1、孝感一中高三下学期第一次周测数学试卷孝感一中高三下学期第一次周测数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合 = | = ln( 1)， = |2 2 0，则 = ( ) A. (0,+) B. (2,+) C. (0,1) D. (1,2) 2. 复数 z在复平面内对应点的点是(1,1)，则复数 1(是虚数单位)的虚部为( ) A. 2 5 B. 2 5 C. 1 5 D. 1 5 3. 设 R ，则“ = 6，是“ = 1 2”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 = log25， =
2、(1 2) 2 1 3， = log36，则( ) A. B. C. D. 5. 公差不为 0 的等差数列中，它的前 31项的平均值是 12，现从中抽走 1 项，余 下的 30项的平均值仍然是 12，则抽走的项是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子， 杯子口径6cm， 高8( 不含杯脚)，已知水的高度是 4cm，现往杯子中放入一种直 径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体 积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠 ( ) A. 98 颗 B. 106 颗 C. 120颗 D. 126颗 7. 已知函数() =
3、2 , 0 1 2(| + 1) , 0 ，( )在 R上没有零点，则实数 a的 取值范围是( ) A. (1,+) 0 B. (0,+) C. (,0 D. (,1 第 2 页，共 4 页 8. 已知 F 是椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)的一个焦点，若直线 = 与椭圆相交于 A， B 两点，且 = 120，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. 3 2 ,1) B. (0, 3 2 C. 1 2,1) D. (0, 1 2 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9. 如图所示，在正方体 1111中，M，N 分别为 棱11，1的中点，其中正确的结论为( ) A. 直
4、线 AM 与1是相交直线 B. 直线 AM与 BN 是平行直线 C. 直线 BN 与1是异面直线 D. 直线 MN与 AC所成的角为60 10. 已知是公比 q的正项等比数列的前 n 项和，若1+ 2= 3，24= 16，则 下列说法正确的是( ) A. = 2 B. 数列+ 1是等比数列 C. 8= 255 D. 数列是公差为 2的等差数列 11. 已知函数() = (| )( + )， ，则( ) A. ()在(0, 3)上单调递减 B. ()是周期为2的函数 C. ()有对称轴 D. 函数()在(0,2)上有 3 个零点 12. 已知函数() = + ，其中正确结论的是( ) A. 当
5、= 1时，()有最大值 B. 对于任意的 0，函数()是(0,+)上的增函数 C. 对于任意的 0，都有() 0 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 平面向量 , 的夹角为60，若 = 2， = 1，则 2 =_ 14. 已知直线 = + 与圆2+ 2= 4相交于 A、 B两点， O 为坐标原点， 3 19.在 中， a， b， c分别为角 A， B， C 所对的边， 且满足22 + 2 + 2 = 1， (1)求角 A的大小； (2)若 = 7， = 3，的平分线交边 BC于点 T，求 AT 的长 第 4 页，共 4 页 20.如图，在四棱锥 中，四边形 ABCD为
6、菱形， = 60， 为 正三角形，平面 平面 ABCD，且 E，F 分别 为 AD，PC的中点 ()求证：/平面 PEB； ()求直线 EF 与平面 PDC所成角的正弦值 21.如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线， = 4， ， 是以 A 为圆心，半径 为 1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从 C通往海岸的观光 专线 ，其中 P为上异于 B，C的一点，PQ 与 AB 平行，设 = (0 4 ) (1)证明：观光专线 的总长度随的增大而减小； (2)已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当取何值时， 观 光专线 的修建总成本最低？请说明理由
