1、第二节第二节 机械能机械能 自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和 动能的总称。 一、重力势能一、重力势能 1重力做功的特点重力做功的特点 当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对 应着物体与地球之间能量的变化。 如图5.28所示， 我们分别计算物体m 沿不同路径从 1 h高度运动至 2 h高度时，重力做的功。 物体沿AB下落时，有 12AB Wmg hh。 物体沿AC下落时，设AC与水平方向夹角为，则cos 90 ACAC Wmg s，因为 21 cos 90sin ACAC sshh，因此 12AC Wmg hh。 可见， ABA
2、C WW，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等 于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿AD下降时重力的功 AD W。 将曲线AD分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度 分别为 1 h， 2 h， 3 h，则 12312312AD Wmg hmg hmg hmghhhmg hh 综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用 AB Wmg h来计算重力做的功，其中h表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形 状和大小，则h表示物体的重心在初、末位置的高度差。 2重力势能的定义重力势能
3、的定义 重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种 引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能 叫做重力势能。 重力势能是物体和地球所共有的， 为了叙述方便， 可以说成是某一物体的重力势能。 重力势能的计算公式为 p Emgh，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（J） 。式中h是物 体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高度h不同，物体的 重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力 势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为
4、m的物体从房顶落到地面，下落高 度为h，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少mg h。 例例 1 （上海第 27 届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一 半，将剩余部分a和b按照图 5.29 所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为 （ ） 。 Aa比较大 Bb比较大 C一样大 D无法判断 分析与解分析与解 a和b质量相同， 比较它们重力势能的大小，只需比较两者 的重心高度即可。设原来正方体的边长为h，则a的重心高度为 4 a h h 。b 的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的 距离为 1
5、 3 的中线长度，因此b重心的高度 212 0.236 236 b h hhh，显然，选项A正确。 例例 2 一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面 足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为 2 m 的小球，如图 5.30 所示。由静止释放，当链条刚离 开桌面时，重力做功为_，系统重力势能变化量为_。 分析与解分析与解 本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来 处理。画出链条刚离开桌面时的位置如图 5.31 所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于 链条中部和底部的两铁球的B，C相当于后来的D，E位置， 其间的链条BC
