 【 ;百万教育资源文库 】 由正弦定理 =sin sinabAB 得： 33= sinsin 3 B， 1sin 2B? 。又
10、ba? ， 3BA? 。 =6B 3 6 2C ? ? ? ? 【提示】利用正弦定理 =sin sinabAB ， 可求得 B ，从而可得 C 的大小。 【考点】正弦定理。 12.【 答案 】 2. 【解析】 函数 ( ) lgf x x? ， ( ) lg( ) 1f ab ab?， 2 2 2 2)( ) ( lg lgf a f b a b? ? ? 2lg( ) 2lg( ) 2ab ab? ? ?。 【提示】由函数 ( ) lgf x x? ， ( ) lg( ) 1f ab ab?，知 2 2 2 2)( ) ( lg lgf a f b a b? ? ? 2lg( ) 2lg(
11、)ab ab?。由此能求出结果。 【考点】对数的运算性质。 13.【 答案 】 1 【解析】因为 2| | | | c o s 1D E C B D E D A D E D A D E D A D A? ? ? ?。 【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可。 【考点】平面向量数量积的运算。 14.【 答案 】 (4,0)? 【解析】 ( ) 2 2xgx? ? ，当 1x? 时， ( ) 0gx? ， 又 ( ) 0 ( ) 0x f x g x? ? ? ?R， 或 此时 ( ) ( 2 ) ( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?在 1x? 时恒成立 则由二次函数的性质
12、可知开口只能向下，且二次函数与 x轴交点都在 (1,0) 的左面 【 ;百万教育资源文库 】 则 03121mmm? ? ? 40m? ? ? 【提示】由于 ( ) 2 2xgx? ? 时， 1x? ，根据题意有 ( ) ( 2 ) ( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?； 在 1x? 时成立，根据二次函数的性质可求 【考点】复合命题的真假 ， 全称命题。 三、解 答 题 15.【答案】 （ 1）由 sin 0x? 得 ()x k k?Z ， 故求 ()fx的定义域为 | x x k k?Z， 。 (s in c o s ) s in 2() s inx x xfx x?
13、2cos (sin cos )x x x? sin2 cos2 1xx? ? ? 2sin 2 14x?- ()fx的最小正周期 2=2T? 。 （ 2） 函数 =sinyx的单调递减区间为 3 2 2)2 ( 2k k k? ? ? Z， 由 3 2 22 ()2 4 2k x k x k k? ? ? ? ? ? ? Z， 得 3 7 )88k x k k? ? ? ? ? Z， ( ()fx的单调递减区间为： 3 7 )88 (k k k? ? ? Z， 【提示】（ 1）由 sin 0x? 可得 ()x k k?Z ，将 ()fx化为 ( ) 2 s in 2 14f x x? ? ?即
14、可求其最小正周期； （ 2）由（ 1）得 ( ) 2 s in 2 14f x x? ? ?， 再由 3 2 222 4 2k x k ? ? ? ? ?， ()x k k?Z 即可求 ()fx的单调递减区间 。 【考点】三角函数中的恒等变换应用 ， 正弦函数的定义域和值域 ， 复合三角函数的单调性。 16.【答案】 （ 1） D， E分别为 AC， AB的中点， DE BC ，又 1DE A CB?平 面 ， 1DE ACB 平 面 。 （ 2）由已知得 AC BC DE BC 且 ， 【 ;百万教育资源文库 】 DE AC ， 1D E A D D E C D ， 又 ， 1DE A DC
15、 平 面 ，而 11A F A DC?平 面 ， 11D E A F A F C D ， 又 ， 1A F BCDE 平 面 ， 1AF BE 。 （ 3）线段 1AB 上存在点 Q ，使 1A C DEQ 平 面 。理由如下：如图，分别取 11AC AB， 的中点 P， Q， 则 PQ BC 。 DE BC ， DE PQ 。 D E Q D E P平 面 即 为 平 面。 由（ 2）知 1DE A DC 平 面 ， 1DE AC ， 又 P是等腰三角形 11DAC AC底 边 的中点， 1AC DP ， 1AC DEP 平 面 ，从而 1A C DEQ 平 面 ， 故线段 1AB 上存在点
16、 Q，使 1A C DEQ 平 面 。 【提示】（ 1） D， E分别为 AC， AB的中点，易证 1DE ACB 平 面 ； （ 2）由题意可证 1DE A DC 平 面 ，从而有 11D E A F A F C D ， 又 ，可证 1A F BCDE 平 面 ，问题解决； （ 3）取 A1C， A1B的中点 P， Q，则 PQ BC ，平面 D EQ D EP即 为 平 面 ， P是等腰三角形 11DAC AC底 边 的中点，可证 1AC DEP 平 面 ，从而 1A C DEQ 平 面 。 【考点】直线与平面垂直的性质 ， 直线与平面平行的判定 ， 直线与平面垂直的判定。 17.【答案】
17、 （ 1）由题意可知：厨余垃圾 600 吨，投放到 “ 厨余垃圾 ” 箱 400 吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400 2600 3? ； （ 2）由题意可知：生活垃圾投放错误有 2 0 0 6 0 2 0 2 0 3 0 0? ? ? ?，故生活垃圾投放错误的概率为 300 31000 10? ； 【 ;百万教育资源文库 】 （ 3）由题意可知： 600abc? ， a， b， c的平均数为 200 2 2 2 2 2 2 211 ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 1 2 0 0 0 0 )33s a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c a b b c a c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因此有