7、 22.已知曲线() = ( 3)+ (2 )(其中 e为自然对数的底数)在 = 1处的切 线方程为 = (1 ) + (1)求 a，b值； (2)证明：()存在唯一的极大值点0，且2 6 5 (0) 0，则 = ( ) A. (0,+) B. (2,+) C. (0,1) D. (1,2) 【答案】D 【解析】解： = | 1， = |0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 解： 2 = log24 log25 log28 = 3， (1 2) 21 3= 223= 3， log36 故选：D 根据对数函数的单调性和对数的运算性质可得出：2 25 3,(1 2) 21 3= 3，log3
8、6 0 ，( )在 R上没有零点，则实数 a的 取值范围是( ) A. (1,+) 0 B. (0,+) C. (,0 D. (,1 【答案】A 【解析】解：设() = 2 , 0 1 2( + 1), 0 ，图象如图， 第 4 页，共 15 页 函数() = 2 , 0 1 2(| + 1) , 0 ，( )在 R上没有零点， 转化为()图象与函数 = 图象没有交点， 数形结合可得 1或 = 0， 实数 a 的取值范围是(1,+) 0 故选：A 作出函数() = 2 , 0 1 2( + 1), 0 的图象， 问题转化为()图象与函数 = 图象没有 交点，数形结合可得 a的取值范围 本题考查
9、分段函数的应用，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题 8. 已知 F 是椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)的一个焦点，若直线 = 与椭圆相交于 A， B 两点，且 = 120，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. 3 2 ,1) B. (0, 3 2 C. 1 2,1) D. (0, 1 2 【答案】C 【解析】解：连接 A，B 与左右焦点 F， 的连线，由 = 120， 由椭圆及直线的对称性可得四边形 为平行四边形， = 60， 在三角形中，|2= |2+ |2 2| |cos = (| + |)2 3| |， 所以(| + |)2 |2= 3| | 3(|+| 2 )2，
10、即1 4(| + |) 2 |2，当且仅当| = |时取等号， 即1 4 42 42，可得 = 1 2，所以椭圆的离心率 1 2,1), 故选：C 连接 A， B 与左右焦点 F， 的连线，由 = 120，在三角形中利用余弦定理， 结合基本不等式，转化求解离心率的范围即可 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9. 如图所示，在正方体 1111中，M，N 分别为 棱11，1的中点，其中正确的结论为( ) 第 5 页，共 15 页 A. 直线 AM 与1是相交直线 B. 直线 AM与 BN 是平行直线 C. 直
11、线 BN 与1是异面直线 D. 直线 MN与 AC所成的角为60 【答案】CD 【解析】解：在正方体 1111中，M，N 分别 为棱11，1的中点， 在 A 中，直线 AM 与1是异面直线，故 A 错误； 在 B 中，直线 AM 与 BN 是异面直线，故 B错误； 在 C 中，直线 BN与1是异面直线，故 C 正确； 在 D 中，以 D 为原点，DA为 x轴，DC为 y轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 1111中棱长为 2， 则(0,1，2)，(0,2，1)，(2,0，0)，(0,2，0)， = (0,1，1)，= (2,2，0)， 则cos = | | = 2 28 = 1
12、2， 直线 MN与 AC所成的角为60，故 D正确 故选：CD 在 A 中，直线 AM 与1是异面直线；在 B 中，直线 AM 与 BN 是异面直线；在 C中， 直线 BN 与1是异面直线；在 D 中，以 D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 MN与 AC所成的角为60 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 10. 已知是公比 q的正项等比数列的前 n 项和，若1+ 2= 3，24= 16，则 下列说法正确的是( ) A. = 2 B. 数列+ 1是等比数列 C. 8= 2
13、55 D. 数列是公差为 2的等差数列 【答案】ABC 【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为 q，( 0) 对于 A， 若1+ 2= 3， 24= 16， 则3= 4， 12= 4， 解得1= 1， = 2， A正确； 对于 B，由1= 1， = 2，则= 12 12 = 2 1，则有+ 1 = 2，故数列+ 1是 第 6 页，共 15 页 公比为 2的等比数列，B正确， 对于 C，由 C 的结论= 2 1，则8= 28 1 = 255，C正确， 对于 D，由1= 1， = 2，则= 21，故= ( 1)2，数列是公差为 lg2 的等差数列，错误， 故选：ABC 根据题意，由等比数列的性质
