1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（ 陕西 卷） 理科数学答案解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 由 2 | 0 ,1 ,M x x x M? ? ? ? N | l g 0 N | 0 1x x x x? ? ? ? ? ? 所以 0,1MN? 【提示】 求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案 【考点】 并集及其运算 2.【答案】 C 【解析】 初中部女教师的人数为 110 70% 77?；高中部女教师的人数为 40 150% 60?， 该校女教师的人数为 77 60 137? ， 【提示】 利用百分比，
2、可得该校女教师的人数 【考点】 收集数据的方法 3.【答案】 C 【解析】 解：由题意可得当 sin 6 x ?取最小值 -1 时，函数取最小值 32minyk? ? ? ，解得 5k? ， 3sin 53yx? ， 当 sin 6 x ?取最大值 1 时，函数取最大值 3 5 8maxy ? ? ? ， 【提示】 由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值 【考点】 (n )siy A x?的图象 性质 4.【答案】 B 【解析】 二项式 ( 1)nx? 的展开式的通项是 1 rrrnT C x? ? ， 令 2r? 得 2x 的系数是 2nC ， 因为 2x 的系数为 15，所以 2 1
3、5nC? ， 即 2 30 0nn? ? ? ，解得： 6n? 或 5n? ， 因为 nN? ，所以 6n? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由题意可得 2 15nC? ，解关于 n 的方程可得 【考点】 二项式定理的应用 5.【答案】 D 【解析】 根据几何体的三视图，得； 该几何体是圆柱体的一半， 该几何体的表面积为 2 1 1 2 2 2V ? ? ? ? ? ?g几 何 体 3 4? 【提示】 根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积 【考点】 由三视图求面积 ， 体积 6.【答案】 A 【解析】 22c o s 2 0 c o s s i n
4、 0? ? ? ? ? ? ( c o s s i n ) ( c o s s i n ) 0? ? ? ? ? ? ? 所以 s in c o s s in = c o s? ? ? ?或 【提示】 由 22co s 2 co s sin? ? ?，即可判断出 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】 B 【解析】 因为 | | | c o s , | | |a b a b a b a b? ? ?r r r r r r r rg ，所以选项 A 正确； 当 ar 与 br 方向相反时， | | | | | |a b a b? ? ?r r r r不成立，所以选项 B 错误
5、； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 C 正确； 22(a b) (a b) ab? ? ? ?r r r r r r所以选项 D 正确 【提示】 由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得 【考点】 平面向量数量积的运算 8.【答案】 C 【解析】 解：模拟执行程序框图，可得 2006 2004xx?， 满足条件 0 2002xx?， 满足条件 0 2000xx?， 满足条件 00xx?， 【 ;百万教育资源文库 】 满足条件 0x?， 不满足条件 0 10xy?， 输出 y 的值为 10 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 2x? 时不满足条件 0x? ，
6、计算并输出y 的值为 10 . 【考点】 程序框图 9.【答案】 B 【解析】 ( ) lnp f ab ab?， ln22a b a bqf ?， ? ?11( ) ( ) l n l n22r f a f b a b a b? ? ? ? 函数 ( ) lnf x x? 在 (0, )? 上单调递增， 因为 2abab? ? ，所以 ()2abf f ab?， 所以 q p r? 【提示】 由题意可得 1 (ln ln )2p a b?， ln ln2 ()ababqp? ? ?， 1 ln l( n2 )r a b?，可得大小关系 【考点】 不等关系与不等式 10.【答案】 D 【解析】
7、 设每天生产甲乙两种产品分别为 x， y 顿，利润为 z 元，则 3 2 12280, 0xyxyxy?，目标函数为 34z x y? 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域 由 34z x y? 得 344zyx? ? ，平移直线 344zyx? ? 由图象可知当直线 344zyx? ? 经过点 B 时，直线344zyx? ? 的截距最大，此时 z 最大，解方程组 3 2 1228xyxy? ? ，解得 23xy? ，即 B 的坐标为 23xy?， ， 3 4 6 1 2 1 8m a xz x y? ? ? ? ? 即每天生产甲乙两种产品分别为 2， 3 顿，能够产生最大
8、的利润，最大的利润是 18万元 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 设每天生产甲乙两种产品分别为 x， y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值 【考点】 简单线性规划的应用 11.【答案】 D 【解析】 复数 ) )(i(1z x y x y? ? ? ? R，且 | 1|z? ， 22| z | ( 1) 1xy? ? ? ?，即 2211()xy? ? ? ， 点 ()xy， 在 (1)0， 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 yx? 表示直线 yx? 左上方的部分，（图中阴影弓形） 所求概率为弓形的
9、面积与圆的面积之比， 所求概率 21 1 1 1 1 1 14 2 4 2 P ? ? ? ? ? ?gg 【提示】 由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得 【考点】 几何概型 12.【答案】 A 【解析】 假设选项 A 错误，则选项 B、 C、 D 正确， ( ) 2f x ax b? ?， 因为 1 是 ()fx的极值点， 3 是 ()fx的极值， 所以 (1) 0(1) 3ff? ? ?， 203ababc? ?，解得 23baca? ?， 因为点 (2,8) 在曲线 ? ?y f x? 上，所以 4 2 8a b c? ? ? ， 解得： 5a? ，所以 10b?
