1、第 1 页（共 16 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知M，N均为R的子集，且 RM N，则()( R MN ) A BM CN DR 2 （5 分）在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 3 （5 分）设a，b是两个实数，给出下列条件：1ab；2ab；2ab； 22 2ab其中能推出“a，b中至少有
2、一个大于 1”的条件是( ) A B C D 4 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若 90ABF，则椭圆C的离心率为( ) A 51 2 B 31 2 C1 5 4 D 31 4 5 （5 分）以下有关平面向量的结论： a ba cbc； ()()0| |ab abab； ()()a b ca b c； |a ba bab， 其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （5 分）设aZ，且013a，若 2020 51a能被 13 整除，则(a ) A0 B1 C11 D12 7 （5 分）在平面直角坐
3、标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C 与直线280 xy相切，则圆C的面积的最小值为( ) A(124 5) B 5 9 C 5 16 D16 5 8 （5 分）已知5a 且 5 5 a aee，4b 且 4 4 b bee，3c 且 3 3 c cee，则( ) Acba Bbca Cacb Dabc 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 2 页（共 16 页） 9 （5 分）已知函数( )(1)f xxlnx，则( ) A( )f x在(0,)单调递增 B( )f x有两个零点 C曲线( )yf x在点 1
4、 ( 2 ， 1 () 2 f 处切线的斜率为12ln D( )f x是偶函数 10 （5 分）设 1 z， 2 z， 3 z为复数， 1 0z 下列命题中正确的是( ) A若 23 | |zz，则 23 zz B若 1 21 3 z zz z，则 23 zz C若 23 zz，则 1213 | |z zz z D若 2 1 21 |z zz，则 12 zz 11 （5 分）如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 A B上的动点，则下列 结论错误的是( ) A 11 DCD P B若直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面 11 DD C C内的直线，若l与
5、m相交， 则交点一定在直线CD上 C若P为 1 A B上动点，则 1 APPD的最小值为 26 2 D 1 PAD最小为 4 12 （5 分）下列各式中，值为 1 2 的是( ) A 2 tan22.5 122.5tan B 2 tan15 cos 15 C 22 33 cossin 312312 D 2 tan30 130tan 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为 14 （5 分）已知过点( 2, )Ma、( ,4
6、)N a的直线的斜率为 1 2 ，则|MN等于 15 （5 分） 设( )f x是以 4 为周期的偶函数， 且当0 x，2时，( )f xx， 则( 7 . 6 )f 第 3 页（共 16 页） 16 （5 分）若随机变量 2 ( ,)XN ，(4)(2)0.1P XP X ，则(14)PX剟 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知各项都为正数的数列 n a满足 21 23 nnn aaa （1）证明：数列 1 nn aa 为等比数列； （2）若 1 1 2 a ， 2 3 2 a ，求 n a的通项公式 18 （12 分）在四边形ABCD中
7、，/ /ABCD，1ADBDCD （1）若 3 2 AB ，求BC； （2）若2ABBC，求cosBDC 19 （12 分）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1，2，3 需要调整的概 率分别为 0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立 （1）求设备在一天的运转中，部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率； （2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望 20 （12 分）2020 年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不 足，而且水质质量也明显下降为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生 产过程的除杂质工序，