6、位置也相当于DE位 置，未发生变化。整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球A运动到了最低处F，以及AB间的 链条运动到了EF处。由此，铁球A下降的高度为L，链条AB的重心下降了 3 4 L ，则重力做的功 为 37 2248 mgmgLmgL WL，系统重力势能减少了 7 8 mgL 。 二、弹性势能二、弹性势能 弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都 具有弹性势能。弹性势能用 p E表示，单位是焦耳。 对弹簧而言， 在弹性限度内， 弹簧的弹力F与其形变量x成正比， 即Fkx。 利用Fx图像， 可以得出弹簧的弹性势能 p E与形变量x的关系。 如图
7、5.32（a）所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹 性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。由于拉力等于弹簧 弹力，可画出拉力F随弹簧形变量x的关系，如图 5.32（b）所示，当弹簧形变为l时，图下方三 角形的面积即为拉力所做的功： 2 1 2 Wkl，则弹簧的弹性势能为 2 p 1 2 Ekl，其中k为弹簧的劲度 系数。 三、动能三、动能 动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即 2 k 1 2 Emv， 动能的单位是J（焦耳） 。 注意动能公式中的“v”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变
8、时，动能不变。 动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。由于速度的大小与参考系有关，所以 动能也具有相对性。 例例 3 某地强风的风速约为20m/sv ，空气密度 3 1.3kg/m（即体积为 3 1m的空气质量为 1.3kg） ，如果把通过横截面积为 2 20ms 的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率 的公式P _，产生的电功率的大小约为_。 分析与解分析与解 经过时间t， 有长度为lvt的空气柱通过截面s， 如图 5.33 所示，则t时间内通过截面s的空气柱体积为Vslsvt，空气柱的质量 mVsvt，空气柱的动能 2 k 3 11 22 Emvtsv，由于风的动
9、能全 部 转 化 为 电 能 ， 得 电 功 率 3 k 1 2 EW Psv tt ， 代 入 数 据 可 得 5 1 10 WP 。 四、机械能和机械能守恒四、机械能和机械能守恒 在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。机械能是用来表示物体的机械运动状 态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。对于 一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往 往是动能与重力势能之和。 不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩 的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这
10、种相互转化的条件是做功。当只有重力或者是 弹簧的弹力做功时，物体（包括弹簧）的机械能总和保持不变，即机械能守恒。机械能守恒是指动 能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。 在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体 之间转化。 例例 4 如图 5.34 所示， 小球从A点自由落下，在B点恰与竖立在地面上的弹簧 接触，并在C点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是（ ） 。 A小球从A点下落到B点的过程中，小球机械能守恒 B小球从A点下落到C点的过程中，小球机械能守恒 C小球在B点速度达到最大 D小球在C点时弹簧的弹性势能小于
