1、第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边三角形的边 学习目标学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 重点重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 一、一、知识链接知识链接 1.如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条 最短？为什么？ 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ （1）三角形的三边关系：_； (2)直
2、角三角形中边的关系：_ . 4.如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？ 自主学习自主学习 教学备注教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 1. 1.问题引入问题引入 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 3 3） 一、一、要点探究要点探究 探究点探究点 1：牧人饮马问题牧人饮马问题 想一想：想一想： 1.现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A， 点 B 的距离的和最短？ 2.如果点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的
3、长度相等？ 要点归纳：要点归纳：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B；（2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C 则点 C 即为所求如图所示. 你能用所学的知识证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗？ 证明：证明： 课堂探究课堂探究 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 2. 2.探究点探究点 1 1 新新 知讲授知讲授 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 5 5- -1515） 实际问题实际问题:如图，牧马人从点 A 地出发，到一条笔直的河 边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？ 数学问题数学问题:如图，点 A、B 在直线
4、l 的同一侧，在直线 l 上 求作一点 C,使 AC+BC 最短. 要点归纳要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问 题，从而做出最短路径的选择. 典例精析典例精析 例例 1：如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的 中点，AD=5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（ ） A7.5 B5 C4 D不能确定 方法总结：方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和 转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. 例例 2：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和 （
5、3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一 条直线上，当ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 方法总结：方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一 固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在 直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置. 探究点探究点 2：造桥选址问题：造桥选址问题 实际问题实际问题：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何 处可使从A 到 B 的路径AMNB最短 （假定河的两岸是平行的直线， 桥要与
6、河垂直） ？ 数学问题数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 想一想：想一想：我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变 换能帮助我们呢？ 画一画：画一画： （1）把 A 平移到岸边. （2）把 B 平移到岸边. 教学备注教学备注 3. 3.探究点探究点 2 2 新新 知讲授知讲授 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 1616- -2424） （3）把桥平移到和 A 相连. （4）把桥平移到和 B 相连. 比一比：比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得 AM
7、+MN+BN 最短？ 要点归纳：要点归纳：如图，平移 A 到 A1，使 AA1等于河宽，连接 A1B 交河岸于 N 作桥 MN，此 时路径 AM+MN+BN 最短. 证明：证明：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1. 针对训练针对训练 1.如图， 直线 l 是一条河， P、 Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站， 向 P、 Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最 短的 是（ ） 2.如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处 前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游 船的最短路径 教学备注教
8、学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 想一想： 如何说明此时 AM+MN+BN最 短 呢？ 3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水 (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必 要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 二、二、课堂小结课堂小结 1.如图，直线 m 同侧有 A、B 两点，A、A关于直线 m 对称，A、B 关于直线 n 对称，直 线 m 与 AB 和 n 分别交于 P、Q，下面的说法正确的是（ ） AP 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A、B 距
9、离相等的点 BQ 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A、B 距离相等的点 CP、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点 DP、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2.如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10若在 OA、OB 上分别有动点 Q、 R，则PQR 周长的最小值是（ ） A10 B15 C20 D30 当堂检测当堂检测 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 4. 4.课堂小结课堂小结 5. 5.当堂检测当堂检测 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 2525- -3232） 最短
10、路 径问题 牧人饮 马问题 造桥选 址问题 轴对称+线段公理 平移 3.如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD,若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米， 则牧童从 A 处把马牵到河边饮水 再回家，所走的最短距离是_ 米. 4.如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐 标分别是 A（3，2），B（1，3）点 P 在 x 轴上，当 PA+PB 的值最小时，在图中 画出点 P 5.如图，荆州古城河在 CC处直角转弯，河宽相同，从 A 处到 B 处，须经两座桥： DD ,EE （桥宽不计
11、），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥 可使 ADD E EB 的路程最短？ 拓展提升拓展提升 6.（1）如图 1，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组 成的三角形的周长最短，找出此点 （2）如图 2，在AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、 F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点 （3）如图 3，在AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F， 使得 E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点 配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘或网站下载： 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 5. 5.课堂小结课堂小结 6. 6.当堂检测当堂检测 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 2424- -2828）
