1、河北省河北省“五个一名校联盟五个一名校联盟”2021 届高三第二次诊断考试届高三第二次诊断考试 数学数学 命题单位：保定市第一中学命题单位：保定市第一中学 试卷满分：试卷满分：150 分分 考试时长：考试时长：120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非
2、选择题时，将答案写在答题卡上。需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将答题卡交回。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1 已知全集UR， 集合 2 160Ax xBx xx， 则如图所示阴影区域表示的集合为 （ ） A21xx B31xx C 21xx D 31xx 2已知正实数 a，b 满足 2 72
3、4abii （），则复数abi为（ ） A43i B43i C34i D34i 3在三棱锥SABC中，M，N 分别是SBAC，的中点，若42SABCMNBC，则MN与SA 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 4若tan17 4 ，则sin2的值为（ ） A 4 9 B 4 9 C 8 9 D 8 9 5直线ykx与圆 22 111xy（）（）交于 M、N 两点，O 为坐标原点，则OM ON（ ） A 2 1 1k B 2 2 1 k k C1 D2 6甲、乙、丙、丁四人过桥，一次最多能过两个人，四人只有一把手电（在桥上行走时需携带且打亮）， 手电照明时间仅能维持二十分钟，每个人单
4、独过桥所需的时间分别为 1 分钟、2 分钟、5 分钟、10 分钟，则 四人全部过桥的最短时间为（若两人同时过桥，必须相伴同行）（ ） A16 分钟 B17 分钟 C18 分钟 D19 分钟 7过抛物线 2 20ypx p（）的焦点 F 作倾斜角为 3 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 A 在第一象限，则 AF FB （ ） A2 B3 C4 D 3 8已知 2121 11 xx f xxaxeae （） （ ）（）（）恰有三个不同零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A1 e（， ） B 1 1 , 2 2 C 0,1 D 1 1, 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题
5、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9已知函数 22 sin2 3sin coscosf xxxxxxR（ ），则下列说法正确的是（ ） A f x在区间0,上有 2 个零点 B,0 12 为 f x的一个对称中心 C 22 33 fxfx D要得到 2cos 4 g xx 的图像，可以将yf x （ ）图像上所有的点向左平移 11 12 个单位长度，再 将横坐标缩短到原来的 1 2 10
6、已知数列 n a满足 15 102aa，且 21 20 nnn aaanN （），则下列结论正确的是（ ） A122 n an B 123 2 30,5 5,5 n n aaaa nn C n a的最小值为 0 D当且仅当5n时， 123n aaaa取最大值 30 11已知函数f x（ ）的定义域为 R，满足2626f xf xf xfx（） （），（） （），当02x时， 2 2f xxx，则下列说法正确的是（ ） A20211ff（） （） B函数2f x（）是偶函数 C当06x时，f x（ ）的最大值为 6 D当68x时，f x（ ）的最小值为 1 4 12已知椭圆 22 :1 169
7、xy C上有一点 P， 12 FF、分别为左、右焦点， 1212 FPFPFF ，的面积为 S， 则下列选项正确的是（ ） A若60，则3 3S B若9S ，则90 C若 12 PFF为钝角三角形，则 9 7 0, 4 S D椭圆 C 内接矩形的周长范围是12 20， 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13五位同学站成一排，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能相邻，且女生甲不能排第一个，那么 所有的排列总数为_（用数字作答） 14某大学 2013 年在校本科生 4500 人，研究生 500 人，预计在今后若干年内
8、，该学校本科生每年比上一 年增长12.5%，研究生每年比上一年增长50%，则从_年开始该校研究生的人数占该校本科生和研 究生总人数比例首次达到50%以上（参考数据：lg20.30101 30.4771g，） 15点 M 在ABC内部，满足2340MAMBMC，则: MACMAB SS_ 16 设双曲线 22 1xy的左右顶点分别为 12 AA、， 与 2 A不重合的点 P 在其右支上， 则直线 2 PA与直线 1 PA 的斜率之积为_若 1212 3APAPA A ，则 12 PA A的大小为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程