10、 ， 8c? ， 所以 2( ) 5 10 8f x x x? ? ? 因为 ? ? 21 5 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 8 2 3 0f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1? 不是 ()fx的零点，所以假设成立，选 A 【提示】 可采取排除法分别考虑 A， B， C， D 中有一个错误，通过解方程求得 a，判断是否为非零整数，【 ;百万教育资源文库 】 即可得到结论 【考点】 二次函数的性质 第 二 部分 二、填空题 13.【答案】 5 【解析】 解：设该等差数列的首项为 a，由题意和等差数列的性质可得 2015 1010 2a? ? ? 解得 5a? 【提示】 由题意
11、可得首项的方程，解方程可得 【考点】 等差数列 14.【答案】 22 【解析】 抛物线 2 2 ( 0)y px p?的准线方程是 2px? ， 双曲线 221xy?的一个焦点 1( 2,0)F ? ， 因为抛物线 2 2 ( 0)y px p?的准线 经过双曲线 221xy?的一个焦点， 所以 22p? ? ，解得 22p? 【提示】 先求出 221xy?的左焦点，得到抛物线 2 2 ( 0)y px p?的准线，依据 p 的意义求出它的值 【考点】 抛物线的简单性质 15.【答案】 (1,1) 【解析】 e()xfx? ? ， 0e1(0)f? ? exy? 在 (0,1) 处的切线与 (
12、1 0)yxx?上点 P 的切线垂直 点 P 处的切线斜率为 1? 又21y x?，设点 00()Px y， 01 1x? ? 001 0 1x x x? ? ? ? ?Q， ， 0 1y? 【 ;百万教育资源文库 】 点 ()1,1P 【提示】 利用 xye? 在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 16.【答案】 1.2 【解析】 如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为： 2y ax? ，因为抛物线经过 (5)2， ，可得 225a? ， 所以抛物线方程： 2225yx? ，横截面为等腰梯形的水渠， 泥沙沉
13、积的横截面的面积为： 5 2 3 500 2 1 2 82 2 2 2 | 22 5 2 7 5 3xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 等腰梯形的面积为： 10 6 2 162? ? ，当前最大流量的横截面的面积 8163? ，原始的最大流量与当前最大流量的比值为： 8316 1.218 ? 【提示】 建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 三、解答题 17.【答案】 （ ） 3A? （ ） 332 【解析】 （ ） 因为向量 ( , 3 )m a b?ur 与 s )n(
14、cos iABn ?r ， 平行，所以 sin 3 cos 0a B b A?，由正弦定理可知： s in s in 3 s in c o s 0A B B A?，因为 sin 0B? ，所以 tan 3A? ，可得 3A? ； （ ） 由正弦定理得 72 sinsin3 B?，从而 21sin 7B? ， 【 ;百万教育资源文库 】 又由 ab? ，知 AB? ，所以 27cos 7B? 故 sin sin( )C A B? sin3B? s in c o s c o s s in33BB? 3 2114? 所以 ABC? 的面积为 1 3 3sin22bc A ? 【提示】 （ ）利用向量
15、的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A； （ ）利用 A，以及 72ab?， ，通过余弦定理求出 c，然后求解 ABC? 的面积 【考点】 余弦定理的应用 ， 平面向量共线（平行）的坐标表示 18.【答案】 （ ）见解析 （ ） 63 【解析】 证明： （ ） 在图 1 中， 12A B B C A D? ? ?， ， E 是 AD 的中点， 2BAD?， BE AC? ，即在图 2 中， 1B E O A B E O C?， ，则 1BE AOC?平 面 ； CD BE ， 1CD A OC?平 面 ； （ ） 若 1A B E B C D E?平 面 平 面，由 （ ） 知 1B E O
16、A B E O C?， ， 1AOC? 为二面角 1A BE C?的平面角， 1 2AOC?，如图，建立空间坐标系， 11 1A B A E B C E D? ? ? ?， BC E 12 2 2 22 2 20 0 0 0 0 0 , 0 , 02B E A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ? ?12 2 2 2, , 0 , 0 , , 2 , 0 , 02 2 2 2B C A C C D B E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u u ur
17、 u u ur u u ur u u r， 设 1ABC平 面 的法向量为 ( , , )m x y z?ur ， 1ACD平 面 的法向量为 ()a b cn?r ， ， ，则100m BCm AC? ?ur uur gur uuurg 得 00xyyz? ? ? ? ，令 1x? ，则 11yz?， ，即 (1,1,1)m?ur ，由 1 00n ACn CD? ?r uuurgr uuurg 得 0 0abc? ? ，取 1)1(0n? ， ， ， 【 ;百万教育资源文库 】 则 26c o s ,332| | |mnmn mn? ? ? ? ?ur rur r gur r， 即 1ABC平 面 与 1ACD平 面 夹角的余弦值为 63 【提示】 （ ） 根据线面垂直的判定定理即可证明： 1CD A OC?平 面 ； （ ） 若 1A B E B C D E?平 面 平 面，建立空间坐标系，利用向量法即可求 1ABC
