1、第 1 页（共 17 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（17） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数z为纯虚数，且, 12 mi zmR i ，则(m ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 2 （5 分）设集合 |02Axx ， |13Bxx，则(AB ) A |01xx B |12xx剟 C |23xx D |03xx 3 （5 分）如图，角，的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位 圆O分别交于A，B两点，则(OA OB ) Acos()
2、Bcos() Csin() Dsin() 4 （5 分）下列四个函数：23yx； 1 y x ；2xy ； 1 2 yx，其中定义域与值 域相同的函数的个数为( ) A1 B2 C3 D4 5 （5 分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 6 （5 分）从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内 进行读后分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为( ) A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 7 （5 分）已知a，b是两条
3、不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分 条件是( ) Aa，b，/ / Ba，/ /b，a Caa， b，/ / Da，/ /b， 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间(, ) 2 上单调递增的是( ) A|sin|yx Bcosyx Ctanyx Dcos 2 x y 9（5 分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB， 则角(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 10 （5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为50，则C的离心
4、率 为( ) A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 11 （5 分）设 11 0,0 22 ab，随机变量的分布 1 0 1 P 1 2 a b 则当a在 1 (0, ) 2 内增大时，( ) A( )E增大，( )D增大 B( )E增大，( )D减小 C( )E减小，( )D增大 D( )E减小，( )D减小 12 （5 分） 已知定义在R上的偶函数( )f x满足(2)( )fxf x， 且( )f x在( 1,0)上递减 若 1 2 (5)af ，(2)bfln， 3 (log 18)cf，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bcba Cabc D
5、bac 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 若二项式 2 1 ()nx x 的展开式中二项式系数的和为 64， 则展开式中的常数项为 14 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过F的直线l与抛物线C交于A，B 两点，若2AFFB，且弦AB的中点纵坐标为 2 2 ，则抛物线C的方程为 15 （5 分）在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，120BAC，10ABAC且 2PABC，则该三棱锥的外接球的体积为 16 （5 分）如图为( )yf x的导函数的图象，则下列判断正确的是 （填序号） (
6、 )f x在( 3,1)内是增函数； 第 3 页（共 17 页） 1x 是( )f x的极小值点； ( )f x在(2,4)内是减函数，在( 1,2)内是增函数； 1x 是( )f x的极大值点 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 2 4a ， 34 17aa （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 2b ，再从 1 2 nn bb ； 1 2 nn bb ； 1nn bb 这三个条件中任 选一个作为已知，求数列 nn ab的前n项和 n T 18 （12 分）下面是调查
7、某校学生身高的数据： 分组 频数 频率 156.5 160.5 3 160.5 164.5 4 164.5 168.5 12 168.5 172.5 12 172.5 176.5 13 176.5 180.5 6 合计 50 （）完成上面的表格； （）根据上表，画出频率直方图； （）根据上表估计，数据在164.5 176.5范围内的频率是多少？ 19 （12 分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A， B的一动点 （1）证明：BC 面PAC； （2）若1PAAC，2AB ，求直线PB与平面PAC所成角的正切值 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分）在平面直角