11、小球在A点时的重力势能 分析与解分析与解 小球从A点下落到B点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力 势能减少， 动能增加， 减少的重力势能全部转化为小球的动能， 因此， 这个过程小球的机械能守恒， A选项正确。小球从A到C的过程中，小球在A点和在C点速度均为零，小球减少的重力势能最 终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部 分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项 B 错误。小球到达B点时，弹簧还未被压缩，小球在B点还 要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速， 可见，B点并不是小球速度最大的位
12、置，速度最大的位置（弹力等于重力的位置）应在B，C两点 之间，选项 C 错误。当小球到达C点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在A点时的重力 势能转化为弹簧的弹性势能与小球在C点的重力势能，因此，选项 D 正确。本题正确选项为 AD。 例例 5 如图 5.35 所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆 倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。以地面为重力势能零点，则动能恰好与 重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为（ ） 。 A15 B30 C45 D60 分析与解分析与解 木杆在倒地过程中，其机械能守恒。设木杆质量为m，长为L，则 木杆初始状态动能为 0，重心高度为 1
13、2 L，重力势能为 1 2 mgL，因此初始状态下的机械能为 1 1 2 EmgL， 设木杆动能与重力势能相等时， 木杆与水平面的夹角为， 则其重心高度为 1 sin 2 L， 重力势能为 1 sin 2 mgL，此时的机械能为 2 1 2sinsin 2 EmgLmgL。由杆的机械能守恒， 得 12 EE，即 1 sin 2 mgLmgL，显然 1 sin 2 ，30。选项B正确。 五、功和能量变化的关系五、功和能量变化的关系 能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另 一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。功
14、和能 的关系是：功是能量变化的量度。 1重力做功和重力势能变化的关系重力做功和重力势能变化的关系 设一个质量为m的物体，如果初状态时的高度为 1 h（相对于某一位置） ，重力势能为 1 mgh；末 状态时的高度为 2 h，重力势能为 2 mgh，这一过程中，重力做的功 12mg Wmghmgh。 由上式可得： （1） 若 12 hh， 表示物体高度下降， 重力做正功， 12 mghmgh， 即重力势能减少； 若 12 hh， 表示物体高度上升，重力做负功， 12 mghmgh，即重力势能增加。 （2）只要始末位置一定，即 1 h， 2 h一定，不管经过哪一路径，重力做的功 mg W就是一定的，
15、 即重力做功跟路径无关。 2外力做功和物体动能变化的关系外力做功和物体动能变化的关系 设一个质量为m的物体，初状态时的速度为 1 v，在恒定的外力F的作用下，发生一段位移s， F的方向与速度方向相同，末状态时的速度为 2 v，则有外力做的功 22 21 11 22 WFsmvm，如果 物体受几个力，上述结论仍正确，但W是所有外力对物体做的功的代数和。上式表示：外力对物体 做的功等于物体动能的增量。这一结论叫做动能定理。 从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。合外 力是阻力，物体的动能就减小，物体克服阻力做的功等于物体动能的减少量。 例例 6 （上海第 2
16、7 届大同杯初赛）如图 5.36 所示，一个质量为m的圆环在一根固定的水平粗 糙直杆上，现给环一个向右的初速度 0 v，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的 作用，已知力F的大小Fkv（k为常数，v为环的运动速度） ，物体的动能与速度的关系为 2 k 1 2 Emv，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功（杆足够长）可能为（ ） 。 A 2 0 1 2 mv B0 C 32 2 0 2 1 22 m g mv k D 32 2 0 2 1 22 m g mv k 分析与解分析与解 本题中由于力F与速度有关， 因此杆对环的弹力N也在发生变化， 则环受到的摩擦 力大小也随速度变化，直
