1、带电粒子在交变电磁场中的应用 科科 学学 思思 维维 1交变场的特点 空间存在的电场或磁场随时间周期性的变化，一般呈现“矩形波”的特点，交替变化的电场及磁场会使带电粒 子依次经过不同特点的电场、磁场或叠加场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。 2解题策略 (1)变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的运动 过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运 动轨迹的草图，然后化整为零，逐一击破。 (2)粒子运动的周期一般与电场或磁场变化的周期有一定联系，可把两种周期的关系作为解题的突破口。 (3
2、)若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间或粒子穿越电场的时间极短可忽略，则粒子在穿越电场的 过程中，电场可看作匀强电场。 示例 如图甲所示，在xOy竖直平面内存在竖直方向的匀强电场，在第一象限内有一与x轴相切于点(2R，0)、半 径为R的圆形区域，该区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场，电场与磁场随时间的变化如图乙、丙所示，设电 场强度竖直向下为正方向，磁场垂直纸面向里为正方向，电场、磁场同步周期性变化(每个周期内正、反向时间 相同)。一带正电的小球A沿y轴方向下落，t0时刻A落至点(0，3R)，此时，另一带负电的小球B从圆形区域的最 高点(2R，2R)处开始在磁场内紧靠磁场边界做匀速圆
3、周运动。当A球再下落R时，B球旋转半圈到达点(2R，0)；当 A球到达原点O时，B球又旋转半圈回到最高点；然后A球开始做匀速运动。两球的质量均为m，电荷量大小均为q。 (不计空气阻力及两小球之间的作用力，重力加速度为g)求： (1)匀强电场的场强匀强电场的场强 E 的大小；的大小； (2)小球小球 B 做匀速圆周运动的周期做匀速圆周运动的周期 T 及匀强磁场的磁感应强度及匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；的大小； (3)电场、磁场变化第一个周期末电场、磁场变化第一个周期末 A、B 两球间的两球间的距离。距离。 解析解析 (1)小球小球 B 做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，洛伦兹力提做匀速圆
4、周运动，则重力和电场力平衡，洛伦兹力提 供向心力，则有供向心力，则有 Eqmg 解得解得 Emg q 。 (2)设小球设小球 B 的运动周期为的运动周期为 T， 对小球对小球 A：Eqmgma，解得，解得 a2g 由由 Ra(T 2) 2，得 ，得 T 2R g 对小球对小球 B：BqvBmv 2 B R ， vB2R T 2gR 解得解得 Bm q 2g R 。 (3)由题意分析可得：电由题意分析可得：电(磁磁)场变化周期是场变化周期是 B 球做圆周球做圆周运动周期的运动周期的 2 倍倍 对小球对小球 A：在原点的速度为：在原点的速度为 vA3R T aT 2 在原点下的位移为在原点下的位移
5、为 yAvAT，yA5R 2T 末，小球末，小球 A 的坐标为的坐标为(0，5R) 对小球对小球 B：球：球 B 的线速度的线速度 vB 2gR 水平位移为水平位移为 xBvBT2R 竖直位移为竖直位移为 yB1 2aT 2 2R 2T 末，小球末，小球 B 的坐标为的坐标为(22)R，0 则则 2T 末，末，A、B 两球的距离为两球的距离为 AB 25（22）2R。 答案答案 (1)mg q (2) 2R g m q 2g R (3) 25（22）2R 规律总结规律总结 带电粒子在交变场中运动的解题思路带电粒子在交变场中运动的解题思路 读图读图看明白场的变化情况看明白场的变化情况 受力分析受
6、力分析分析粒子在各变化场区的受力情况分析粒子在各变化场区的受力情况 过程分析过程分析分析粒子在分析粒子在不同时间内的运动情况不同时间内的运动情况 找衔接点找衔接点找出衔接相邻过程的物理量找出衔接相邻过程的物理量 选规律选规律不同阶段列方程联立求解不同阶段列方程联立求解 应用提升练 1(多选)如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右，在图甲中由B到C， 电场强度大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t 1 s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2 s 有一个相同的粒子沿AB
