1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校统一考试试题（ 江苏卷 ） 数学 答案解析 一、填空题 1.【答案】 【解析】 2 2 2T ?2.【答案】 5 【解析】 3 4iz ， 2i1 ， 223 +4 5z 3.【答案】 34yx? 【解析】令： 22016 9xy? ，得 29316 4xyx? ? ? ?4.【答案】 8 【解析】 328 5.【答案】 3 【解析】 n 1， a 2， a 4， n 2； a 10， n 3； a 28， n 4 6.【答案】 2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： 8 9 9 0 9 1 8 8 9 2 905x ? ? ? ?. 方差
2、为： 2 2 2 2 22 8 9 - 9 0 + 9 0 - 9 0 + 9 1 - 9 0 + 8 8 - 9 0 + 9 2 - 9 0= = 25S （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 7.【答案】 2063 【解析】 m取到奇数的有 1， 3， 5， 7共 4种情况； n取到奇数的有 1， 3， 5， 7， 9共 5种情况， 则 nm， 都取到奇数的概率为 4 5 20=7 9 63? . 8.【答案】 1:24 【解析】 三棱锥 -FADE 与三棱锥 1-AABC 的相似比为 1:2，故体积之比为 1:8. 又因 三棱锥 1-AABC 与三棱柱 1 1 1-ABC ABC 的体
3、积之比为 1:3.所以， 三棱锥 -FADE 与三棱柱 1 1 1-ABC ABC 的体积之比为 1:24. 【 ;百万教育资源文库 】 9.【答案】 1-22?，【解析】 抛物线 2yx? 在 1x? 处的切线易得为 2-1yx ，令 2 -1zx? ， 1-22zyx?,画出可行域如下，易得过点 ? ?0, 1? 时， min 2z ? ，过点 (1,02 )时， 12maxz . 10.【答案】 12 【解析】121 2 1 2 1 2()2 3 2 3 6 3D E D B B E A B B C A B B A A C A B A C A B A C? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ?, 所以1 16?，2 23?，121+=2?. 11.【答案】 (-5 )0+(5 )?， ， 【解析】做出 2( ) 4 ( 0)f x x x x? ? ?的图像，如下图所示。由于 ()fx是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 0x? 的图像。不等式 ()f x x? ，表示函数 ()y f x? 的图像在 yx 的上方，观察图像易得： 解集为 (-5 )0+(5 )?， ， . 【 ;百万教育资源文库 】 12.【答案】 33 【解析】如图， l： 2ax c? , 222 abdccc? ? ?，由等面积得：1 bcd a?。若 216dd? ，则 2
5、 6b bcca? ，整理得：226 6 0a ab b? ? ?，两边同除以： 2a ，得： 26 6 0bbaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解之得： 63ba? ，所以，离心率为： 2 313be a? ? ?13.【答案】 1或 10 【解析】本题主要考查两点之间的距离公式和代数变换求最值。 设 1( , )Pxx ， PA的距离为 d为： 2 2 2 2 2 221 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2x a a x a x a x a x ax x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令
6、1txx? ，由基本不等式易知 2t? ， 222 2 2d t at a? ? ? ?，令 22( ) 2 2 2f t t at a? ? ? ?， 2t? ，函数对称轴为 xa? ， 当 2a? 时，函数单调递增，最小值为 2(2) 2 4 2f a a? ? ?， 2m in 2 4 2 2 2d a a? ? ? ?，解得 1a? 或 3a?（舍去）； 当 2a? 时，最小值为 2( ) 2f a a?， 2m in 2 2 2da? ? ?，解得 10a? 或 10a? （舍去） . 综上所述， 1a? 或 10 . 14.【答案】 12 【解析】设 正项等比数列 ?na 首项为
