1、【 ;百万教育资源文库 】 2012普通高等学校招生全国统一考试（ 陕西 卷） 文科数学答案解析 第一 部分 一 、选择题 1.【答案】 C 【解析】 ? ?|1M x x? ， ? ?| 2 2N x x? ? ? ?， ? ?| 1 2M N x x? ? ? ， 故选 ： C 【提示】 先求出集合 M 、 N ，再利用两个集合的交集的定义求出 MN 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 ， 交集及其运算。 2.【答案】 D 【解析】 A是增函数，不是奇函数； B和 C都不是定义域内的增函数，排除，只有 D正确，因此选 D。 【提示】 对于 A，非奇非偶；对于 B，是偶函数；对于 C，是奇函
2、数，但不是增函数； 对于 D，令 22,0( ) | | ,0xxf x x x xx? ?，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论。 【考点】 函数奇偶性的判断 ， 函数单调性的判断与证明 3.【答案】 A 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45+47=462 ， 众数是 45，极差为 68 12 56? 。所以选 A。 【提示】 直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可。 【考点】 茎叶图；众数、中位数、平均数 ， 极差、方差与标准差。 4.【答案】 B 【解析】当 0ab? 时， 0a? 或 0b? ， iba? 不一定是纯虚数，反之当 iba? 是纯虚数时，因
3、此 B正确。 【提示】 利用 “ 0ab? ” 与 “ 复数 iba? 为纯虚数 ” 互为前提与结论，经过推导判断充要条件。 【考点】 复数的基本概念 ， 必要条件、充分条件与充要条件的判断。 5.【参考答案】 D 【试题解析】因为执行判断框 “ 是 ” 计算的及格的总分数 M ， “ 否 ” 统计的是不及格的成绩，所以及格率Mq MN? ? 选 D 【提示】 通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式。 【考点】 循环结构。 6.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】因为点 (3,0)P 在圆的内部，所以过点 P的直线必与圆相交。选 A。 【提示】 将圆 C 的方程化为
4、标准方程，找出圆心 C 坐标和半径 r ，利用两点间的距离公式求出 P与圆心 C间的长，记作 d，判断得到 d小于 r ，可得出 P在圆 C 内，再由直线 l 过 P点，可得出直线 l 与圆 C 相交。 【考点】 直线与圆的位置关系。 7.【答案】 C 【解析】 ? ab 0? ab ， 21 2 cos 0? ? ? ， 2c o s 2 2 c o s 1 0? ? ? 正确的是 C 【提示】 由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为 0，得出 22cos 1? 的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 22cos 1? 的值代入即可求出值
5、。 【考点】 二倍角的余弦 ， 数量积判断两个平面向量的垂直关系。 8.【答案】 B 【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中 1DA的正投影是 正方形的对角线（实线）， 1BC的正投影被遮住是虚线，所以 B正确。 【提示】 直接利用三视图 的画法，画出几何体的左视图即可。 【考点】 简单空间图形的三视图。 9.【答案】 C 【解析】222 1 2() xfx x x x? ? ? ? ?，当 2x? 时， ( ) 0fx? ? ；当 2x? 时 ( ) 0fx? ? ， 2x? 时极小值点。选 C。 【提示】 先求出其导函数，并找到导函数大于 0和小于 0对应的区间，即可
6、求出结论。 【考点】 利用导数研究函数的极值。 10.【答案】 A 【解析】设从甲地到乙地所走的路程为 S，则112 2 2 22ssa b a bS a b a bv a bab ab? ? ? ? ? ?=ab? ， 2222ab avaa b a? ? ? ， a v ab? 。选 A 【提示】 设小王从甲地到乙地按时速分别为 a和 b，行驶的路程 S，则 22ssabS abv ab?=及 0 ab? ，利用基本不等式及作差法可比较大小 【考点】 基本不等式。 第 二部分 二 、选择题 11.【答案】 4 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 41( 4) 162f? ? ? ( (
7、4 ) ) (1 6 ) 1 6 4f f f? ? ? ?。 【提示】 利用分段函数先求 (4)f? ，然后再求 ( ( 4)ff? 的值。 【考点】 函数的值。 12.【答案】2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 + +2 3 4 5 6 6? ? ? ?【解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从 1， 2， 3， 4， 5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和， 于是有：2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 + +2 3 4 5 6 6? ? ? ?【提示】 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性
8、：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后 一 个数的分母是不等式序号 1n? 的平方，右边分式中的分子与不等式序号 n的关系是 21n? ，分母是不等式的序号 1n? ，得出第 n个不等式，即可得到通式，再令 5n? ， 即可得出第五个不等式 【考点】 归纳推理。 13.【答案】 2 【解析】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理得 2b? 。 【提示】 由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出 b即可。 【考点】 余弦定理。 14.【答案】 26 【解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点 (2, 2)A ? 则抛物线方程为 2 2x py? ，代入得 22 = 2 ( 2
