1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）答案解析 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】因为 1,0,1M? ， 0,1,2N? ，所以 1,0,1, 2MN? . 【提示】 根据集合的基本运算即可 求解 . 【考点】 并集及其运算 2.【答案】 D 【解析】 2 5 2 5 ( 3 4 i ) 2 5 ( 3 4 i )= 3 4 i3 4 i ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) 2 5z ? ? ? ? ? ?，故选 D. 【提示】 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计算求得 z 的值 . 【考点】复数的
2、四则运算 3.【答案】 B 【解析】画出可行域，如图所示 .由图可知在点 (2, 1)? 处目标函数分别取得最大值 3m? ，在点 ( 1, 1)? 处目标函数分别取得最小值 3n? ，则 6mn? ，故选 B. 【提示】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论 . 【考点】简单 的线性规划 4.【答案】 A 【解析】 09k? ， 90k? ? ， 25 0k? ，从而可知两曲线为双曲线 . 又 2 5 ( 9 ) 3 4 ( 2 5 ) 9k k k? ? ? ? ? ? ?，故两双曲线的焦距相等，故选 A. 【提示】 根据 k 的取值范围，判断曲线为对应的
3、双曲线，以及 a b c， ， 的大小关系即可得到结论 . 【考点】双曲线的简单几何性质 5.【答案】 B 【解析】 A.2 2 2 2 2 2( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) 1c o s 21 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ?， 不满足条件 . 【 ;百万教育资源文库 】 B.2 2 2 2 2 2( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) 1c o s 21 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0? ? ? ? ? ? ?， 满足条件 . C.2 2 2 2 2 2( 1 , 0 , 1 ) (0 , 1 , 1 ) 1c
4、 o s 21 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ?不满足条件 . D.2 2 2 2 2 2( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 ) 1c o s 21 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ?不满足条件 . 故选 B . 【提示】 根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论 . 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 6.【答案】 A 【解析】由 图 1可得出样本容量为 ( 3 5 0 0 4 5 0 0 2 0 0 0 ) 2 % 2 0 0? ? ?. 抽取的高中生近视人数为 2000 2% 50% 20?，故选 A
5、. 【提示】 根据图 1 可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图 2求得样本中抽取的高中学生近视人数 . 【考点】 频率分布直方图 ， 分 层 抽样 7.【答案】 D 【解析】由 12ll? ， 23ll? 34ll? ，将四条直线放入正方体中，如图所示， 1 1 1AB l? ， 1 1 2BC l? ， 13CC l? ， 4l?面 ABCD ，满足已知条件， 4l 为平面 ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论， 14ll， 的位置关系不确定 . 【提示】 根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得， 1
6、4ll， 的位置关系不确定 . 【考点】直线与直线的位置关系 8.【答案】 D 【解析】 A 中元素为有序数组 1 2 3 4 5( , , , , )x x x x x ，题中要求有序数组的 5个数中仅 1个数为 1? 、仅 2个数为1? 或仅 3个数为 1? ， 1 2 3 4 5x x x x x? ? ? ?可取得 1， 2， 3. 和为 1的元素个数为 112510CC? ； 【 ;百万教育资源文库 】 和为 2的元素个数为： 1 2 22 5 5 40C C A?； 和为 3的元素个数为： 1 3 1 1 22 5 2 5 4 80C C C C C?. 故满足条件的元素总的个数为
7、 10 40 80 130? ? ? ，故选 D. 【提示】 从条件 1 2 3 4 513x x x x x? ? ? ? ? ?入手，讨论 ix 所有取值的可能性，分为 和为 1，和为 2，和为3三种情况进行讨论 . 【考点】集合的元素，排列数与组合数 . 二、填空题 9.【答案】 ( , 3) (2, )? ? ? 【解析】 由不等式 | 1| | 2 | 5xx? ? ? ?，可得 22 1 5x x? ? ? ，或 2135x? ? ? ? ，或 12 1 5xx? ? . 解 求得 3x? ，解 求得 x? ，解 求得 2x? .综上，不等式的解集为 ( , 3) (2, )? ?
8、 ?. 【提示】 把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 . 【考点】解绝对值不等式 10.【答案】 53yx? ? 【解析】因为 55e xy ? ，所以 0|5xy ? ? ，所求切线方程为 53yx? ? . 【提示】 利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程 . 【考点】导数的几何意义 11.【答案】 16 【解析】要使 6为取出的 7个数中的中位数，则取出的数中必有 3个不大于 6，另外 3个数不小于 6，故所求概率为 36710 16CC ?. 【提示】 根据条件确定当中位数为 6时，对应的条件即可得到结论 .