17、接求解环克服摩擦力做的功有困难。由于环运动过程中只有摩擦力做功， 则环克服摩擦力做的功等于其动能的减少量。下面分情况讨论环的运动情况： 若初始时Fmg，即 0 kvmg， 0 mg v k ，则杆对环的弹力0N ，滑动摩擦力为零，环 恰以速度 0 mg v k 做匀速直线运动，克服摩擦力做功为零。选项B正确。 若初始时Fmg，即 0 mg v k ，则杆对环的弹力NFmg，方向垂直于杆向下，环受 滑动摩擦力，因此环将减速，而随着环速度的减小，力F逐渐减小，当力F减小到Fmg时，即 环的速度 mg v k 时， 杆对环的弹力0N ， 滑动摩擦力为零， 此后环保持这个速度做匀速直线运动， 因此环克
18、服摩擦力做功为 32 222 00 2 111 2222 f m g Wmvmvmv k ，选项C正确。 若初始时Fmg，即 0 mg v k ，则杆对环的弹力NmgF，方向垂直于杆向上，环受 滑动摩擦力而减速， 随着环速度的减小， 力F逐渐减小， 而弹力N逐渐增大， 滑动摩擦力逐渐增大， 直至环速度减为零。因此，环克服摩擦力做功为 2 00 11 0 22 f Wmvmv，选项A正确。 综上所述，本题正确选项为ABC。 3外力做功与机械能变化的关系外力做功与机械能变化的关系 如果除了重力（和弹力）外，还有其他外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，机械能和其 他形式能之间发生转化。 若其他力做
19、正功， 物体的机械能增加； 其他力做负功， 物体的机械能减少。 用W其他表示重力和弹簧弹力以外的力做的功， 1 E， 2 E分别表示物体初、末状态的机械能，则有 21 WEE 其他 ，即除重力、弹力以外的其他力做的功等于物体机械能的增加量。 例例 7 （上海第 30 届大同杯初赛）滑块以某初速度从固定的粗糙斜面底端向上运动，然后又滑 回到斜面底端，若滑块向上运动的距离中点为A，取斜面底端重力势能为零，则滑块（ ） 。 A上滑过程机械能减小，下滑过程机械能增大 B上滑过程机械能减小，下滑过程机械能也减小 C上滑至A点时动能大于重力势能 D下滑至A点时动能大于重力势能 分析与解分析与解 设滑块的质
20、量为m， 受到的摩擦力为f； 滑块上滑的高度为H， 通过的路程为L。 根据能量关系，滑块在最开始具有的动能为mgHfL。当滑块上滑至斜面中点A时，具有的重力 势能为 2 mgH ；具有的动能为 2222 mgHfLmgHfL mgHfL 。所以，此时动能大于重 力 势 能 。 当 滑 块 下 滑 至 斜 面 中 点A时 ， 具 有 的 重 力 势 能 为 2 mgH ； 具 有 的 动 能 为 2222 mgHfLmgHfL mgH 。所以，此时动能小于重力势能。本题正确选项为BC。 利用功能关系，可以求解变力做的功，即只需要确定变力所做的功等于哪些能量的变化，求出 这些能量的增减情况，就可以
21、得出变力做功的值。 例例 8 （上海第 27 届大同杯初赛）如图 5.37 所示，容器的质量为m，若从容器的底部通过小 孔向容器内注入质量为M的水，需要做功为W。现将小孔打开，水自然会从 小孔流出，与此同时提升容器，使容器内的水面相对地面始终保持原有高度， 当容器内的水全部流走时，需要做的功为（ ） 。 AMm gHW BMm gH CMm gHW DMm gHW 分析与解分析与解 本题中的变力较为复杂，所做的功也显然无法用第一节中求变力做功的几种方法求 解，因此可以考虑利用功能关系来求解。通过小孔向容器内注入质量为M的水，需要做功为W， 设这些水的重心高度为 0 h，则水的重力势能 0 Mg
22、hW，即 0 W h Mg 。当提升容器，使得水面高度 恒为H时，实际上相当于将水的重心提高了 0 Hh的高度，因此要对水做功 10 WMg Hh， 而容器最终被提升的高度为H，因此对容器做的功 2 WmgH，所以，提升容器时需要做的总功为 120 WWWmgHMg HhMmgHW 总 ，选项D正确。 练习题练习题 1长为L的细绳，一端被固定于O点，另一端系住一个质量为m的小球，若 让小球从图 5.38 中的A点下摆至最低位置B点，小球的重力势能减少了（ ） AsinmgL BcosmgL C1 sinmgL D1 cosmgL 2下列有关动能的叙述，正确的是（ ） 。 A甲、乙两物体质量之比
23、为 12 :2:1mm ，它们的速度之比为 12 :1:2vv ，则两物体的动能 是相等的 B甲、乙两物体质量之比为 12 :2:1mm ，它们的速度之比为 12 :1:2vv ，则两物体的动能 之比为 4：1 C甲、乙两物体质量之比为 12 :4:1mm ，它们的速度之比为 12 :1:2vv ，则两物体的动能 之比为 2：1 D甲、乙两物体质量之比为 12 :4:1mm ，它们的速度之比为 12 :1:4vv ，则两物体的动能 之比为 1：4 3 （上海第 7 届大同杯复赛）一只垒球以某一速度飞向木栅栏，会被木栅栏弹回来，而一辆汽 车以相同的速度撞向这一栅栏，木栅栏就会被汽车撞坍，这是因为