8、坐标系xOy中，已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1( 2,0) F ，且点(0,2)P在椭圆 1 C上 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设直线l同时与椭圆 1 C和抛物线 2 2: 8Cyx相切，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数 2 11 ( )2 3( 22 f xxalnxxaR且0)a （）当2 3a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性与单调区间； （）若( )yf x有两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 ()()9f xf xlna 四解答题（共四解答题（共 1 小题，
9、满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 3 2 ( 1 2 xt t yt 为参数） 以坐标 原 点 为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 2 l的 极 坐 标 方 程 为 2 sin()30 3 ， 2 l交极轴于点A，交直线 1 l于B点 （1）求A，B点的极坐标方程； （2）若点P为椭圆 2 2 1 3 y x上的一个动点，求PAB面积的最大值及取最大值时点P的 直角坐标 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |23|f x
10、xax （1）当1a 时，求( )f x的最小值； （2）当xa，22a 时，不等式( )|5|f xx恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（17） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数z为纯虚数，且, 12 mi zmR i ，则(m ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：因为 12 mi z i 为纯虚数， 所以(,) 12 mi ai aR mR i ，即2m
11、iaai ， 所以2ma，1a，解得1a ，2m ， 故选：D 2 （5 分）设集合 |02Axx ， |13Bxx，则(AB ) A |01xx B |12xx剟 C |23xx D |03xx 【解答】解： |02Axx ， |13Bxx， |03ABxx 故选：D 3 （5 分）如图，角，的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位 圆O分别交于A，B两点，则(OA OB ) Acos() Bcos() Csin() Dsin() 【解答】解：因为(cos ,sin)A，(cos,sin)B， 所以，coscossinsincos()OA OB， 故选：A 4 （5 分）下列
12、四个函数：23yx； 1 y x ；2xy ； 1 2 yx，其中定义域与值 第 6 页（共 17 页） 域相同的函数的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解： 函数 定义域 值域 23yx R R 1 y x (，0)(0，) (，0)(0，) 2xy R (0,) 1 2 yx 0，) 0，) 由上表可知：定义域与值域相同的函数的个数为 3， 故选：C 5 （5 分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E
13、为AD的中点， 1 2 EBABAEABAD 11 () 22 ABABAC 31 44 ABAC， 故选：A 6 （5 分）从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内 进行读后分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为( ) A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 【解答】解：设只读过论语的三名同学为x，y，z，只读过红楼梦的三名学生为 a，b，c， 设选中的 2 人都读过红楼梦为事件A， 从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人， 基本事件有 15 种，分别为： ( , )x y，( , )x z，( , )x a，(
14、, )x b，( , )x c，( , )y z，( , )y a，( , )y b， 第 7 页（共 17 页） ( , )y c，( , )z a，( , )z b，( , )z c，( , )a b，( , )a c，( , )b c， 其中事件A包含的基本事件个数有 3 种，分别为：( , )a b，( , )a c，( , )b c， 选中的 2 人都读过红楼梦的概率为 31 155 P 故选：A 7 （5 分）已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分 条件是( ) Aa，b，/ / Ba，/ /b，a Caa， b，/ / Da，/ /b， 【解答】解：在A、