9、 【考点】中位数，简单随机事件的概率 12.【答案】 2 【解析】由正弦定理知， c o s c o s s i n c o s s i n c o s 2 s i nb C c B B C C B B? ? ? ?，即 sin( ) 2 sinB C B? ，sin 2sinAB? ，从而 2ab? ， 2ab?. 【提示】 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定【 ;百万教育资源文库 】 理变形即可得到结果 . 【考点】正弦定理 13.【答案】 50 【解析】 由题意得， 510 11 9 12 =ea a a a? ，又 0na? ， 所以
10、1 2 2 0ln ln lna a a? ? ?= 1 2 20ln( )aa a = 1010 11ln( )aa = 510 lne? =50 . 【提示】 直接由等比数列的性质结合已知得到 510 11 eaa? ，然后利用对数的运算性质化简后得答案 . 【考点】等比数列的性质，数列的前 n项和，对数的运算 14.【答案】 (1,1) 【解析】曲线 1C 即 2( sin ) cos? ? ? ? ，故其直角坐标方程为： 2yx? ，曲线 2C 为 sin 1? ，则其直角坐标方程为 1y? ，所以两曲线的交点坐标为 (1,1) . 【提示】 把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线
11、的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标 . 【考点】极坐标与直角坐标的互化 15.【答案】 9 【解析】平行四边形 ABCD 中，因为 AB CD ，又因为 DFC EFA? ? ，所以 CDF AEF ，22 9C D F C D E B A EA E F A E A E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的 面 的 面 积积. 【提示】 利用 CDF AEF ，可求 CDFAEF 的 面 的 面 积积 . 【考点】相似三角形的判定与性质 三、解答题 16.【答案】（） 3 （） 304【解析】（） 512f? 5 3sin +12 4 2A ?， 所以 32A 32?
12、， 所以 3A? . 【 ;百万教育资源文库 】 （）由（）可知 ( ) 3 sin4f x x?， 所以 3( ) ( ) 3 s i n 3 s i n4 4 2ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 33 ( ) s i n c o s ( s i n c o s ) 2? ? ? ? ? ? ? ?， 36cos 2?， 6cos 4? . 又 20,? ? ?， 所以 2 10s in 1 c o s4? ? ?， ? ?3 s i n 303 4s i n34f ? ? ? ? ? ? ? ? . 【提示】 （ ）由函数 ()fx
13、的解析式以及 5 312 2f?，求得 A 的值 . （ ）由（ ）可得 ( ) 3 sin4f x x?，根据 3( ) ( ) 2ff? ? ?，求得 cos? 的值，再由 20,? ? ?，求得 sin? 的值，从而求得 3 4f ?的值 . 【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系 17.【答案】 （）由 题意可得 1n =7， 2n =2， 1f =0.28， 2f =0.08. （）样本频率分布直方图如图所示： （）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的概率 0.2.设所取的 4人中，日加工零件数落在区间（ 30， 35的人数为 ? ，则 4, 2
14、 ( )0.B? ， 【 ;百万教育资源文库 】 4( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 0 . 2 ) 1 0 . 4 0 9 6 0 . 5 9 0 4PP? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以 4人中，至少有 1人的日加工零件数落在区间（ 30， 50的概率约为 0.5904. 【提示】（） 利用所给数据，可得样本频率分布表中 1 2 1n n f， ， 和 2f 的值 . （） 根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图 . （） 利用对立事件可求概率 . 【考点】频率分布表，频率分布直方图， 古典概型及其概率计算公式 18.【答案】（） PD ABCD?平 面 ， PD A
15、D?. 又 CD AD? ， PD CD D? ， AD PCD?平 面 ， AD PC?. 又 AF PC? ， PC ADF?平 面 ，即 CF ADF?平 面 . （）设 1AB? ，则 Rt PDC 中， 1CD? ，又 30DPC? ? ? ， 23PC PD? ? ?， . 由（）知 CF DF? ， 32DF?， 22 72ADAF DF? ， 22 12ACCF AF? . 又 FE CD ， DEPD? =CFPC =14 ， 34DE?，同理 EF? 34 ， CD? 34 . 如图所示，以 D为原点，建立空间直角坐标系， 则 3( ) ,0 , 0 ,1 0 , 04AE
16、?， 033,44F?,， ( 3, )0,0P ()0,1,0C . 设 ,(),m x y z? 是平面 AEF的法向量，则 m AFm EF? ?，又3 ,0,0430 ,04AEEF? ? ? ? ? ,， 【 ;百万教育资源文库 】 所以3 043 04m AF x zm EF y? ? ? ? ?，令 4x? ，得 3z? ， 4,()0, 3m? . 由（）知平面 ADF 的一个法向量 ( 3,1,0)PC ? ，设二面角 D AF E?的平面角为 ? ，可知 ? 为锐角，c o s | c o s | m P Cm P C m P C? ? ? ? ?= 43192? = 25
17、719 . 【提示】（） 结合已知直线和平面垂直的判定定理可判 CF ADF?平 面 ，即得所求 . （） 由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可 . 【考点】直线与平面垂直的判定， 二面角的平面角及求法 19.【答案】（） 1 3a? 2 5a? 3 7a? （） 21na n?()n ? 【解析】（） 32 4 20aS ?， 33 32 5 20aSS a? ， 又 3 15S? ， 3 7a?， 32 084 2aS ? . 又 2S? 1S + 2a 2 2 2( 2 7 ) 3 7a a a? ? ? ? ?， 2 5a?， 1a = 1S = 22 7 3a ? . 综上知 1a =3， 2a =5， 3a =7. （）由（）猜想 21na n?，下面用数学归纳法证明 . 当 1n? 时 ， 结论显然成立 ； 假设当 ( 1)n k k?时 ， 21ka k?， 则 )7 (3 5 2 1k kS ? ? ? ? ? ? 3 ( 2 1 ) ()2 2kk kk ? ? ， 又 212 3 4k kS ka k k? ? ?， 21()2 2 3 4kk ka k k? ? ? ? ?， 解得 2 +12 4 6kak?， +1 ( 11)2k ka ? ?， 【 www.163wenku