24、汽车（ ） 。 A具有较大的势能 B具有较大的动能 C具有较大的弹性 D具有较大的功率 4 （上海第 9 届大同杯复赛）如图 5.39 所示，用倾斜放置的传送带将货 物匀速地自低处运送到高处。在这一过程中，货物的重力势能不断增加。这 是因为（ ） 。 A静摩擦力做功 B重力做功 C支持力做功 D动能转化为势能 5 （上海第 10 届大同杯复赛）两辆汽车分别在水平公路和盘山公路上行驶，如果它们的牵引力 相同，当它们行驶了相同的路程后，汽车牵引力所做的功分别为 1 W和 2 W，则（ ） 。 A 12 WW B 12 WW C 12 WW D条件不足，无法比较 6 （上海第 31 届大同杯初赛）如
25、图 5.40 所示，弹簧开始处于原长，在物体A由静止 释放后下降的过程中（ ） 。 A物体的动能与下降的距离成正比 B物体重力势能的变化量与下降的距离成正比 C弹簧的弹性势能与下降的距离成正比 D物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小，后增大 7 （上海第 29 届大同杯初赛）将小球竖直上抛，然后又落回到抛出点。小球向上过程的中点为 A，取抛出点的重力势能为零。若该球在整个过程所受的空气阻力大小不变，则小球（ ） 。 A上升过程损失的机械能大于下降过程损失的机械能 B上升过程损失的机械能等于下降过程损失的机械能 C上升至A点时的动能大于势能 D下落至A点时的动能大于势能 8 （上海第 27
26、届大同杯初赛）关于功、功率和机械效率相互关系的说法中，正确的是（ ） 。 A机械效率越高，机械做功越快 B做功越多的机械，机械效率越高 C功率越大的机械，做功越多 D做功越快的机械，功率越大 9 （上海第 27 届大同杯初赛）如图 5.41 所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的O点，另一端可 自由伸长到B点。今使一质量为m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在 水平面上运动到C点静止，已知ACL；若将小物体系在弹簧上，在A点静止释放，直到最后静 止，小物体通过的总路程为s，则下列说法中可能的是（ ） 。 AsL BsL C 2 L sL D 2 L s 10 （上海第 26 届大
27、同杯初赛）如图 5.42 所示，长为1m的轻杆BO一端通过光滑铰链铰在竖 直墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，重力10NG 的物体通过细线经滑轮系于墙上 A点，平衡时OA恰好水平。现将A点沿着竖直墙向上缓慢移动少许，重新平衡后 轻杆受到的压力恰好也为10N，该过程中，外力所做的功至少为 （数点后保留两位） （ ） 。 A0.86J B1.59J C2.07J D2.93J 11某物体速度增大为原来的 3 倍，则它的动能增大为原来的_倍。洒水车在洒水过程 中匀速前进，则它的动能_，重力势能_（选填“减小” “增大”或“不变” ） 。 12某物体在离地4m高处具有2000J的重力势能，该物体的质量为_
28、kg，若将该物体 移至离地8m高处，则它的重力势能增加了_J （g取10N/kg） 13一质量为100kg且分布均匀、边长为0.5m的立方体金属块放在水平地面上，以地面为参 照平面，则金属块的重力势能为_J。 14 （上海第 8 届大同杯复赛）已知铜的密度大于铝的密度。把质量 相等的实心铜球和实心铝球静止地放在同一水平桌面上，如图 5.43 所示， 则铜球具有的机械能_铝球具有的机械能； 若它们都由图示位置掉 落到水平地面上，则铜球减少的重力势能_铝球减少的重力势能 （填“大于” “小于”或“等于” ） 。 15 （上海第 17 届大同杯复赛）有报道说：台湾地区一家厂商发明了一种“手机自生能”
29、技术， 装上特制的电池，上下左右摇晃，即可产生电能，每摇一分钟可通话两分钟。如果将手机上下摇动 一次，相当于将200g的重物举高10cm，每秒约摇一次，则根据报道可知手机使用时的功率约为 _（10N/kgg ） 。 16如图 5.44 所示，边长为a、质量为m的正方形均匀木板竖直放置在水平地面上，若以此板 的一个顶点为支点，使木板在竖直平面内缓慢绕此支点转动，它的重力势能的最大值为_， 此过程中外力做的功为_。 17 （上海第 26 届大同杯复赛）交通运输中用“客运效率”来反映交通工具的某项效能，即客 运效率=人数路程/消耗能量。一个人骑电动自行车，消耗 100 万焦的能量可行驶 30 千米，