14、依次分析选项，综合即可得答案 本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质以及通项公式，属于基础题 11. 已知函数() = (| )( + )， ，则( ) A. ()在(0, 3)上单调递减 B. ()是周期为2的函数 C. ()有对称轴 D. 函数()在(0,2)上有 3 个零点 【答案】BD 【解析】解：函数() = (| )( + )， ， 可得() = 2,2 + 2 1 2, + 2 0，函数()是(0,+)上的增函数 C. 对于任意的 0，都有() 0 第 7 页，共 15 页 【答案】BC 【解析】解：当 = 1时，() = + ，易知函数()在(0,+)上单调递增，无最 大值
15、，故 A错误， 对于任意的 0，函数()是(0,+)上的增函数， 当 0时， 1， ，故() ，故 B正确，D 错误， 对于任意的 0，() = + ，易知()在(0,+)单调递增， 当 +时，() +，当 0时，() ， 存在(0) = 0， 当0 0时，() 0，函数单调递减， 0 0，函数单调递增， ()= (0)， 故 C 正确， 故选：BC 求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 平面向量 , 的夹角为60，若 = 2， = 1，则 2 =_ 【答案】2 【解
16、析】 【分析】 本题考查向量的数量积运算及向量的模根据条件即可求出( 2 )2的值，进而得出 | 2 |的值 【解答】 解： , 的夹角为60，| | = 2,| = 1， ( 2 )2= 2 4 + 42 ， | 2 | = 2 故答案为 2 14. 已知直线 = + 与圆2+ 2= 4相交于 A、 B两点， O 为坐标原点， 0 且 的面积为3，则实数 = _ 【答案】2 第 8 页，共 15 页 【解析】解： = 1 2 2 2 sin = 3， sin = 3 2 ， 3 第 11 页，共 15 页 【答案】 (1)解： 1= 1= + 1 + ， 2= 2 1= 4 + 2 + (
17、+ 1 + ) = 3 + 1， 3= 3 2= 5 + 1， 3= 6 = 5 + 1， 解得 = 1 由22= 1+ 3得2 4 = 2 + + 6，解得 = 0. = 1， = 0 (2)证明：等差数列的公差 = 2 1= 4 2 = 2， = 2 + 2( 1) = 2 = 22， 2 = 22，解得= 2 (1)(+ ) = (1) 2 + (2) 数列(1)(+ )的前 2n项和2= 2(1 + 2) + (3+ 4) + + (2 + 1 + 2) + 2 + (2)2+ + (2)2 = 2 + 21(2)2 1(2) = 2 + 22+12 3 ， 2关于 n 递增， 2 2
18、= 2 + 2 = 4 3 【解析】(1)求出数列的前 3项，利用已知条件推出 p，然后求解 q即可 (2)求出= 2.解得= 2.然后求解数列(1)(+ )的前 2n 项和2， 利用数列 的单调性判断推出结果即可 本题考查数列的递推关系式的应用， 等差数列以及等比数列的应用， 数列的性质的应用， 是中档题 19. 在 中，a，b，c 分别为角 A，B，C所对的边，且满足22 + 2 + 2 = 1， (1)求角 A的大小； (2)若 = 7， = 3，的平分线交边 BC于点 T，求 AT 的长 【答案】解：(1)22 + 2 + 2 = 1，即为2 cos( + ) = 0， 可得22 +
19、1 = 0，解得 = 1 2或 = 1(舍去)， 由0 ，可得 = 3； (2) = 3，即为 2 3 = 3，可得 = 6， 由2= 2+ 2 2 = ( + )2 2 = 7， 可得 + = 7 + 3 6 = 5， 由= + 得，1 260 = 1 2 30 + 1 2 30， = 60 (+)30 = 6 3 2 51 2 = 63 5 第 12 页，共 15 页 【解析】(1)利用已知条件，结合二倍角公式，转化求解 A 即可； (2)利用向量的数量积求解bc的值， 结合余弦定理以及三角形的面积公式转化求解即可 本题考查平面向量的数量积的应用，余弦定理的应用，二倍角公式的应用，是基础题
20、 20. 如图，在四棱锥 中，四边形 ABCD为菱 形， = 60， 为 正三角形，平面 平面 ABCD，且 E，F 分别 为 AD，PC的中点 ()求证：/平面 PEB； ()求直线 EF 与平面 PDC所成角的正弦值 【答案】()证明：取 PB中点 G，因为 F是 PC中点， /，且 = 1 2 是 AD的中点，则/，且 = 1 2 /，且 = 四边形 DEGF 是平行四边形， / 又 平面 PEB， 平面 PEB /平面 PEB ()解：因为 E 是正三角形 PAD边为 AD的中点，则 因为平面 平面 ABCD，平面 平面 = ， 平面 PAD， 平面 ABCD， 四边形 ABCD为菱形
