1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学 （文史类）答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 ? ?0,1N? ， 1,0,1M? ， , 01MN? 【提示】 先求出 ? ?0,1N? ，再利用交集定义得出 MN 【考点】 集合的基本运算 2.【答案】 A 【解析】由 i i 1z? ? ?（ ） 1i?，及共轭复数定义得 1iz? 。 【提示】 先把 z 化成标准的 i( , )a b a b?R 形式，然后由 共轭复数定义得出 1iz? 。 【考点】 复数代数形式的四则运算及复数的基本概念 3.【答案】 C 【解析】因为“若 p ，则 q
2、 ”的逆否命题为“若 p? ，则 q? ”，所以“若 4? ，则 tan 1? ”的逆否命题是“若 tan 1? ，则 4? ” 【提示】通过分析 “若 p ，则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题可判断 【考点】 命题的逆命题、否命题与逆否命题 4.【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱， A、 B、 C，都可能是该几何体的俯视图， D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形。 【提示】通过空间想象画出三视图 【考点】 空间几何体的三视图 5.
3、【答案】 D 【解析】由回归方程为 ? 0.85 85.71yx?知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最【 ;百万教育资源文库 】 小二乘法建立的回归方程得过程知 ? ()y b x a b x y b x a y b x? ? ? ? ? ? ?，所以回归直线过样本点的中心（ x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D不正确。 【提示】可 由最小二乘法建立的回归方程得过程，再利用回归方程可以预测估计总体。 【考点】两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念 6.【答案】 A 【解析】设双曲线 C ： 221xyab?的半焦距为 c ，则
4、 2 10c? ， 5c? 。 又 C 的渐近线为 byxa? ，点 (21)P， 在 C 的渐近线上， 12ba? ，即 2ab? 。 又 2 2 2c a b?， 710 ， ?C 的方程为 22120 5xy?。 【提示】利用 数形结合的思想，结合基本运算能力。 【考点】 双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识。 7.【答案】 D 【解析】由不等式及 1ab?知 11ab? ，又 0c? ，所以 ab? ，正确；由指数函数的图像与性质知正确；由 1ab?， 0c? 知 11a c b c c? ? ? ? ? ?，由对数函数的图像与性质知正确。 【提示】 不等式的运算性质可求；可根据
5、指数函数和对数函数性质判断 【考点】 函数概念与基本初等函数中的 指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质， 不等关系 8.【答案】 B 【解析】设 AB c? ，在 ABC 中，由余弦定理知 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B? ? ?， 即 27 4 2 2 c o s 6 0cc? ? ? ? ? ? ?， 2 2 3 0 ( 3 ) ( 1 )c c c c? ? ? ? ?， 即 =0.又 0c? ， 3c?。 设 BC 边上的高等于 h ，由三角形面积公式 11s i n22ABCS A B B C B B C h?，知 113 2 s in 6
6、 0 222 h? ? ? ? ? ? ?，解得 332h? 。 【提示】根据余弦定理公式列出方程求出 c ， 再由三角形面积公式求出高 。 【考点】 余弦定理、三角形面积公式 9.【答案】 B 【解析】由当 (0,)x? 且 2x? 时， ( ) ( ) 02x f x?，知 0 , ( ) 0 , ( )2x f x f x? ? 时 , 为 减 函 数 ； , ( ) 0 , ( )2 f x f x? ? ? 时 , 为 增 函 数 又 ? ?0,x? 时， 0 ( ) 1fx? ? ，在 R 上的函数 ()fx是最小正周期为 2 的偶函数，在同一坐标系中作出sinyx? 和 ()y
7、f x? 草图像如下，由图知 ( ) siny f x x?在 2,2? 上的零点个数为 4个。 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】做出函数草图，结合函数的周期性、奇偶性判断 【考点】 函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题 二、填空题 10.【答案】 22【解析】曲线 1C 的直角坐标方程是 21xy?，曲线 2C 的普通方程是直角坐标方程 2 2 2x y a?，因为曲线 1 ( 2 c o s s in ) 1C ? ? ?： 与曲线 C2： 2 : ( 0)C a a? ?的一个交点在极轴上，所以 1C 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由 202yx?，知 a = 22。
8、 【提示】把曲线 1C 与曲线 2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与 x 轴交点，即得。 【考点】 直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想 11.【答案】 7 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【提示】通过基本运算即可求得。 【考点】 优选法中的分数法 12.【答案】 ? ?23xx? 【解析】由 2 5 6 0xx? ? ? ，得 ( 3)( 2) 0xx? ? ? ，从而不等式 2 5 6 0xx? ? ? 的解集为 ? ?23xx? 。 【提示】 2 5 6 0xx? ? ? 由十字相乘法得 ( 3)( 2) 0xx? ?