9、)p?， 2=2p ， 2 2xy? ， 当水面下降 1米时，水面和拱桥的交点记作 )( , 3Ba? 则代入抛物线方程得： 6a? ， 因此水面宽 26米。 【提示】 先建立直角坐标系，将 A 点代入抛物线方程求得 m ，得到抛物线方程，再把 3y? 代入抛物线方程求得 0x 进而得到答案。 【考点】 抛物线的应用。 15.【答案】 （ 1） 24a? ? ? （ 2） 5 （ 3） 3 【解析】 解： （ 1） 存在实数 x使 1|3x a x? ? ? ?成立，而 |1|x a x?表示数轴上的 x到 a的距离加上它到 1的距离，又最大值等于 3，由图可得：当表示 a的点位于 AB 之间
10、时满足 1|3x a x? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 24a? ? ? ， 故答案为： 24a? ? ? 。 （ 2） 6AB? ， 1AE? ，由题意可得 AEC DEB ， DE CE? ， 1 5 5D E C E A E E B? ? ? ? ，即 5DE? 。 在 Rt EDB 中，由射影定理得： 2 5DE DF DB?。 故答案为： 5. （ 3） 2 cos 1? ， 21x? ，即 12x? ； 又圆 2cos? 的普通方程由 2 2 cos? ? ? 得： 222x y x?， 22( 1) 1xy? ? ? ， 圆心 (1,0) 到直线 12x? 的距离为
11、 12， 相交弦长的一半为 22 13122?， 相交弦长为 3 。 故答案为： 3 。 【提示】（ 1） 利用表示数轴上的 x到 a的距离加上它到 1 的距离，它的最大值等于 3，作图可得实数 a的取值范围。 （ 2） 利用相交弦定理 AE EB CE ED? ， AB CD? 可得 5DE? ；在 Rt EDB 中，由射影定理得：2 5DE DF DB?，即得答案； （ 3） 将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为： 12x? ， 22( 1) 1xy? ? ? ，从而可得相交弦长。 【考点】 绝对值不等式的解法 ， 直线与圆相交的性质 ， 与圆有关的比例线段 ， 简单曲线的极坐 标方程
12、。 三 、解答题 16.【答案】（ 1） 解：由 23114a aq?，以及 12q? 可得 1 1a? 。 数列 ?na 的前 n项和 ? ? ? ?1 12 211211 22( 1 )1 1 3n nnnaqS q ? ? ? ? ? ? ?。 （ 2） 证明：对任意 k ?N ， 1 1 21112 1 1 1) ( 2 1 )2 ( 2 kkk k k kka q a q aa a a a qq qq? ? ? ? ? ? ?- 把 12q? 代入可得 22 1 0qq? ，故 2120()k k ka a a?- ，故 ka ， 2ka? ， 1ka? 成等差数列。 【提示】（ 1
13、） 由 23114a aq?，以及 12q? 可得 1 1a? ，代入等比数列的前 n项和公式，运算求得结果。 （ 2） 对任意 k ?N ，化简 21()2 k k ka a a?- 为 1 21 2 1)(ka q q q? ? ?，把 12q ? 代入可得 212 ( 0)k k ka a a? ?，【 ;百万教育资源文库 】 故 ka ， 2ka? ， 1ka? ， 成等差数列。 【考点】 等比数列的前 n项和 ， 等差关系的确定。 17.【答案】（ 1） 解 ： 13A? ， 2A?， 又 函数图像相邻对称轴间的距离为半个周期 ， 22T? ， T? 。 2 2T? ? ? ，（步骤
14、 1） ( ) 2 s in 2 16f x x? ? ? ?，（步骤 2） （ 2） 解 ： 2 s in 1 226f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1sin 62? ? ?，（步骤 3） 0 2? ， 6 6 3? ? ? ?，（步骤 4） 66? ? ? ， 3?。 （步骤 5） 【提示】（ 1） 通过函数的最大值求出 A，通过对称轴求出周期，求出 ?，得到函数的解析式。 （ 2） 通过 22f ? ，求出 1sin 62?，通过 ?的范围，求出 ?的值。 【考点】 由 sin( )y A x?的部分图象确定其解析式 ， 三角函数的恒等变换及化简求值。 18
15、.【答案】（ 1）证明 ：如图，连结 1AB ， 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱， 2CAB?。 AC? 平面 11ABBA ， 1BA? 平面 11ABBA 1AC BA? 。 （步骤 1） 又 1AB AA? ， 四边形 11ABBA 是正方形 ， 11BA AB? ， 又 1CA AB A? ， 1BA? 平面 1CAB ， 1CB? 平面 1CAB ， 11CB BA? 。 （步骤 2） （ 2） 解 ： 1 2AB AA?， 5BC? ， 11 1AC AC?。 （步骤 3） 由 （ 1） 知， 11AC? 平面 1ABA ， 1 1 1 111 1 2213 3 3C A
16、B A A B AV S A C? ? ? ? ? ? 。 （步骤 4） 【提示】（ 1） 连接 1AB ，根据 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱，得到平面 ABC? 平面 11ABBA ，结合 AC AB? ，可得 AC? 平面 11ABBA ，从而有 1AC BA? ，再在正方形 11ABBA 中得到 11AB BA? ，最后根据线面垂直的判定定理，得到 1BA? 平面 1ACB ，所以 11CB BA? ； （ 2） 在 Rt ABC 中，利用勾股定理，得到 22 1AC BC AB? ? ?，又因为直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，11 1AC AC?且 AC? 平面 11ABBA ，得到 11AC 是三棱锥 11C ABA? 的高，且它的长度为 1.再根据正方形11ABBA 面积得到 1ABA 的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥 11C ABA? 的体积为 23 。 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 直线与平面垂直的性质 ， 棱柱、棱锥、棱台的体积。 19.【答案】（ 1） 解 ： 根据题意知：甲品牌产品寿命小于 200小时的频率为 5+20 1=100 4 ， 因为用频率估计概率 ，所以甲品牌产品寿命小于 200小时的概率为 14 （