7、 方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若ABBCL，且粒子由A运动到C的时间小于1 s。不计重力和空 气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程，以下说法正确的是( ) A电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为2v01 B第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为21 C第一个粒子和第二个粒子通过C点的动能之比为14 D第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为2 解析解析：在：在 t1 s 时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如 图图 a 所示，粒子的轨道半所示，粒子的轨道半径径 RL，由牛顿第二定律得，由牛顿第二定律得 qv0B0
8、mv 2 0 R ，则，则 B0mv0 qL ，t3 s 时，空间区域存在匀强电场，带电粒子在匀强电场中做时，空间区域存在匀强电场，带电粒子在匀强电场中做 类平抛运动，如图类平抛运动，如图 b 所示，竖直方向所示，竖直方向 Lv0t，水平方向，水平方向 L1 2at 2 1 2 qE0 m t2， 则则 E02mv 2 0 qL ，得，得 E0 B0 2v0，故选项，故选项 A 正确；第一个粒子和第二个粒子运正确；第一个粒子和第二个粒子运 动的加速度大小之比动的加速度大小之比a1 a2 qv0B0 m qE0 m v0B0 E0 1 2， 故选项 ， 故选项 B 错误； 对第二个粒子错误； 对
9、第二个粒子 分析，由动能定理得分析，由动能定理得 qE0LEk21 2mv 2 0， ，Ek25 2mv 2 0，第一个粒子的动能 ，第一个粒子的动能 Ek11 2mv 2 0，第一个粒子和第二个粒 ，第一个粒子和第二个粒子通过子通过 C 点的动能之比为点的动能之比为 15，故，故 选项选项 C 错误；第一个粒子的运动时间错误；第一个粒子的运动时间 t11 4T 1 4 2m qB0 L 2v0，第二个粒 ，第二个粒 子的运动时间子的运动时间 t2 L v0，第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比 ，第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比 t1t2 2，故选项，故选项 D 正确正确 答案：AD 2
10、如图甲所示，偏转电场的两个平行极板水平放置，板长如图甲所示，偏转电场的两个平行极板水平放置，板长 L0.08 m， 板间距足够大，板间距足够大，两板的右侧有水平宽度两板的右侧有水平宽度 l0.06 m、竖直宽度足够大的有、竖直宽度足够大的有 界匀强磁场。一个比荷为界匀强磁场。一个比荷为 q m 5107 C/kg 的带负电粒子以速度的带负电粒子以速度 v0 8105 m/s 从两板中间沿与板平行的方向射入偏转电场， 若从该粒子进从两板中间沿与板平行的方向射入偏转电场， 若从该粒子进 入偏转电场时开始计时，板间场强恰好按图乙所示的规律变化，粒子离入偏转电场时开始计时，板间场强恰好按图乙所示的规律
11、变化，粒子离 开偏转电场后进入匀强磁场并最终垂直磁场右边界射开偏转电场后进入匀强磁场并最终垂直磁场右边界射出。 不计粒子重力，出。 不计粒子重力， 求：求： (1)粒子在磁场中运动的速率粒子在磁场中运动的速率 v； (2)粒子在磁场中运动的轨粒子在磁场中运动的轨道半径道半径 R 和磁场的磁感应强度和磁场的磁感应强度 B。 解析：解析：(1)根据题意，电子在偏转电场中的运动时间根据题意，电子在偏转电场中的运动时间 t L v0 1010 8 s 对比乙图可知，电子在极板间运动的时间是偏转电场的一个周期。对比乙图可知，电子在极板间运动的时间是偏转电场的一个周期。 在第一个在第一个 t0510 8
12、s 时间内，电子在垂直于极板方向上做初速度为 时间内，电子在垂直于极板方向上做初速度为 0 的匀加速直线运动，有的匀加速直线运动，有 qEma v1at0 在第二个在第二个 t0510 8 s 时间内，电子做匀速直线运动，带电粒子进入磁 时间内，电子做匀速直线运动，带电粒子进入磁 场时的速度为场时的速度为 v v2 0 v2 1 联解联解得得 v1106 m/s (2)作出电子在磁场中的轨迹如图所示。作出电子在磁场中的轨迹如图所示。 设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，由几何关系有，由几何关系有 l R v1 v 粒子粒子在磁场中做匀速圆周运动
13、，由牛顿第二定律有在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 qvBmv 2 R 联解联解得得 R0.1 m，B0.2 T。 答案：答案：(1)1106 m/s (2)0.1 m 0.2 T 3在在如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 为为 B2m q 。在竖直方向存在交替变化的匀强电场，如图乙所示。在竖直方向存在交替变化的匀强电场，如图乙所示(竖直向竖直向 上为正上为正)，电场强度大小为，电场强度大小为 E0mg q 。一倾角。一倾角为为、长度足够长的光滑绝、长度足够长的光滑绝 缘斜面放置在此空间。斜面上有一质量为