7、1a ，公比为 q，则： 141512(1 ) 3aqa q q? ? ?,得：1 132a， 2q ， 62 nna .记【 ;百万教育资源文库 】 12 5212nnnT a a a ? ? ? ? ?， ( 1)212 2 nnna a a ? ? ? ?, nnT? ，则 ( 1) n 252122nn ? ? ，化简得： 21 11 5222 1 2 nnn ? ，当 21 11 522n n n? ? ?时， 13 121 122n ?.当 n 12时， 12 12T ? ， 当 n 13时， 12 12T ? ，故 12maxn . 二、解答题 15.【答案】（ 1） ()co
8、s co s sin sin? ? ? ? =- ， - ，ab 2 2 2| | ( ) ( ( )2 2 2)c o s c o s s in s in c o s c o s s in s in? ? ? ? ? ? ? ? - + ab ， 所以， 0cos cos sin sin? ? ? ? ， 所以， ?ab. （ 2） co s co s 0sin sin 1? ， 22+ 得： 12()cos ? . 所以， 23? ， 23? ，带入得： 21 s i n ( ) s i n c o s s i n s i n ( ) 13 2 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、, 所以， 32? . 所以， 56? ， 6? . 16.【答案】（ 1）因为 SA AB 且 AF SB? ，所以 F为 SB的中点 . 又 E， G分别为 SA， SC的中点， 所以， EF AB ， EG AC . 又 AB AC A ， AB SBC?面 ， AC ABC?面 ， 所以， EFG ABC平 面 平 面 . （ 2）因为 SAB SBC?平 面 平 面 ， SA B SB C B C平 面 平 面 ， AF ASB?平 面 ， AF SB? . 所以， AF SBC?平 面 . 又 BC SBC?平 面 ， 所以， AF BC? . 又 AB BC? ， AF AB A
10、 ， 所以， BC SAB?平 面 . 又 SA SAB?平 面 ， 所以， BC SA? . 【 ;百万教育资源文库 】 17.【答案】（ 1） 0y? 或 3 34yx? ? （ 2） 120 5a 【解析】（ 1）联立： 124yxyx? ?， 得圆心为 (3,2)C . 设切线为： 3y kx?， 23 3 2 11kdrk? ? ? ， 得： 0k? 或 34k? . 故所求切线为： 0y? 或 3 34yx? ? . （ 2）设点 ( , )Mxy ，由 2MA MO? ，知： 2 2 2 2(y 3 ) 2x x y? ? ? ?，化简得： 22+ 1) 4xy?（ ， 即：点
11、M的轨迹为以 (0)1， 为圆心， 2为半径的圆，可记为圆 D. 又因为点 M 在圆 C 上，故圆 C圆 D的关系为相交或相切， 故： 13CD ，其中 22(2 3)CD a a? ? ?. 解之得： 120 5a . 18.【答案】（ 1） 1040mAB? （ 2） 35(min)37x? （ 3） 1250 625,43 14?【 解析】（ 1）如图作 BD CA? 于点 D， 设 20BD k ，则 25DC k ， 48AD k ， 52AB k ，由 63 1260 mAC k ， 知： 52 1040 mAB k . （ 2）设乙出发 x分钟后到达点 M， 此时甲到达 N点，如
12、图所示 。 【 ;百万教育资源文库 】 则： 130AM x ， ( 2)50AN x ，由余弦定理得： 2 2 2 22 7 4 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0M N A M A N A M A N c o s A x x ， 其中 08x ，当 35(min)37x? 时， MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 。 （ 3）由（ 1）知： 500mBC ，甲到 C用时： 1260 126 (min)50 5? . 若甲等乙 3分钟，则乙到 C用时： 126 1413 (min)55? ，在 BC上用时： 86(min)5 . 此时乙的速度最小，且为： 8 6 1 2 5
13、05 0 0 = m / m in5 4 3? . 若乙等甲 3分钟，则乙到 C用时： 126 1113 (min)53? ，在 BC上用时： 56(min)5 . 此时乙的速度最大，且为： 5 6 6 2 55 0 0 m / m in5 1 4? . 故乙步行的速度应控制在 1250 625,43 14?范围内 。 19.【答案】（ 1）若 0c? ，则 ( 1)na a n d? ? ? , ( 1) 2 2n n n d aS ?, ( 1) 22n n d ab ?. 当 1b , 2b , 4b 成等比数列， 22 1 4b bb? , 即： 2 322dda a a? ? ? ?