8、过滤前水含有杂质%a（其中a为常数） ，每经过一次过滤均可使水 的杂质含量减少 2 3 ，设水过滤前的量为 1，过滤次数为 * ()x xN时，水的杂质含量为y （1）写出y与x的函数关系式： （2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002 %a，问至少经过几次过滤才能使矿泉水达 到要求？（参考数据：20.301lg ，30.477)lg 21（12 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的实轴长为 4， 一条渐近线方程为 3 2 yx （）求双曲线C的方程； （）直线:(1)l yk x与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围 22 （12 分）已知函数(
9、)sincos x f xexx，( )sincos x g xexx （1）证明：当 5 4 x 时，( ) 0f x ； （2）若( ) 2g xax，求a 第 4 页（共 16 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知M，N均为R的子集，且 RM N，则()( R MN ) A BM CN DR 【解答】解：如图所示易知() R MNM 故选：B 2 （5 分）在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片
10、随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：三张卡片随机分给三位同学，共有 3 3 6A 种情况， 恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片，则有 1 3 13C 种情况， 所以恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为 31 62 故选：C 3 （5 分）设a，b是两个实数，给出下列条件：1ab；2ab；2ab； 22 2ab其中能推出“a，b中至少有一个大于 1”的条件是( ) A B C D 【解答】解：若 1 2 a ， 2 3 b ，则1ab，但1a ，1b ，故推不出“a，b中
11、至少有 一个大于 1” ； 若1a ，1b ，则2ab，故推不出“a，b中至少有一个大于 1” ； 若2a ，3b ，则 22 2ab，故推不出“a，b中至少有一个大于 1” ； 对于，若2ab，则a，b中至少有一个大于 1， 第 5 页（共 16 页） 反证法：假设1a且1b， 则2ab 与2ab矛盾， 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于 1 综上所述：能推出“a，b中至少有一个大于 1”的条件是， 故选：D 4 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若 90ABF，则椭圆C的离心率为( ) A 51 2 B 31 2 C1
12、 5 4 D 31 4 【解答】解：由 2222 1(0)b xa yab，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 作出椭圆图象如图： 则AFac， 22 ABab，BFa 由题意可得： 222 AFABBF， 22222 ()acabbc， 22 acac， 2 10ee 51 2 e （负值舍去） 故选：A 5 （5 分）以下有关平面向量的结论： a ba cbc； ()()0| |ab abab； ()()a b ca b c； |a ba bab， 其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：因为当ba且ca时，有0a ba c，但不能得出
13、bc的结论，故不 第 6 页（共 16 页） 正确； 由()()0ab ab，可得 22 0ab，即 22 ab，所以| |ab成立，故正确； 因为()a b cc，是一个与c共线的向量，而()a b ca，是一个与a共线的向量 所以等式()()a b ca b c不一定成立，故不正确； | |cosa bab，是两向量的夹角 由|a ba b可得cos1，可得0说明向量a、b共线且同向，不一定相等，故 不正确 故正确的选项只有，1 个 故选：A 6 （5 分）设aZ，且013a，若 2020 51a能被 13 整除，则(a ) A0 B1 C11 D12 【解答】解： 20202020202
14、0 51(52 1)(1 52) 012220202020 2020202020202020 525252CCCC 因为 52 能被 13 整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被 13 整除， 所以上式被 13 除，余数为 0 2020 1C， 所以要使 2020 51a能被 13 整除，因为aZ，且013a，只需113a 即可， 故12a 故选：D 7 （5 分）在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C 与直线280 xy相切，则圆C的面积的最小值为( ) A(124 5) B 5 9 C 5 16 D16 5 【解答】解：设线段AB的中点为C，故点C作CE