14、缘斜面放置在此空间。斜面上有一质量为 m、带电荷量为、带电荷量为q 的小球，的小球， 从从 t0 时刻由静止开始沿斜面下滑，设第时刻由静止开始沿斜面下滑，设第 5 s 内小球不会离开斜面，重内小球不会离开斜面，重 力加速度为力加速度为 g。求：。求： (1)第第 6 s 内小球离开斜面的内小球离开斜面的最大距离；最大距离； (2)若第若第 19 s 内小球未离开斜面，内小球未离开斜面， 角的正切值应满足什么条件？角的正切值应满足什么条件？ 解析：解析：(1)设第设第 1 s 内小球在斜面上运动的加速度大小为内小球在斜面上运动的加速度大小为 a，由牛顿第二定，由牛顿第二定 律得律得(mgqE0)
15、sin ma 第第 1 s 末的速度为末的速度为 v1at1，在第，在第 2 s 内内 qE0mg，所以小球将离开斜面在，所以小球将离开斜面在 上方做匀速圆周运动，则由向心力公式得上方做匀速圆周运动，则由向心力公式得 Rmv qB v 2，圆周运动的周期 ，圆周运动的周期 为为 T2m qB 1 s 由题意可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜由题意可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜 面做完整的圆周运动，如图所示。面做完整的圆周运动，如图所示。 所以，第所以，第 5 s 末的速度为末的速度为 v5a(t1t3t5)6gsin 第第 6 s 内小球离开斜面
16、的最大距离为内小球离开斜面的最大距离为 d2R3 由以上各式解得由以上各式解得 d6gsin 。 (2)第第 19 s 末的速度末的速度 v19a(t1t3t5t7t19)20gsin 小球未离开斜面的条件是小球未离开斜面的条件是 qv19B(mgqE0)cos 解得解得 tan 1 20。 。 答案：答案：(1)6gsin (2)tan 1 20 4如图甲所示，水平直线如图甲所示，水平直线 MN 下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力 不计、 比荷为不计、 比荷为 q m 106 C/kg 的正电荷从电场中的的正电荷从电场中的 O 点由静止释放， 经过点由静
17、止释放， 经过 15 10 5 s 后，电荷以 后，电荷以 v01.5104 m/s 的速度通过的速度通过 MN 进入其上方的匀进入其上方的匀 强磁场， 磁场与纸面垂直， 磁感应强度强磁场， 磁场与纸面垂直， 磁感应强度 B 按图乙所示规律做周期性变化。按图乙所示规律做周期性变化。 图乙中磁场以垂直纸面向外为正， 以电荷第一次通过图乙中磁场以垂直纸面向外为正， 以电荷第一次通过 MN 时为时为 t0 时刻。时刻。 求：求： (1)匀强电场的电场强度匀强电场的电场强度 E； (2)t4 5 10 5 s 时刻电荷与 时刻电荷与 O 点的水平距离；点的水平距离； (3)如果在如果在 O 点右方点右
18、方 d68 cm 处有一垂直于处有一垂直于 MN 的足够大的挡板，求电的足够大的挡板，求电 荷从荷从 O 点出发运动到挡板所需的时间。点出发运动到挡板所需的时间。(sin 37 0.6，cos 37 0.8) 解析：解析：(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为动的时间为 t1，有有 v0at1，Eqma 解得解得 Emv0 qt1 7.2103 V/m。 (2)当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径 r1mv0 qB1 5 cm 周期周期 T12m qB1 2 3 10 5 s 当磁场垂直纸面向
19、里时，电荷运动的半径当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径 r2mv0 qB2 3 cm 周期周期 T22m qB2 2 5 10 5 s 电荷从磁场返回电场到再次进入磁场所用时间为电荷从磁场返回电场到再次进入磁场所用时间为 2t12 15 10 5 s 故从故从 t0 时刻电荷做周期性运动，其运动轨迹如图所示，时刻电荷做周期性运动，其运动轨迹如图所示， t4 5 10 5 s 时刻电荷与 时刻电荷与 O 点的水平距离点的水平距离 d2(r1r2)4 cm。 (3)电荷从第一次通过电荷从第一次通过 MN 开始，其运动的开始，其运动的周期为周期为 T4 5 10 5 s，根据电 ，根据电 荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为 15 个，电荷沿个，电荷沿 MN 运动的距离运动的距离 s15d60 cm，故最后，故最后 8 cm 的运动轨迹如图所示，的运动轨迹如图所示， 有有 r1r1cos 8 cm，解得，解得 cos 0.6，则，则 53 ， 故电荷运动的总时间故电荷运动的总时间 t 总总t115T127 360T1 3.8610 4 s。 。 答案：答案：(1)7.2103 V/m (2)4 cm (3)3.8610 4 s