9、或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 在sin sin sin abABbcC； 2cos cos cos 0A cA aCb （）； ABC 的面积 222 3 4 Sabc（）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题。 已知ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，_，D 是边BC上的一点，且 21 24 sin 14 ADACC，求线段BD的长 18（12 分）数列 n a的前 n 项和为 n S，且 2 5 2 n nn S ，等比数列 n b满足 2236 baba， （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （
10、2）若 2 log nn cb，求数列 1 nn a c 的前 n 项和。 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是等腰梯形，/ /2ABDC BCCDAD,， 4AB ，M，N 分别是ABAD，的中点且PDNC，平面PAD 平面ABCD （1）证明：PD 平面ABCD； （2）已知三棱锥DPAB的体积为 2 3 ，求二面角CPNM的余弦值 20（12 分）已知椭圆 22 22 10 xy Eab ab :（）的离心率为 2 2 ，一顶点坐标为 0, 2 2A （1）求椭圆的标准方程； （2）已知 M、N 为椭圆上异于 A 的两点，且AMAN，判断直线MN是否过定点
11、？若过定点，求出此 点坐标 21（12 分）某中学有高一和高二两个乒乓球队，每队各 9 人两队在过去的九场单打对抗赛中，比赛结 果统计数据如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 比赛结果 高二胜 高二胜 高一胜 高二胜 高一胜 高二胜 高二胜 高一胜 高二胜 两队队员商量下一次单打对抗赛的比赛形式，提供了三种方案： （1）双方各出 3 人，比三局； （2）双方各出 5 人，比五局； （3）双方各出 7 人，比七局 （以上表中的高二队战胜高一队的频率作为高二队战胜高一队的概率）三种方案均以比赛中获胜局数多的 一方获胜问：对高一年级来说，哪种方案获胜率更高？你能得出什么结论？ 22（12
12、 分）已知函数 1 ln1 x f xxeaxaR （ ）（）， （1）若函数f x（ ）在区间1,+上单调递增，求实数 a 的取值范围 （2）当2a时，求证： 2 2f xxx（ ） 河北省河北省“五个一名校联盟五个一名校联盟”2021 届高三第二次诊断考试届高三第二次诊断考试 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1D 2C 3A 4D 5C 6B 7B 8D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共
13、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9AB 10AC 11ABC 12ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 1360 142021 153：4 161， 10 （或18） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说
14、明、证明过程或演算步骤。 17解：若选，ababbc c， 222 bcabc -， 2 分 1 cos,0, 2 AA ， 2 3 A 4 分 若选，2cos sin cos sin cos sin 02cos sin sin 0ACAACBABB（）， 又sin 0B， 1 cos 2 A 2 分 因为0,A，所以 2 3 A 4 分 若选，ABC的面积 222 3 4 Sabc，结合余弦定理可得号 13 sincos 22 bcbcA ， 可得sin 3cos AA ，可得tan 3A 2 分 因为0,A，所以 2 3 A 4 分 因为 21 sin 14 C ，所以 5 7 cos 1
15、4 C ，在ABC中， 21 sin sinsin cos cos sin 7 BACACAC（）， 5 分 在ADC中，由正弦定理的 sinsin ADAC CADC ， sin21 sin 7 ACC ADC AD ， 21 sin 7 ADB, 7 分 sinsin ADBB，2ABAD， 8 分 在ADB中， 222 cos 2 ABBDAD B AB BD ， 222 2 722 72 2 BD BD , 8 7 7 BD 10 分 18解：（1）1n 时， 11 3aS，2n时， 1 2 nnn aSSn ， 又 1 a适合上式，2 n an， 3 分 2236 48baba，设