14、 ? ? ? ? ? ? ? ?，得： 2 2d ad? ，又 0d? ，故 2da? . 由此： 2nS na? ， 2 2 2()nkS nk a n k a?， 2 2 2kn S n k a? . 故： 2*( , )nk kS n S k n N?. （ 2） 222 2 2( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 22 2 2 2nnn d a n d a n d a n d an n c cnSb n c n c n c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， =2( 1 ) 2( 1 ) 2 22n d acn d anc? ?. ( ) 【 ;百万教
15、育资源文库 】 若 ?nb 是等差数列，则 nb An Bn?型 . 观察 ( )式后一项，分子幂低于分母幂 ， 故有：2( 1) 220n d acnc? ，即 ( 1) 2 02n d ac ? ?，而 ( 1) 2 02n d a? ， 故 0c? 经检验，当 0c? 时 ?nb 是等差数列 。 20.【 答案】（ 1） ea? （ 2） 当 1ea? 或 0a 时， ()fx有 1个零点；当 11 ea?时， ()fx有 2个零点 【解析】（ 1） 1( ) 0f x ax? ? ? ? 在 (1, )? 上恒成立，则 1a x? , (1, )x? ? ， 故： a 1. ( ) e
16、xg x a? ?, 若 1ea?，则 ( ) e 0xg x a? ? ? ?在 (1, )? 上恒成立， 此时， ( ) exg x ax? ?在 (1, )? 上是单调增函数，无最小值，不合； 若 ea? ，则 ( ) exg x ax? ?在 (1,ln)a 上是单调减函数，在 (ln , )a? 上是单调增函数， )ln()(min agxg ? ，满足 。 故 a 的取值范围为： ea? . （ 2） ( ) 0xg x e a? ? ? ?在 (1, )? 上恒成立，则 xae? ，故： 1a e? , 11( ) ( 0 )axf x a xxx? ? ? ? ?. （ i）若
17、 11 ea?，令 ( ) 0fx? ? 得增区间为 1(0, )a ； 令 ( ) 0fx? ? 得减区间为 1( , )a? . 当 0x? 时， ()fx? ； 当 x? 时， ()fx? ； 当 1x a? 时， 1( ) ln 1 0faa ? ? ? ?，当且仅当 1ea? 时取等号 . 故：当 1ea? 时， ()fx有 1个零点；当 11 ea?时， ()fx有 2个零点 . （ ii）若 0a ，则 ( ) lnxfx? ，易得 ()fx有 1个零点 . （ iii）若 0a ，则 1( ) 0f x ax? ? ? ? 在 (0, )? 上恒成立， 即： ( ) lnf x
18、 x ax?在 (0, )? 上是单调增函数， 当 0x? 时， ()fx? ；当 x? 时， ()fx? . 【 ;百万教育资源文库 】 此时， ()fx有 1个零点 . 综上所述：当 1ea? 或 0a 时， ()fx有 1个零点；当 11 ea?时， ()fx有 2个零点 . 数学 答案解析 21 C【答案】 ，【解析】解： 直线 的参数方程为 消去参数 后得直线的普通方程为 同理得曲线 C的普通方程为 联立方程组解得它们公共点的坐标为 ， 21 D【答案】证明： 又 0， 0， , 22【答案】（ 1） （ 2） 【解析】（ 1）以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ， )2,2( )
19、1,21( ?l? ? ? ty tx 2 1 t022 ? yxxy 22?)2,2( )1,21( ? baabba 2233 22 ? ? ? )(22 3223 bbaaba ? ? )(2 2222 babbaa ? ? )2)()()2(22 bababababa ?ba? ba? 0?ba 02 ?ba0)2)()( ? bababa022 2233 ? baabbabaabba 2233 22 ?1010335? ?1, AAACAB xyzA?【 ;百万教育资源文库 】 则 ， , , , , 异面直线 与 所成角的余弦值为 （ 2） 是平面 的的一个法向量 设平面 的法向量为 ， , 由 取 ，得