30、一辆载 有 4 人的普通轿车，消耗 3200 万焦的能量可行驶 100 千米，则电动自行车与这辆轿车的客运效率之 比是_。 有一种自动充电式电动车，前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或车自 行滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，转化成电能储存起来。某人骑车以 500 焦的初 动能在粗糙的水平路面上滑行，若关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图 5.45 中的图线 1 所示；若启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线 2 所示，则向蓄电池所 充电能是_焦。 18如图 5.46 所示，一块质量为m、边长为L的立方体石块放在粗糙地面上，缓慢地翻动它，
31、使石块移动距离L，对石块至少要做多少功？如果用水平力推石块，使石块匀速移动距离L，所做 的功跟缓慢地翻动石块做的功一样多，则石块和地面之间的动摩擦因数为多少？ 19 （上海第 9 届大同杯复赛）某学生用质量不同的滑块以不同的速度，从地面沿倾角为的光 滑斜面往上滑，如图 5.47 所示。他记录了滑块滑至最高点（此时小球速度为零）的高度h，如表 5.1 所示. 表表 51 滑块质量/m kg 1 2 3 速度/ m/sv 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 高度/mh 0.05 0.20 0.45 0.80 1.2
32、5 0.05 0.20 0.45 0.80 1.25 0.05 0.20 0.45 0.80 1.25 根据上述数据分析，归纳出： （1）小球能够达到的最大高度h跟它在斜面底端的速度v和质量m有无关系，有何关系，并写 出关系式。 （2）若假定小球在地面的重力势能为 0，且重力势能的大小跟小球 离地高度h成正比，跟小球质量m成正比，则小球在斜面底端的动能 k E 与小球在斜面底端的速度v、质量m有何关系。 参考答案参考答案 1D。先求出A，B两点的竖直高度差。A点到O点的竖直高度差为cosL，则A，B间 的竖直高度差为cosLL，重力势能的减少量 p 1 cosEmgL。 2D。提示：动能的表达
33、式为 2 k 1 2 Emv。 3B。垒球和汽车以相同的速度撞向栅栏，汽车能把栅栏撞坍，是因为汽车质量较大，具有较 大的动能。 4A。物块受重力、支持力和静摩擦力的作用，其中支持力与传送带垂直，不做功，重力做负 功。由于物块有相对于传送带下滑的趋势，静摩擦力方向沿传送带向上，静摩擦力与物块运动方向 相同，使物体匀速上升，重力势能增加，因此静摩擦力对物块做正功是物块重力势能增加的原因。 5B。提示：汽车牵引力始终朝向汽车运动方向，因此牵引力做功等于牵引力与路程的乘积。 6BD。设物体下落距离为h，则物体重力势能减少了mgh，弹簧的弹性势能增加了 2 1 2 kh， 减少的重力势能一部分转化为弹簧
34、的弹性势能，另一部分转化为物块的动能，则物体动能 2 k 1 2 Emghkh，可见，动能与下落距离是二次函数的关系，AC选项错误，B选项正确；由 2 22 2 k 11 222 mgm g Emghkhk h kk 可知，当 mg h k 时（即此时弹力与重力等大） ，动能 取得最大值 22 kmax 2 m g E k ，可见，动能一定是先增大，又减小，而对于弹簧与物块组成的系统，重 力势能、 弹性势能、 动能三者之和为一定值， 因此在动能最大时， 重力势能与弹性势能之和必最小， 选项D正确。 7BC。设小球上升的最大高度为H，空气阻力为f，小球在上升和下降时，克服空气阻力做 的功均为 f
35、 WfH，所以小球在上升和下降过程中损失的机械能相同，B选项正确。由功能关系， 小 球 在 刚 抛 出 时 具 有 的 机 械 能 为 1 Em g Hf H， 在 上 升 至 中 点A时 ， 动 能 为 k 11 2222 HHHH EEm gfm gf，重力势能 p1 2 H Emg，可见 k1p1 EE，选项C正确。 小球达到最高点时，速度为零，具有的机械能为 2 EmgH，然后下落至中点A，此时的动能为 k22 2222 HHHH EEmgfmgf ，此时的重力势能 p2 2 H Emg，可见 k2p2 EE，选 项D错误。 8 D。 功率是表示做功快慢的物理量， 与做功多少无关； 机