16、n b的公比为 q， 3 2 2 b q b ， 2 2 2 nn n bb d 6 分 （2） 2 111 11 log, 222 nn nn cbn a cn nnn ； 8 分 设数列 1 nn a c 的前 n 项和为 n T； 11111111 1 2324112 n T nnnn 9 分 1111 1 2212nn 323 4212 n nn . 12 分 19解：（1）连接DM，显然/DCBM且DCBM， 四边形BCDM为平行四边形， /DMBC且DMBC，AMD是正三角形，MNAD， 2 分 平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，MN 平面PAD， PD 平面
17、PAD，PDMN，又PDNC，且MNNCN， PD 平面ABCD 4 分 （2）连接BD，易知/BDMN，BDADBDPD， 在Rt DAB中， 222 DADBAB，24ADAB， 1 2 3,2 3 2 DAB DBSDA DB 112 2 3 333 D PABP DABDAB VVPD SPD ， 3 3 PD 6 分 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则 3 0,0,0 ,1,0,0 ,1, 3,0 ,1, 3,0 ,0,0, 3 DNCMP ， 3 1,0,2, 3,0 ,0, 3,0 3 PNNCNM ， 设平面PNC的一个法向量 1111 nxyz （ ， ， ）， 1 1 0
18、 0 PN n NC n , 11 11 3 0 3 230 xz xy , 11 11 3 2 3 3 zx yx , 1 2 3 1, 3 3 n ; 8 分 设平面PNM的一个法向量 2222 nxyx （ ， ， ）， 2 2 0 0 PN n NM n , 22 2 3 0 3 30 xz y , 22 2 3 0 zx y , 2 1,0, 3n ; 10 分 1212 4 3 1 34,2 3 n nnn ， 设二面角CPNM所成的角为， 12 12 3 cos 2 n n n n 12 分 20解：（1）椭圆离心率为 2 2 ， 2 2 2 1 2 b a ， 1 分 02 2
19、A（ ，）， 22 816ba， 3 分 椭圆方程为 22 1 168 xy 4 分 （2）直线MN斜率不存在时，不合题意， 设直线MN方程为 1122 ykxmM xyN xy ， （ ， ），（ ， ） 联立 22 216 ykxm xy 得 222 1242160kxkmxnm（）， 2 2222 44 1 221612864 80kmkmkm， 2 1212 22 4216 , 1 21 2 kmm xxx x kk 6 分 1122 ,2 2,2 2AM ANx yxy 1212 2 22 2x xkxmkxm 2 2 1212 12 22 2kx xk mxxm 2 2 34 28
20、 0 12 mm k ， 9 分 解得2 2m或 2 2 3 m , 10 分 若直线方程为2 2ykx，则直线过定点 0,2 2，与 A 重合，不合题意； 若直线方程为 2 2 3 ykx，则直线过定点 2 2 0, 3 综上，直线过定点 2 2 0, 3 12 分 21解：由题意知，高二每位队员战胜高一每位队员的概率为 2 3 ，即每场比赛高一队获胜的概率为 1 3 分 方案一高一年级获胜的概率： 2 1 2 11217 0.259 333327 P AC ； 4 分 方案二高一年级获胜的概率： 3222 22 34 121121117 0.210 333333381 P BCC ； 7
21、分 方案三高一年级获胜的概率： 432333 333 456 1211211211379 0.173 33333333332187 P CCCC 10 分 P AP BP C 所以对高一年级来说，方案一更有利 结论：因为高一年级每位队员获胜的概率为 1 3 ，概率低于高二年级，所以比赛次数越少，高一年级侥幸获 胜的概率越大。 当双方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方越有利 12 分 22解：（1） 1 1 x a fxxe x （ ），因为 f x在1 （，）单调递增， 0fx（ ）在1 （，）上恒成立，即 1 1 x ax xe ， 2 分 令 121 1 xx h xx xexx
22、e ， 21 310 x h xxxe ，所以 h x在1 （，）单调递增， 所以 12h xh，即2a 5 分 （2）要证 12 2 ln12 x xexxx （）， 即证明 1 2 2 ln1 1 x xx e xx 7 分 令 1 1 x e F x x ，由 11 2 0 xx exe Fx x 得 1,xF x在1（）上单调递增， 在01（ ， ）上单调递减， 8 分 所以 F x在（0,）的最小值10F（）， 9 分 令ln 1G xxx（ ）（），由 1 10G x x （ ），得01x， 10 分 所以G x（ ）在01（ ， ）上单调递增，在1 （，）单调递减，最大值为10G（）， 所以红 2 2 ln1 0 xx x ， 11 分 1 2 2 ln1 10 x xx e xx ，原不等式成立 12 分