21、， = 60， 正三角形 BAD中， ， 以 E 为原点，EA，EB，EP 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 不妨设菱形 ABCD的边长为 2，则 = = 1， = 2， = 3， = 2 2= 3， 则点(0,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,0,3),(1, 3 2 , 3 2 )， = (1,3,0)，= (1,0， 3)， 第 13 页，共 15 页 设平面 PDC的法向量为 = (,y，)， 则 = 0 = 0， 即 + 3 = 0 + 3 = 0， 解得 = 3 = 3， 不妨令 = 1， 得 = (3,1,1)； 又 = (1, 3 2 , 3 2 )， 设
22、 EF与平面 PDC所成角为， = |cos | = 3 5 5 2 = 6 5 所以 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值为 6 5 【解析】 ()取 PB中点 G， 推出/， 证明四边形 DEGF是平行四边形， 得到/， 然后证明/平面 PEB ()以 E为原点，EA，EB，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PDC 的法向量，求出 ，利用空间向量的数量积求解 EF与平面 PDC所成角的正弦值 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象 能力以及计算能力，是中档题 21. 如图，点 C为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海 岸
23、线， = 4， ， 是以 A为圆心， 半径为 1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线 ， 其中 P为上异于 B， C的一点， PQ与 AB平行， 设 = (0 4 ) (1)证明：观光专线 的总长度随的增大而减小； (2)已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当取何值时， 观 光专线 的修建总成本最低？请说明理由 【答案】(1)证明：由题意， = 4 ，所以 = 4 ， 又 = = 1 ， 所以观光专线的总长度() = 4 + 1 = + 4 + 1,0 4， 因为当0 4时，() = 1 + 0)， 则总成本() = ( 4 + 2 2) =
24、 ( 2 + 4 + 2)，0 4， 第 14 页，共 15 页 () = (1+ 2)， 令() = 0，得 = 1 2，因为0 4，所以 = 6， 当0 6时， () 0， ()单调递减； 当 6 0， ()单调递增， 所以，当 = 6时，()取得最小值， 故当 = 6时，观光专线 的修建总成本最低 【解析】 (1)由题意可知 = 4 ， 又 = 1 ， 表达出观光专线的总长度()关 于的函数，再利用导数得到()在(0, 4)上单调递减，从而证得观光专线 的总 长度随的增大而减小 (2)设翻新道路的单位成本为( 0)，则总成本() = ( 4 + 2 2) = ( 2 + 4 + 2)，
25、0 4， 求导可得当0 6时()单调递减； 当 6 4 时()单调递增，所以当 = 6时，()取得最小值 本题主要考查了函数的实际应用， 考查了利用导数研究函数的单调性和最值， 是中档题 22. 已知曲线() = ( 3)+ (2 )(其中 e 为自然对数的底数)在 = 1处的 切线方程为 = (1 ) + (1)求 a，b值； (2)证明：()存在唯一的极大值点0，且2 6 5 (0) 0)， 令() = 1 ，显然()在(0,+)递增， 而(1 2) 0，故0 (1 2,1)，使得(0) = 0， 即0= 1 0，则0 = 0， 故 (0,0)时，() 0，()递增， 第 15 页，共 15 页 (0,2)时，() 0，()递增， 故0是()唯一的极大值点， 且(0) = (0 3)0+ 20 0= 1 3 0 30 0， ()在(1 2,1)递增，故() ( 1 2) = 6.5 2 6 5， 综上，()存在唯一的极大值点0，且2 6 5 (0) 5 【解析】(1)求出函数的导数，计算(1) = 1 ，求出 a的值，求出切线方程，根据对 应关系求出 b的值即可 (2)求出函数的导数，根据函数的单调性得到0= 0，表示出(0)的解析式，证明 结论成立即可 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式 在证明，考查转化思想，是一道综合题