15、垂直直线280 xy于点E， 坐标原点为O，圆的半径为r，则| |OCCEr， 过点O作OF垂直直线280 xy于点F，交AB于点D， 则当D恰为线段OF的中点时，圆C的半径最小，即面积最小， 第 7 页（共 16 页） 此时圆的直径为点(0,0)O到直线280 xy的距离 | 8|8 415 d ，即 4 5 r ， 圆C的面积最小值为 2 16 5 r 故选：D 8 （5 分）已知5a 且 5 5 a aee，4b 且 4 4 b bee，3c 且 3 3 c cee，则( ) Acba Bbca Cacb Dabc 【解答】解：根据题意，设( ) x e f x x ， 5a 且 5 5
16、 a aee，变形可得 5 5 a ee a ，即f（a）f（5） ， 4b 且 4 4 b bee，变形可得 4 4 b ee b ，即f（b）f（4） ， 3c 且 3 3 c cee，变形可得 3 3 c ee c ，即f（c）f（3） ， ( ) x e f x x ，其导数 2 (1) ( ) x ex fx x ， 在区间(0,1)上，( )0fx，则( )f x为减函数， 在区间(1,)上，( )0fx，则( )f x为增函数，其草图如图： 则有01abc， 故选：D 第 8 页（共 16 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5
17、分）分） 9 （5 分）已知函数( )(1)f xxlnx，则( ) A( )f x在(0,)单调递增 B( )f x有两个零点 C曲线( )yf x在点 1 ( 2 ， 1 () 2 f 处切线的斜率为12ln D( )f x是偶函数 【解答】解：函数定义域( 1,) ，不关于原点对称，D错误， 因为( )(1) 1 x fxln x x ， 当0 x 时，( )0fx， 故( )f x在(0,)上单调递增，A正确， 22 112 ( ) 1(1)(1) x fx xxx ， 当( 1,0)x 时，( )0fx，( )f x单调递减，当(0,)x时，( )0fx，( )f x单调递增， 又(
18、0)0f， 所以( ) 0f x ， 所以( )f x只有一个零点，B错误， 因为 11 ()112 22 flnln ，C 正确， 故选：AC 10 （5 分）设 1 z， 2 z， 3 z为复数， 1 0z 下列命题中正确的是( ) A若 23 | |zz，则 23 zz B若 1 21 3 z zz z，则 23 zz C若 23 zz，则 1213 | |z zz z D若 2 1 21 |z zz，则 12 zz 【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误； 当 121 3 z zz z时，有 121 3123 ()0z zz zz zz， 又 1 0z ， 所以 23 zz，故选项B
19、正确； 当 23 zz时，则 23 zz， 所以 22 1 21 31 21 21 31 31 2121 313 |()()()()0z zz zz zz zz zz zz z z zz z z z，故选项C正确； 当 2 1 21 |z zz时，则 2 1 211 1 |z zzz z， 第 9 页（共 16 页） 可得 1 211121 ()0z zz zz zz， 所以 12 zz，故选项D错误 故选：BC 11 （5 分）如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 A B上的动点，则下列 结论错误的是( ) A 11 DCD P B若直线l是平面ABCD内
20、的直线，直线m是平面 11 DD C C内的直线，若l与m相交， 则交点一定在直线CD上 C若P为 1 A B上动点，则 1 APPD的最小值为 26 2 D 1 PAD最小为 4 【解答】 解： 111 ADDC， 11 ABDC， 1 DC面 11 ABCD， 1 D P 面 11 ABCD， 11 DCD P， A正确； 若直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面 11 DD C C内的直线，若l与m相交，则交点 一定在直线CD上，根据公理 2，可知正确； 在 11 D A A中， 11 135D A A利用余弦定理解三角形得 1 22AD ， 即 1 22APPD，C不正确； 当 1
21、 2 2 AP 时， 1 APD为直角， 1 6 PAD ，D不正确 故选：CD 12 （5 分）下列各式中，值为 1 2 的是( ) A 2 tan22.5 122.5tan B 2 tan15 cos 15 C 22 33 cossin 312312 D 2 tan30 130tan 【解答】解：对于A， 2 tan22.5111 tan451 122.5222tan ， 第 10 页（共 16 页） 对于B， 2 11 tan15 cos 15sin15 cos15sin30 24 ， 对于C， 22 333331 cossincos 31231236322 ， 对于D， 2 tan30