9、? ， 再画出数轴可直观得到 。 【考点】 一元二次不等式的解法 13.【答案】 6.8 【解析】 1 ( 8 9 1 0 1 3 1 5 ) 1 15x ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 2 2 21 ( 8 1 1 ) ( 9 1 1 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 5 1 1 )5s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6.8? 。 【提示】根据茎叶图的概念，写出图中的 5个数，再通过方差的公式可得。 xyo 2?2?11?sinyx?()y f x?【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 茎叶图、方差 14.【答案】 4 【解析】算法的功能是赋值，通过四
10、次赋值得 0.5x? ，输出 4i? 。 【提示】按照算法框图的流程，四次赋值可得。 【考点】 算法流程图 15.【答案】 18 【解析】设 AC BD O? ，则 2( )AC AB BO?， APAC = 2( BO)AP AB ?22AP AB AP BO? 22 2 ( ) 2A P A B A P A P P B A P? ? ? ?18? 【提示】利用 数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法，通过向量运算可得。 【考点】 平面向量加法的几何运算、 平面向量的数量积运算 16.【答案】（ 1） 3 （ 2） 2 【解析】（ 1）观察知 00 0 11 2 1 1a a b? ? ?
11、 ?， ，； 10 1 0 22 1 2 0 2 1 0 1a a b? ? ? ? ? ? ?， ， ，； 以此类推 10 33 1 2 1 2 0b? ? ? ? ?，； 2 1 0 44 1 2 0 2 0 2 1b? ? ? ? ? ? ?，； 2 1 0 55 1 2 0 2 1 2 0b? ? ? ? ? ? ?，； 2 1 06 1 2 1 2 0 2? ? ? ? ? ?， 6 0b? ， 7811bb?， ， 2 4 6 8 3b b b b? ? ? ?； （ 2）由（ 1）知 mC 的最大值为 2. 【提示】通过 观察知 00 0 11 2 1 1a a b? ? ? ?
12、， ，； 10 1 0 22 1 2 0 2 1 0 1a a b? ? ? ? ? ? ?， ， ， 归纳出规律可得 。 【考点】 归纳推理 三、解答题 17.【答案】（ 1） 解： 由已知得 2 5 1 0 5 5 3 5 1 5 2 0y x y x y? ? ? ? ? ? ? ?， ， ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为： 1 1 5 1 . 5 3 0 2 2 5 2 . 5 2 0 3 1 0 1 . 9100? ? ? ?
13、 ? ? ? ? ? ?（分钟）。 （ 2） 解： 记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 1 2 3A A A， ， 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”。将频率视为概率，得 1 2 31 5 3 3 0 3 2 5 1( ) ( ) ( )1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 4P A P A P A? ? ? ? ? ?， ，。 【 ;百万教育资源文库 】 1 2 3 1 2 3A A A A A A A? ， 且 ， ，是互斥事件， 1 2 3 1 2
14、3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A P A P A? ? ? ? ?3 3 1 720 10 4 10? ? ? ?。 【提示】第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55， 知2 5 1 0 1 0 0 5 5 % 3 5 ,y x y? ? ? ? ? ?，从而解得 xy， ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算 时间 的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2分钟的概率。 【考点】 概率统计 18.【答案】（ 1） 解： 由题设图像知，周期 T? 11
15、 52( ) 12 12?， 2 2T? ? ? 因为点 5,012?在函数图像上，所以 5sin(2 ) 012A ? ? ?， 即 5sin( ) 06 ?。 又 ()fx即 6? 。 又点 0,1（ ） 在函数图像上，所以 sin 16A ? ， 2A? 故函数 ()fx的解析式为 ( ) 2 sin 26f x x?（ 2） 解： ( ) 2 s i n 2 2 s i n 21 2 6 1 2 6g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 s in 2 2 s in 2 3xx? ? ? 132 s i n 2 2
16、s i n 2 c o s 222x x x? ? ? sin 2 3 cos 2xx? 2sin 2 3x?， 由 2 22 ,2 3 2k x k? ? ? ? ?得 5 ,.1 2 1 2k x k k? ? ? ? ? Z ()gx? 的单调递增区间是 5 , 1 2 1 2k k k? ? ? Z， 【提示】第一问结合图形求得周期 11 52 ,12 12T ? ? ?从而求得 2 2T?。再利用特殊点在图像上求出A?， ，从而求出 ()fx的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin( )y A x?的单调性求得。 【考点】三角函数的图像和性质 【 ;百万教育资源文库 】
17、 19.【答案】（ 1）证明 ： 因为 .P A A B C D B D A B C D P A B D? ? ?平 面 ， 平 面 ， 所 以 又 AC BD PA AC? ， ， 是平面 PAC内的两条相较直线，所以 BD PAC平 面 ， 而 PC? 平面 PAC ，所以 BD PC? 。 （ 2） 解： 设 AC 和 BD 相交于点 O ，连接 PO ，由（ 1）知， BD PAC平 面 ， 所以 DPO? 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 =30DPO?。 由 BD PAC平 面 ， PO PAC?平 面 ，知 BD PO? 。在 Rt POD 中， 由 DPO? 30?，得 2PD OD? 。 因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AC BD? ，所以 AOD BOC ， 均为等腰直角三角形， 从而梯形 ABCD 的高为 1 1 1 ( 4 2 ) 32 2 2A D B C? ? ? ? ? ， 于是梯形 ABCD 面积 1 (4 2) 3 9.2S ? ? ? ? ? 在等腰三角形 AOD 中， 2 222OD AD?，所以
