1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理 工 类） 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 +2=0A x x? ， 2A? ? ? ， 2 4 0B x x? ? ?， 2,2B? ? ? ， 2AB? ? ? . 【 提示 】 分别求出 集合 A 和 集合 B 的 解集 ，即可 求交集 . 【 考点 】集合的基本运算 2.【答案】 B 【解析】设 + i( , )z a b a b?R，且 0a? ， 0b? ， 则 z 的共轭复数为 iab? ，其中 0a? ， 0b?. 【 提示 】 复数 z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴
2、对称 . 【 考点 】复平面 3.【答案】 D 【解析】由俯视图的圆环可排除 A， B，进一步将已知三视图还原为几何体 . 【 提示 】 由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体 . 【 考点 】平图形的直观图 ， 三视图 4.【答案】 D 【解析】命题 p 是全称命题： ,2x A x B? ? ? ，则 p? 是特称命题： ,2x A x B? ? ? . 【 提示 】全称命题 的否定 ， 将 ? 改为 ? ， 将 2xB? 改为 2xB? . 【 考点 】全称量词 ， 存在量词 5.【答案】 A 【解析】 35 3 4 1 2 3 4T ? ? ? ?， T?， 2 ?，
3、 2?.由图象知当 512x? 时， 5 2 + = 2 + ( )1 2 2kk?Z，即 2 ()3kk? ? ? ?Z， 3? ? . 【 提示 】 由 图象 可得 35 3 4 1 2 3 4T ? ? ? ?， 解得 T? ，求得 ? 的 值，由图象知当 512x? 时， 5 2 + = 2 + ( )1 2 2kk?Z， 即可求 ? 的 值 . 【 考点 】函数 sin( )y A x?的图象及其变化 【 ;百万教育资源文库 】 6.【答案】 B 【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为 (1,0) ，则焦点到渐近线的距离1 22| 3 1 0 | 32( 3 ) ( 1)d ?或2 2
4、| 3 1 0 | 32( 3 ) 1d ?. 【 提示 】由题意可得抛物线的焦点坐标为 (1,0) ，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 . 【 考点 】双曲线 ， 抛物线的基本性质 7.【答案】 C 【解析】由 3 1 0x? 得 0x? ， 所以函数 331xxy? ?的定义域 0xx? ， 可排除 A； 当 1x? 时， 1301 213y? ? ?，可 排除 B； 当 2x? 时， 1y? ，当 4x? 时， 6480y? ，但从选项 D 的函数图象可以看出函数在 (0, )? 上是单调增函数，两者矛盾，故选 C. 【 提示 】 由函数解析式可得该函数定义域；
5、取 1x? 代入 函数， 与图象比较；取 两点代入函数， 观察函数单调性 ，与 图象相比较即可得出 答案 . 【 考点 】函数图象的判断 8.【答案】 C 【解析】从 1， 3， 5， 7， 9 这五个数中每次取出两个不同数的排列个数 25 20A? ， 但 lg1 lg 3 lg 3 lg 9?， lg 3 lg1 lg 9 lg 3? ? ?， 所以不同值的个数为 20 2 18? . 【 提示 】从 1， 3， 5， 7， 9 五个数中每次取出两个不同数的排列个数 25 20A? ，相同 值 的 个数为 2 个 ，即可求不同值的 个数 . 【 考点 】排列组合及其应用 9.【答案】 C
6、【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为 x， y，则 04x? ， 04y?， 而事件发生的概率为 | | 2xy?，可行域如图阴影部分所示， 由 几何概型得 2214 2 ( 2 2 ) 3244P? ? ? ?. 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示 】设第一次闪亮的时刻分别为 x， y， 由题意 可知 x， y 的 取值 范围， 而事件发生的概率为 | | 2xy?，画出可行域， 可求概率 . 【 考点 】几何概型 10.【答案】 A 【解析】由已知点 00( , )xy 在曲线 sinyx? 上， 得 0 0 0sin , 0,1y x y?，即 存在 0 0,1y? 使