22、113 tan603 130222tan 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为 61 【解答】解：如图所示： 由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心， 4BM ，5OB ， 3OM， 即圆台的高为 3， 所以其体积 22 1 () 3 Vh RrRr 22 1 3(5454) 3 61， 故答案为：61 14 （5 分）已知过点( 2, )Ma、( ,4)N a的直线的斜率为 1 2 ，则|MN等
23、于 6 5 【解答】解：由题意得： 41 22 MN a K a ， 解得：10a ，故( 2,10)M ，(10,4)N ， 故 22 |( 2 10)(104)144361806 5MN ， 故答案为：6 5 第 11 页（共 16 页） 15（5 分） 设( )f x是以 4 为周期的偶函数， 且当0 x，2时，( )f xx， 则( 7 . 6 ) f 0.4 【解答】解：( )f x是以 4 为周期的偶函数， 故(7.6)( 0.4)(0.4)fff 又0 x，2时，( )f xx， 故(7.6)( 0.4)(0.4)0.4fff 故答案为：0.4 16 （5 分） 若随机变量 2
24、( ,)XN ，(4)(2)0.1P XP X ， 则( 14 )PX剟 0.4 【解答】解：因为 2 ( ,)XN ，(4)(2)0.1P XP X ， 所以 4( 2) 1 2 所以 12 (4) (14)0.4 2 P X PX 剟 故答案为：0.4 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知各项都为正数的数列 n a满足 21 23 nnn aaa （1）证明：数列 1 nn aa 为等比数列； （2）若 1 1 2 a ， 2 3 2 a ，求 n a的通项公式 【解答】证明： （1）各项都为正数的数列 n a满足 21 23 nnn
25、aaa ， 得， 121 3() nnnn aaaa ， 所以数列 1 nn aa 是公比为 3 的等比数列； （2）因为 1 1 2 a ， 2 3 2 a ， 所以 12 2aa， 由（1）知数列 1 nn aa 是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 所以 1 1 2 3n nn aa ， 于是 1 1 11 33 22 nn nn aa ， 2 3 0 2 a ， 所以 1 3 0 2 n n a ，即 1 3 2 n n a ， 1 1 2 a 也符合 故 1 3 2 n n a 18 （12 分）在四边形ABCD中，/ /ABCD，1ADBDCD 第 12 页（共 16 页） （1
26、）若 3 2 AB ，求BC； （2）若2ABBC，求cosBDC 【解答】解： （1）在四边形ABCD中，1ADBDCD若 3 2 AB ， 所以： 222 222 3 ( )11 3 2 cos 3 24 21 2 ABBDAD ABD AB BD ， 由于/ /ABCD， 所以BDCABD ， 即 3 coscos 4 BDCABD， 所以 22222 31 2cos112 1 1 42 BCBDCDBD CDBDC ， 所以 2 2 BC （2）设BCx，则22ABBCx， 由余弦定理得： 222222 (2 )11 cos 22 21 ABBDADx ADBx AB BDx ， 22
27、22222 112 cos 22 1 12 CDBDBCxx BDC CD BD ， 故 2 2 2 x x ， 解得31x 或31（负值舍去） 所以cos31BDC 19 （12 分）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1，2，3 需要调整的概 率分别为 0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立 （1）求设备在一天的运转中，部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率； （2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望 【解答】解： （1）设部件 1，2，3 需要调整分别为事件A，B，C， 由题意可知P（A）0.1，P（B）0.2，P（C）0.3，
28、各部件的状态相互独立， 所以部件 1，2 都不需要调整的概率()( )( )0.9 0.80.72P A BP AP B， 故部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率为1()0.28P A B 第 13 页（共 16 页） （2）X的所有可能取值为 0，1，2，3， (0)()( )( )( )0.9 0.8 0.70.504P XP A B CP AP BP C， (1)()()()0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.30.398P XP A B CP A B CP A B C ， (3)()0.1 0.2 0.30.006P XP A B C， (2)1(0