15、B、D条件下，都可能出现/ /ab， :/ /C，b，所以b，又a，所以必有ab此时C为ab的一个充分条 件 故选：C 8 （5 分）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间(, ) 2 上单调递增的是( ) A|sin|yx Bcosyx Ctanyx Dcos 2 x y 【解答】解：对于:|sin |A yx，将sinyx在x轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周 期T，在区间( 2 ，)上单调递减，故A不符合题意； 对于:cosB yx的最小正周期2T，故B不符合题意； 对于:tanC yx的最小正周期T，且在区间(, ) 2 上单调递增，故C符合题意； 对于:cos 2 x D y
16、的最小正周期 2 4 1 2 T ，故D不符合题意 故选：C 9（5 分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB， 则角(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 【解答】解：因为2 coscoscoscBbAaB， 所以2sincossincossincosCBBAAB， 所以2sincossin()sinCBABC， 因为sin0C ， 第 8 页（共 17 页） 所以 1 cos 2 B ， 因为(0, )B， 所以 3 B 故选：B 10 （5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为
17、50，则C的离心率 为( ) A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50，得 sin50 tan50 cos50 b a ， 则 2222 2 222 50 1 50 bcasin e aacos ， 得 2 2 22 501 1 5050 sin e coscos ， 1 cos50 e 故选：D 11 （5 分）设 11 0,0 22 ab，随机变量的分布 1 0 1 P 1 2 a b 则当a在 1 (0, ) 2 内增大时
18、，( ) A( )E增大，( )D增大 B( )E增大，( )D减小 C( )E减小，( )D增大 D( )E减小，( )D减小 【解答】解：当a在 1 (0, ) 2 内增大时，b减小，数据分布整体变小，数据更集中， 所以( )E减小，( )D减小， 故选：D 12 （5 分） 已知定义在R上的偶函数( )f x满足(2)( )fxf x， 且( )f x在( 1,0)上递减 若 1 2 (5)af ，(2)bfln， 3 (log 18)cf，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bcba Cabc Dbac 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：( )f x是R上的偶函数，(2)(
19、 )fxf x， ( 2)bf ln ， 3333 (log 18)(2log 2)( log 2)(log 2)cffff，且 1 2 (5)af ， 1 2 3 1 5log 221 2 ln ，( )f x在(0,1)上递增， 1 2 3 (5)(log 2)( 2)fff ln ，即acb 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若二项式 2 1 ()nx x 的展开式中二项式系数的和为 64，则展开式中的常数项为 15 【解答】解：264 n ，6n ，二项式 26 1 ()x x 的展开式中常数项为 4
20、4 6( 1) 15C 故答案为：15 14 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过F的直线l与抛物线C交于A，B 两点，若2AFFB，且弦AB的中点纵坐标为 2 2 ，则抛物线C的方程为 2 4yx 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由题意可知图象如图：抛物线 2 :2(0)C ypx p的 焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若2AFFB，AEFB， 1 cos:tan2 2 3 AE BAEBAE AB ， 直线:2 2() 2 p AB yx，中点 12 ( 2 xx M ， 12) 2 yy ， 12 2
21、22 yy ， 2 2() 2 p yx，代入 2 2ypx，消去x，可得 2 2 20yyp p ， 12 2 p yy，可得 12 222 p ，所以2p ， 所以，抛物线方程为： 2 4yx 故答案为： 2 4yx 第 10 页（共 17 页） 15 （5 分）在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，120BAC，10ABAC且 2PABC，则该三棱锥的外接球的体积为 32000 3 【 解 答 】 解 ： 如 图 所 示 ， 在ABC中 ， 由 余 弦 定 理 ， 可 得 22 2cos12010 3BCACABAB AC ， 所以，ABC外接圆的直径 10 3 220 sin1203
22、 2 BC r ， 即10r 由PA底面ABC，且220 3PABC， 所以三棱锥PABC的外接球直径为 22 2(2 )40RAPr； 解得20R ， 所以该三棱锥外接球的体积为 33 4432000 20 333 VR 球 故答案为： 32000 3 16 （5 分）如图为( )yf x的导函数的图象，则下列判断正确的是 （填序号） ( )f x在( 3,1)内是增函数； 1x 是( )f x的极小值点； ( )f x在(2,4)内是减函数，在( 1,2)内是增函数； 1x 是( )f x的极大值点 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：错，因在( 3, 1)上( )0fx，在( 1,