36、械效率是指有用功占总功的百分比， 与功率也无关。对同一机械，机械效率往往是固定的。 9BCD。设物体位于A位置时，弹性势能为 p E，再设物体与地面之间的摩擦力为f，则物体 在由A运动到C的过程中，由功能关系，弹簧释放的弹性势能等于物体克服摩擦力做的功，即 p EfL；将小物体系在弹簧上后，物体最终静止时，弹簧可能还有弹性势能，设为 p E ，则 pp Efs E ， 即 p f Lf s E， 解得 p E sL f ， 可见， 若 p 0E ， 即物体恰好静止在B点， 则sL， 若 p 0E ，则sL，本题正确选项为BCD。 10A。结合功能关系，外力所做的功等于物体重力势能的增加量，因此
37、只要求出物体上升的 高度h，即可由Wmg h求得外力的功。不妨设杆长为L，绳子总长度为s。由于杆为轻杆， 因此杆与两边绳子的夹角必相等，所以初始时杆与绳子夹角为 45，则物块与A点的竖直高度差为 1 2 2 L hs。再设将绳端由A点向上移动至 1 A点时，轻杆受到的压力恰等于10N，则易得杆与 绳子的夹角为 60，如图 5.48 所示，杆末端滑轮下降的高度为 h cos45cos60L 21 2 L ，此时物体与A点的竖直高度差为 2 hs 3 2 L Lhs 2 2 L ， 物 体 上 升 的 高 度 12 3 2 2 hhhL 0.086m，因此外力做功10 0.086J0.86Jmg
38、hW ，选项A正确。 119；减小，减小。由动能表达式 2 k 1 2 Emv，可知速度增加为原来的 3 倍，则动能增加为原来的 9 倍。洒水车洒水时，虽然速率不变，但质量减小，所以动能减小；同时 由于车内水的重力势能减少，洒水车整体的重力势能也减小。 12 50 ， 4000 。 由 p Emgh， 解 得 p 2000 kg50kg 10 4 E m gh ， 重 力 势 能 的 增 加 量 p 50 1084 J2000JmgEh 。 13250。提示：公式 p Emgh中，h是指重心的高度，正方体的重心在其几何中心，重心离 地面高度为0.25m。 14小于；等于。提示：铝的密度小于铜，
39、质量相同的实心铝球和实心铜球，铝球的体积较大， 重心（在球心位置）比铜球重心高，因此铝球重力势能较大。两者都从水平桌面掉落到水平地面上 时，下降的高度相同，减少的重力势能也相同。 150.1W。由题意，每摇一分钟可通话两分钟，可见手机使用时的功率为发电功率的一半。 摇动手机时的发电功率为 0.2kg 10N/kg 0.1m 0.2W 1s WGh P tt ，可见手机使用时的功率 为0.1W。 16 2 1 2 mga ， 12 2 mga 。木板的重心在其中心，初始时重心高度为 1 2 a。当木板 绕图 5.49 中的顶点A在竖直面内转过 135时， 木板的重心高度最大， 为 2 2 aa，
40、 因此重力势能的最大值为 2 1 2 mga ，外力做的功等于重力势能的增加量，所 以外力做功= 12 2 1 222 mga a Wmgamg 。 1724:1，200。利用客运效率=人数路程/消耗能量，可计算出一个人骑电动自行车的客运效 率为 3 100 ，而客车的客运效率为 1 800 ，因此两者的客运效率之比为 24:1。 由图线 1，不开启充电装置时，自行车滑行 1 10ms 的过程中动能全部用来克服地面的阻力做 功， 设阻力为f， 则 k1 Efs， 解得 k 1 500J 50N 10m E f s ； 开启充电装置时， 自行车滑行 2 6ms 的过程中动能一部分转化为电能， 另
41、一部分用来克服阻力做功， 即 k2 EfsE 电， 解得 200JE 电 。 18 21 2 mgL ； 21 2 。缓慢地翻动石块时，只需将石块翻转 45，石块就会在重力作 用下继续翻转过去，因此翻转一次做的功等于将石块翻转 45的过程中克服重力做的功，则 1 21 2 222 mgL LL Wmg ；设石块与地面之间的动摩擦因数为，则用水平推力使石 块缓慢移动距离L应做功 2 WFLfLmgL，由 12 WW，解得 21 2 。 19 （1）小球能够达到的最大高度h跟它的质量无关。因为从表中数据可以看出，当质量不同 时，小球以相同的速度从斜面底端冲上斜面，所能到达的最大高度是相同的。小球能够达到的最大 高度h跟它在斜面底端的速度v有关。当上升高度为0.05m时，速度为1m/s， 2 10.050.05，当 上升高度为0.20m时，速度为2m/s，可以看出 2 20.050.2，依此类推可以得出 2 0.05hv。 （2）依题意，设物体的重力势能 p Ekmh，其中k为比例系数。小球达到最大高度h时，其 动能 k E全部转化为重力势能 p E， 则 kp EEkmh， 将 2 0 . 0 5hv代入， 得 2 kp 0.05EEkmv， 可见，动能与质量成正比，与速度的平方成正比。