29、)(1)(3)0.092P XP XP XP X ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006 ()0 0.5041 0.392 0.0923 0.0060.6E X 20 （12 分）2020 年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不 足，而且水质质量也明显下降为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生 产过程的除杂质工序，过滤前水含有杂质%a（其中a为常数） ，每经过一次过滤均可使水 的杂质含量减少 2 3 ，设水过滤前的量为 1，过滤次数为 * ()x xN时，水的杂质含量为y （1）写出y与x的函数关系式
30、： （2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002 %a，问至少经过几次过滤才能使矿泉水达 到要求？（参考数据：20.301lg ，30.477)lg 【解答】解： （1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少 2 3 ， 所以每次过滤后所含的杂质是前一次的 1 3（2 分） 所以得到 * 1 %( ) , 3 x yaxN 即 * 1 ( ) , 1003 x a yxN（5 分） （没有写 * xN扣 1 分） （ 2 ） 设 至 少 经 过x次 过 滤 才 能 使 矿 泉 水 达 到 要 求 ， 则 1 %( )0.002 % 3 x aa（7 分） 所以 12 ( ) 31000
31、x 所以 12 ( ) 31000 x lglg（8 分） 第 14 页（共 16 页） 即 12 31000 xlglg（9 分） 所以 3230.301 5.7 30.477 lg x lg （10 分） 又 * xN，所以6x（11 分） 即至少经过 6 次过滤才能使矿泉水达到要求（12 分） 21（12 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的实轴长为 4， 一条渐近线方程为 3 2 yx （）求双曲线C的方程； （）直线:(1)l yk x与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围 【解答】解： （）由题意可得： 24 3 2 a b a ，解得： 2
32、3 a b ，故双曲线方程为： 22 1 43 xy （）联立直线方程与双曲线方程整理可得： 222 (34)84120kxkxk， 满足题意时： 2 222 340 644(34)( 412)0 k kkk ， 求解不等式组可得：11k 且 3 2 k ， 即实数k的取值范围是 3333 ( 1,)(,)(,1) 2222 22 （12 分）已知函数( )sincos x f xexx，( )sincos x g xexx （1）证明：当 5 4 x 时，( ) 0f x ； （2）若( ) 2g xax，求a 【解答】解： （1）证明：( )sincos2sin() 4 xx f xexx
33、ex ， ( )cossin2sin() 4 xx fxexxex ， ( )( )sincos2sin() 4 xx fxg xexxex ， 考虑到(0)0f，(0)0f， 所以当 5 ( 4 x ，) 4 时，2sin()0 4 x ，此时( )0f x ， 当 4 x ，0时，( )0fx，所以( )fx单调递增， 第 15 页（共 16 页） 所以( )(0)0fxf， 所以函数( )f x单调递减，( )(0)0f xf， 当0 x， 3 4 时，( )0fx，所以( )fx单调递增， 所以( )(0)0fxf， 所以函数( )f x单调递增，( )(0)0f xf， 当 3 4
34、x ，)时， 1 ( )2sin()20 4 x f xexe ， 综上所述，当 5 4 x 时，( ) 0f x （2）构造函数( )( )2sincos2 x F xg xaxexxax， 考虑到(0)0f，(0)0F， ( )cossin x F xexxa， ( )sincos( ) x Fxexxf x， 由（1）可知：( )( )Fxf x在 5 4 x 时恒成立， 所以( )cossin x F xexxa在 5 ( 4 ，)上单调递增， 若2a ，则( )F x在 5 ( 4 ，0)为负，(0,)为正， ( )F x在 5 ( 4 ，0)单调递减，(0,)递增， 所以( ) 0
35、F x ， 而当 5 4 x 时， 55 ( )sincos22sincos2220 22 xx F xexxx exx 厖， 故2a 满足题意 若2a ，(0)20Fa， 因为( )2 x F xea， 所以( ( 2)20 x F lnaea厖， 由零点存在定理，必存在 0 (0 x ，( 2)lna，使得 0 ()0F x， 此时满足 0 (0,)xx时，( )0F x，( )F x单调递减， 所以( )(0)0F xF，矛盾，舍去， 若2a ，(0)20Fa， 第 16 页（共 16 页） 因为当0 x 时，( )22 xx F xeaea， 所以当22a时，( (2)0F ln a， 此时必存在 0 ( (2)xln a，0)使得 0 ()0F x， 此时满足 0 (xx，0)时，( )0F x，( )F x单调递增， 所以( )(0)0F xF，矛盾，舍去， 而当2a时，当( )cossin2 x F xexx， 所以在 0 (xx，0)时，( )0F x成立，( )F x单调递增，( )(0)0F xF，矛盾，舍去 综上所述，2a