23、1)上( )0fx，故( )f x在( 3, 1)内是 减函数，在( 1,1)内是增函数； 正确， 因( )fx在( 3, 1)上为负，( )f x单调递减，( 1)0f ，( )fx在( 1,2)上为正，( )f x 单调递增，故( )f x在1x 处有极小值； 正确，因在(2,4)内( )0fx，故( )f x在(2,4)内是减函数； 在( 1,2)内( )0fx，故( )f x在( 1,2)内为增函数， 错，f（1）0，故1x 不是极值点 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列 n a满足
24、 2 4a ， 34 17aa （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 2b ，再从 1 2 nn bb ； 1 2 nn bb ； 1nn bb 这三个条件中任 选一个作为已知，求数列 nn ab的前n项和 n T 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d 由 2 34 4 17 a aa ，可得 1 1 4 2517 ad ad 解得 1 1a ，3d ， 所以 1 (1)32 n aandn； （）选： 由 1 2b ， 1 2 nn bb 可得0 n b ， 1 2 n n b b ， 所以 n b是等比数列，公比2q ， 所以 1 1 2 nn n bbq
25、， 所以 2 1 1212 (132)2(12)3 ()()22 2122 n n nnn nnnn Taaabbb ； 选： 由 1 2b ， 1 2 nn bb 可得0 n b ， 1 1 2 n n b b ， 所以 n b是等比数列，公比 1 2 q ， 第 12 页（共 17 页） 所以 112 1 11 2 ( )( ) 22 nnn n bbq ， 所以 2 2 1212 1 2(1() (132)31 2 ()()()4 1 222 1 2 n n nnn nnnn Taaabbb ； 选： 由 1 2b ， 1nn bb 可得0 n b ， 1 1 n n b b ， 所以
26、n b是等比数列，公比1q ， 所以 11 1 2 ( 1) nn n bbq 所以 2 1212 (132)2(1(1)32 ()()(1) 21(1)2 n n nnn nnnn Taaabbb 18 （12 分）下面是调查某校学生身高的数据： 分组 频数 频率 156.5 160.5 3 160.5 164.5 4 164.5 168.5 12 168.5 172.5 12 172.5 176.5 13 176.5 180.5 6 合计 50 （）完成上面的表格； （）根据上表，画出频率直方图； （）根据上表估计，数据在164.5 176.5范围内的频率是多少？ 【解答】解： （） 分组
27、 频数 频率 156.5 160.5 3 0.06 160.5 164.5 4 0.08 第 13 页（共 17 页） 164.5 168.5 12 0.24 168.5 172.5 12 0.24 172.5 176.5 13 0.26 176.5 180.5 6 0.12 合计 50 1 （）( ) I中表格对应频率分布直方图如下图所示： （）数据在164.5 176.5范围内的频率 0.240.240.260.74P 19 （12 分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A， B的一动点 （1）证明：BC 面PAC； （2）若1PAAC，2AB ，求直线PB与平
28、面PAC所成角的正切值 【解答】 （1）证明：AB为圆O直径， 90ACB，即ACBC， PA面ABC，PABC， 第 14 页（共 17 页） ACPAA，AC 面PAC，PA面PAC， BC面PAC （2）解：BC 面PAC，BPC为PB与平面PAC所成的角， 1PAAC，2AB ， 直线PB与平面PAC所成角的正切值： 6 tan 2 BPC 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1( 2,0) F ，且点(0,2)P在椭圆 1 C上 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设直线l同时与椭圆 1 C和抛物线 2 2
29、: 8Cyx相切，求直线l的方程 【解答】解： （1）根据椭圆的左焦点为 1( 2,0) F ，知 22 4ab， 又点(0,2)P在椭圆上，故2b ，所以2 2a ， 所以椭圆 1 C的方程为 22 1 84 xy （2）因为直线l与椭圆 1 C和抛物线 2 C都相切， 所以斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为yxmk，(0)k， 代入椭圆方程整理得 222 (1 2)4280 xmxm kk， 由题可知此方程有唯一的解， 此时 222 (4)4(1 2)(28)0mmkk，即 22 84m k， 把(0)yxmkk代入抛物线的方程得 2 880yymk， 由题知此方程有唯一解，此时643