7、 00( ( )f f y y? 成立 ，则点 00( , ( )A y f y ， 00( ( ), )A f y y? 都在的图象上，又 ( ) e xf x x a? ? ?在 0,1 上 单调递增，所以( )( ) 0A A A Ax x y y? ? ?， 0 0 0 0 ( ) ( ) 0f y y y f y? ? ? ?， 200 ( ) f y y? ? ?， ? 00()f y y? ，所以 ()f x x?在 0,1 上有解 ， 2e , 0 ,1xa x x x? ? ? ? ?，令 2( ) e , 0 ,1 xx x x x? ? ? ? ?， ()x? 在 0,1
8、 上单调递增，又(0) 1? ? ， (1) e? ? ， ( ) 1,ex?即 1,ea? . 【 提示 】 由题意 得得 0 0 0sin , 0,1y x y?，即 存在 0 0,1y? 使 00( ( )f f y y? 成立，则 点 00( , ( )A y f y ，00( ( ), )A f y y? 都在的图象上 ， 又 ( ) e xf x x a? ? ?在 0,1 上 单调递增 ， 所以 ()f x x? 在 0,1 上有解， 令2( ) e , 0 ,1xx x x x? ? ? ? ?，根据 ()x? 的 单调性，即可求 a 的 范围 . 【 考点 】函数零点的应用
9、第 卷 二、填空题 11.【答案】 10 【解析】 3 2 3 2 345 10T C x y x y?， 故填 10. 【 提示 】 由二项式展开 式的 通项公式 或 直接展开可得 . 【 考点 】二项式展开式 12.【答案】 2 【解析】由向量加法的平行四边形法则，得 AB AD AC?又 O 是 AC 的中点， 2AC AO? ， 2AC AO? ，AB AD AO? ? ? ， 2?. 【 提示 】由向量加法的平行四边形法则得 AB AD AC?，由 中点向量公式得 2AC AO? ， 即可求 ? 的值 . 【 考点 】平面向量的四则运算 【 ;百万教育资源文库 】 13.【答案】 3
10、 【解析】由题意得 1cos 2? 而 ,2? ?， 23? ， 4 t a n 2 t a n t a n 333? ? ? ?. 【 提示 】 由题意 可得 1cos 2? ，根据 ? 的 取值范围可求出 ? 的 值， 利用二倍角正切 公式可求 . 【 考点 】二倍角公式 14.【答案】 73x? ? ? 【解析】 设 0x? ， 则 0x?， 当 0x? 时， 2( ) 4f x x x?， 2( ) 4f x x x? ? ? ? ， 故 ()fx为在定义域上的偶函数 ， 224 , 0() + 4 , 0x x xfx x x x? ? ? ， 由 ( ) 5fx? 得 5x? 或
11、5x? ， 所以 ( ) 5fx? 得 55x? ? ? ， 由 ( 2) 5fx?得 73x? ? ? ， 所以不等式的解集为 73x? ? ? . 【 提示 】 由 ()fx为在定义域上的偶函数 得出 函数解析式， 令 ( ) 5fx? 得到 x 的 取值范围 ，根据 偶函数性质即可 求出 ( 2) 5fx?的 解集 . 【 考点 】解不等式 15.【答案】 【解析】 | | + | | | |CA CB AB? 当且仅当点 C 在线段 AB 上等号成立，所以点 C 是中位点，故 为真命题 ； 为假命题 ； 若 P 为点 A， C，则点 P 在线段 AC 上，若点 P 是 B， D 的中位
12、点，则点 P 在线段 BD 上，所以若点 P 是 A， B， C， D 的中位点，则 P 是 AC， BD 的交点 .所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 ， 故 是真命题 . 【 提示 】 由“中位点”可知，若 C 在线段 AB 上，则线段 AB 上任一点都为“中位点”， C 也不例外； 若 P为点 A， C，则点 P 在线段 AC 上，若点 P 是 B， D 的中位点，则点 P 在线段 BD 上，所以若点 P 是 A， B，C， D 的中位点，则 P 是 AC， BD 的交点 . 【 考点 】新定义 三、解答题 16.【答案】 数列 na 的首 项 为 4，公差为 0； 或首