30、20mk，即2mk， 第 15 页（共 17 页） 联立得 22 84 2 m m k k ，解得 2 1 2 k， 所以 2 2 2 2m k 或 2 2 2 2m k ， 所以直线l的方程为 2 2 2 2 yx或 2 2 2 2 yx 21 （12 分）已知函数 2 11 ( )2 3( 22 f xxalnxxaR且0)a （）当2 3a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性与单调区间； （）若( )yf x有两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 ()()9f xf xlna 【 解 答 】 解 ：（ ） 因 为2 3a 时
31、 ， 2 11 ( )2 32 3 22 f xxlnxx， 所 以 2 3 ( )2 3fxx x ，那么f（1）1 ，f（1）2 3， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为：2 3(1)yx ， 即2 3 1 0 xy ， （）由题意可知( )f x的定义域为(0,)， 因为 2 2 3 ( )2 3 axa fxx xx ， 由 2 2 30 xx a 可得： 1240a， 即3a 时，有 1 33xa， 2 33xa， 12 xx，又当(0,3)x时，满足 12 0 xx， 所以有 2 (0,)xx和 1 (x，)时，( )0fx， 即( )f x在区间 2 (0,
32、)x和 1 (x，)上为减函数 又 2 (xx， 1) x时，( )0fx，即( )f x在区间 2 (x， 1) x上为增函数 当0a 时， 有 1 0 x ， 2 0 x ， 则 1 (0 , )xx时，( )0fx，( )f x为增函数； 1 (xx，)时， ( )0fx，( )f x为减函数； 当3a时，0，( ) 0fx恒成立，所以( )f x在(0,)为减函数， 综上所述，当0a 时，在(0,33)a，( )f x为增函数；在(33a，)，( )f x为减 函数； 当03a时，( )f x在区间(0,33)a和(33a，)上为减函数，在(33a， 33)a，( )f x为增函数；
33、第 16 页（共 17 页） 当3a时，在(0,)上，( )f x为减函数 （）因为( )yf x有两个极值点 1 x， 2 x，则 2 2 3 ( )0 xa fx x 有两个正根 1 x， 2 x， 则1240a， 12 2 3xx， 12 0 x xa， 即(0,3)a，所以 22 12121212 1 ()()2 3()()()17 2 f xf xxxaln x xxxalnaa ， 若要 12 ()()9f xf xlna，即要20alnalnaa， 构造函数( )2g xxlnxlnxx，则 11 ( )11g xlnxlnx xx ，且在(0,3)上为增函数， 又g（1）10
34、，g（2） 1 20 2 ln， 所以存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x，即 0 0 1 lnx x ，且 0 (1,)xx时，( )0g x，( )g x单调递 减， 0 (xx，2)时，( )0g x，( )g x单调递增， 所以( )g x在(1,2)上有最小值 000000 0 1 ()23()g xx lnxxlnxx x ， 又 因 为 0 ( 1 , 2 )x ， 则 0 0 15 (2, ) 2 x x ， 所 以 0 ()0g x在 0 (1,2)x 上 恒 成 立 ， 即 12 ()()9f xf xlna成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满
35、分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 3 2 ( 1 2 xt t yt 为参数） 以坐标 原 点 为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 2 l的 极 坐 标 方 程 为 2 sin()30 3 ， 2 l交极轴于点A，交直线 1 l于B点 （1）求A，B点的极坐标方程； （2）若点P为椭圆 2 2 1 3 y x上的一个动点，求PAB面积的最大值及取最大值时点P的 直角坐标 【解答】解： （1） 1 l的方程为 3 3 yx，化为极坐标方程为() 6 R 代入 2
36、 l的方程得：3，即(3,) 6 B 方程2 sin()30 3 ，令0，即3，即( 3,0)A （2）由（1）知，|3OA ，| 3OB ，且 6 BOA ， 第 17 页（共 17 页） 故|3AB ，设点P到直线AB的距离为d， 故 3 2 Sd，设点(cos , 3sin )P， 2 l的一般方程为33yx， 故 33 |3cos3sin3|3 |32sin()| 22244 Sd ， 当 3 2() 4 Z kk时， 3 33 2 4 max S 此时，P点坐标为 26 (,) 22 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |23|f xxax （1）当1a 时，求( )f x的最小值； （2）当xa，22a 时，不等式( )|5|f xx恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时，( ) |1|23|f xxx 333335 (|1|) |1| 222222 xxxxx ， 当且仅当 3 2 x 时，上式取得等号， 故( )f x的最小值为 5 2 ； （2）因为22aa，所以2a ， 当xa，22a 时，0 xa，230 x ，50 x ， 不等式( )|5|f xx可化为235xaxx，即28ax恒成立， 所以82(22)412aaa ，即 12 5 a， 故实数a的取值范围为 12 (2, 5