13、项 为 1，公差为 3； 前 n 项和 4nSn? 或 232n nnS ?【解析】设该数列公差为 d，前 n 项和为 nS .由已知，可得 12 2 8ad?， 21 1 1( 3 ) ( ) ( 8 )a d a d a d? ? ? ?， 所以 1 4ad?， 1( 3 ) 0d d a?， 解得 1 4a? ， 0d? ， 或 1 1a? ， 3d? ， 即数列 na 的首 项 为 4，公差为 0，或首 项 为 1，公差为 3. 【 ;百万教育资源文库 】 所以数列的前 n 项和 4nSn? 或 23 2n nnS ?. 【 提示 】设该数列公差为 d，前 n 项和为 nS ， 由已知
14、，可得 12 2 8ad?， 21 1 1( 3 ) ( ) ( 8 )a d a d a d? ? ? ?， 解除 1a 与 d，由 前 n 项 和 公式可求 nS . 【 考点 】等差数列的性质 17.【答案】 （ ） 3cos 5A? （ ） 2| | cos2BA B ?【解析】（ ）由 2 32 c o s c o s s i n ( ) s i n c o s ( )25AB B A B B A C? ? ? ? ? ? ?， 得 3 c o s ( ) 1 c o s s i n ( ) s i n c o s 5A B B A B B B? ? ? ? ? ? ?， 即 3c
15、o s ( ) c o s s i n ( ) s i n 5A B B A B B? ? ? ? ?， 则 3cos( ) 5A B B? ? ? ?，即 3cos 5A? . （ ）由 3cos , 0 5AA? ? ? ?，得 4sin 5A? ， 由正弦定理，有 sin sinabAB? ， 所以， sin 2sin2bAB a?. 由题知 ab? ，则 AB? ，故 4B? . 根据余弦定理，有 2 2 2 3( 4 2 ) 5 2 55cc ? ? ? ? ? ?， 解得 1c? 或 7c? （舍去） . 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 2| | cos2BA B ?. 【
16、 提示 】（ ） 根据三角形中角的关系利用公式 化简可得； （ ）由 3cos , 0 5AA? ? ? ?，得 4sin 5A? ，根据 正弦定理 求得 B 的 值 ， 根据余弦定理 求 得 c 的 值， 即可求 投影 . 【 考点 】正弦定理 ， 余弦定理 18.【答案】（ ） 变量 x 是在 1， 2， 3， ? 24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能 . 当 x 从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故1 12P?； 【 ;百万教育资源文库 】 当 x 从 2， 4，
17、8， 10， 14， 16， 20， 22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故2 13P?； 当 x 从 6， 12， 18， 24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故3 16P?. （ ） 当 2100n? 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 ( 123)ii?, 的频率如下： 输出 y 的 值为 1 的 频率 输出 y 的 值为 2 的 频率 输出 y 的 值为 3 的 频率 甲 10272100 3762100 6972100 乙 10512100 6962100 3532100 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 . （ ） 随机
18、变量 ? 可能取值为 0， 1， 2， 3. 03003 1 2 83 3 2 7PC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 12113 1 2 43 3 9PC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 21223 1 2 23 3 9PC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 30333 1 2 13 3 2 7PC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 P 827 49 29 127 所以 8 4 2 1( ) 0 1 + 2 + 3 = 12 7 9 9 2 7E ? ? ? ? ? ? ? 即 ? 的数学期望为 1. 【 提示 】 （ ） 当 x 从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为
